高中数学-量词练习

高中数学-量词练习

课后导练

基础达标

1.下列存在性命题中假命题的个数是( )

①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：A

2.下列存在性命题中真命题的个数是( ) ①x ∈R ,x ≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数 ③x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D

3.下列全称命题中假命题的个数是( )

①2x +1是整数(x ∈R ) ②对所有的x ∈R ，x ＞3 ③对任意一个x ∈Z ，2x 2+1为奇数

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

4.下列命题为存在性命题的是( )

A.偶函数的图象关于y 轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线是平行直线

D.存在实数大于等于3

答案：D

5.下列命题正确的是( )

A.对于实数q ＜1，方程x 2+2x +q =0有实数根

B.有一个实数大于0且小于0

C.不存在一个实数其相反数是它本身

D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形

答案：A

6.(1)命题“x ∈R ,x 2

-x +3＞0”的否定是_______.

(2)命题“x ∈R ,x 2+1＜0”的否定是_______.

答案：(1)x ∈R ,x 2-x +3≤0 (2)x ∈R ,x 2+1≥0

7.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_______.

答案：x ∈{x |x 是有理数}，x 2∈{x |x 是有理数}

8.下列叙述正确的命题序号是_______. ①x ,y ∈N ，如果x +y 2=0，则x =0∧y =0；②设P (x )：2x ＞x 2，则P (4)是真命题；③“每一个向量都有方向”是命题；④若P (x )：s in x ＞c o sx 为真命题，则x ∈(

4π,4

3π). 解析：①中由x +y 2=0 x =0且y =0,正确. ②中P （4）：24＞43

错误.

③正确.

④中x 的范围是（2k π+4π,2k π+43π)(k ∈Z ) 答案：①③ 9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.

(1)实数的平方大于等于0；

(2)存在一对实数，使2x +3y +3＜0成立；

(3)勾股定理.

解：（1）x ∈R ,x 2

≥0.

(2)(x ,y ),x ∈R ,y ∈R ,2x +3y +3＜0.

(3)以a 、b 、c 为三条边，c 为斜边的直角三角形，a 2+b 2=c 2 .

10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”是全称命题吗？判断它的真假.

解析：是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC 中，假设三角内角均小于60°，则∠A +∠B +∠C ＜180°,这与内角和定理矛盾，原命题为真.

11.命题“存在实数k ＜0，使方程x 2+(2k +1)x +k =0有两相异实根”是存在性命题吗？判断其

真假.

解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k ，Δ=（2k +1)2-4k =4k 2+1＞0恒成立. 12.已知f (x )=ax 2

+bx +c 的图象过点(-1,0)，是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤212

x +对一切实数x 均成立？

解：∵f (x )的图象过点（-1，0），

∴a -b +c =0.

∵x ≤f (x )≤2

12

x +对一切x ∈R 均成立， ∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1,

故有a +b +c =1.

∴b =2

1,c =21-a . ∴f (x )=ax 2+21x +21-a ,故应x ≤ax 2+21 x +2

1-a ≤212x +对一切x ∈R 成立. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≤∆≤∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥-+-0

2100002)21(,02

1212122a a a x x a a x ax 恒成立 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->≤--≤--⇒.

021,0,0)21(81,0)21(441a a a a a a

∴a =41.∴c =21-a =4

1. ∴存在一组常数：a =41,b =21,c =41. 使不等式x ≤f (x )≤2

12

x +对一切实数x 均成立. 13.(2005辽宁高考，7)在R 上定义运算：x y =x (1-y )，若不等式(x -a )(x +a )＜1对x ∈R 成立，求a 的取值范围.

解析：（x -a )⊗(x +a )＜1

⇔(x -a )［1-(x +a )］＜1

⇔-x 2+x +a 2-a -1＜0

⇔x 2-x -a 2+a +1＞0.

∵不等式对任意实数x 成立，

∴Δ=1-4(-a 2+a +1)＜0,

∴-21＜a ＜2

3. 1

4.(经典回放)已知a ＞0，函数f (x )=ax -bx 2.

(1)当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1,证明a ≤2b ;

(2)当b ＞1时，证明对任意x ∈［0,1］,|f (x )|≤1的充要条件是b -1≤a ≤2b . 证明：（1）依题意设对任意x ∈R 都有f (x )≤1,

∵f (x )=-b (x -b

a 2)2+

b a 42, ∴f (b

a 2)=

b a 42≤1. 又∵a ＞0,b ＞0,∴a ≤2b .

（2）必要性：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1⇒f (x )≥-1,

∴f (1)≥-1，即a -b ≥-1.∴a ≥b -1.

对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1,

∵b ＞1,可以推出f (b

1）≤1,即a ·b 1-1≤1. ∴a ≤2b .

∴b -1≤a ≤2b .

充分性：∵b ＞1,a ≥b -1,对任意x ∈［0,1］,可以推出ax -bx 2≥b (x -x 2

)-x ≥-x ≥-1,即ax -bx 2≥-1.