新课标下数学建模能力的评价研究
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２数学建模的内涵
数学模型是借用数学的思想语言讲述现实世界的故事，是我们所面对的复杂无序的现实问题的数学简化．数学建模就是基于不同的现实问题，建立相应的数学模型并得出相应的结果或结论；数学建模是现实情境到数学领域的映射．徐斌艳教授也提出，数学建模是建立真实世界与数学世界之间可逆的联系，关注抽象出数学问题与解决现实问题的过程．数学建模并非线性过程，需要不断地从数学世界返回真实世界中检验结果、完善模型［４］．波利亚在《怎样解题》一书中谈到解决问题通常要经过四个流程，即弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾与反思．２００６年，国际经济合作与发展组织（ＯＣＥＤ）在其开展的国际学生评估项目（ＰＩＳＡ）中，将数学建模的过程分为五个流程：（１）从现实中发现问题并提出；（２）对现实问题进行简化；（３）进行合理的假设，将现实问题转化为数学问题；（４）解决数学问题；（５）将数学结果返回到现实情境中解释并进行检验［５］．这五个流程将现实世界与数学世界联系在一起，构成了数学建模的循环模型（图１）．２０１７年新课标也给出了数学建模核心素养的内涵：“数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程．具体表现为：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．”
新课标下数学建模能力的评价研究
在中国高中数学课程改革的十几年间，数学建模逐渐进入到中学数学课堂，并越来越受重视．《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》（以下简称２０１７年新课标）中，“数学建模”被列为新增的三个课程内容（数学建模、数学探究、数学文化）之一，更加突出了“培养数学建模能力”的重要性．同时，２０１７年新课标明确要求高中阶段至少为学生安排一次建模活动，并给出了相应的学时．数学建模作为六大核心素养之一，是沟通现实世界与数学世界的桥梁，反映了数学的应用价值［１］．
１研究背景
近年来，各国和各地区的课程改革都将数学建模思想纳入新的课程标准当中．全美数学教师理事会（ＮＣＴＭ）在２０００年出版的《学习数学教育的原则和标准》中提出，问题解决必须成为中学数学的中心，要把数学建模纳入中学教材［２］．日本近些年来的课程改革也提出，要重视培养学生发现问题、独立思考和解决问题的能力，注重创造性的培养．２００３年，德国数学教育课程标准明确提出，数学建模能力是学生应当发展的数学能力，即学生要学会用数学的知识与方法去理解与现实相关的情境，并提出解决方案．我国《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》将知识内容分为四部分，其中第四部分为“综合与实践”，要求学生学会用另外三部分的知识（数与代数、图形与几何、统计与概率）去解决生活中的一些实际问题，着重发展学生的应用意识和创新意识［３］．２０１７年新课标提出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养．”教育工作者要重点加强学生数学建模素养的培养，让学生学会用数学的眼光去看待周围的事物．
３数学建模能力评价现状
长期以来，关于数学建模的研究多为设计使用数学模型或数学建模教学，更偏重于利用数学模型解决实际问题．但是由于数学建模能力评价标准的缺失，很多中学无法对数学建模的教学效果进行科学地评价．注意到这一问题，新课标就数学建模能力的评价给出了明确的水平划分，指出：“对于数学建模的评价，应该重视数学模型的形成过程和学生在此过程中的参与度，关注学生对问题中的数量关系以及数学模型中参数的意义、模型解的意义的理解．”为了更好地对学生的数学建模能力进行评价以及扬长避短，因材施教地培养数学建模能力，我们需要一个科学的评价体系来对学生的数学建模能力进行客观准确的评价．
４国际比较测试项目对比分析
２０１７年新课标中指出：“几次重大的国际数学教育比较研究，如国际内部审计教育伙伴（ＩＡＥＰ）、国际数学和科学测评趋势（ＴＩＭＳＳ）和国际学生评价项目（ＰＩＳＡ）等都表明，一个国家的源自文库程和教材对学生的学习和成就有重大的影响．”ＰＩＳＡ和ＴＩＭＳＳ是国际上两个比较大型的测评研究项目，是现代教育测量的权威代表［６］．笔者特别对比研究了ＰＩＳＡ和ＴＩＭＳＳ项目，分别从项目概况，数学素养测评框架两个方面进行分析．（１）项目概况国际学生评估项目（ＰＩＳＡ）是由经济合作与发展组织（ＯＥＣＤ）实施，以１５岁中学生为研究对象，测评他们在数学、科学和阅读方面的素养所开展的具有周期性的国际比较研究项目．ＰＩＳＡ项目每３年一次，轮流选取数学、科学和阅读中的一个领域作为主要测评领域；每９年更新一次设计思路，调整测评框架，其中ＰＩＳＡ２００３，ＰＩＳＡ２０１２，ＰＩＳＡ２０２１测评的主要领域是数学．２０１９年５月，ＯＥＣＤ公布了最新的ＰＩＳＡ２０２１数学测评框架．国际数学和科学测评趋势（ＴＩＭＳＳ）是由国际教育成就评价协会（ＩＥＡ）自１９９５年起组织的大规模的数学和科学教育国际测评项目，每４年进行一次，包含ＴＩＭＳＳ（４年级和８年级）和ＴＩＭＳＳ－Ａ（１２年级）两大系列．我国迄今还未正式参加过ＴＩＭＳＳ－Ａ测评项目，因此该项目的研究对于我国高中数学学科核心素养评价具有一定的借鉴意义．（２）数学素养（特别是数学建模）测评框架ＰＩＳＡ２０２１对于数学素养的内涵表述为“数学素养是指个体在真实世界的不同情境下进行数学推理，并表达、应用和阐释数学以解决问题的能力．它包括使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象的能力．它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的２１世纪建设性公民，了解数学在世界中所起的作用以及做出有根据的数学判断和决定．”ＰＩＳＡ２０２１数学素养测评框架［７］如图２所示，突出了“数学过程”中数学推理的核心地位，而数学推理贯穿数学建模的整个过程．与ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评框架中数学建模过程进行对比（图３），ＰＩＳＡ２０２１将原来的方形模型改进为圆形模型，数学建模过程与数学内容环环相扣，更加突出数学建模是在使用数学知识与数学能力来更好地理解现实情境［８］．ＴＩＭＳＳ－Ａ数学测评始于１９９５年，经历了由最初的１９９５年不成型、２００８年基本成型，发展到２０１５年基本定型的过程，主要包括内容领域与认知领域两个维度，各维度都有相应的百分比．廖运章教授深入研究了ＴＩＭＳＳ－Ａ数学测评框架的变化趋势［９］，笔者总结为如表１所示的ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５数学测评框架．ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５在应用领域中突出了对数学建模的要求，表现为表征／建模（用方程或图象对问题情境建模，对给定的数学对象或信息建立等价表征）．虽然ＰＩＳＡ２０２１与ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５数学测评框架各有特点，但它们包含的内容和能力类别相似．ＰＩＳＡ２０２１更加明确指出了具体的数学素养主题，包括三部分：数学素养的界定、数学素养的测试范围及数学素养的评估，这些主题贯穿整个测评框架．ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５更侧重于以课程作为研究的出发点，把学校的教学目标作为标准，包括内容和认知领域两个维度，但是对核心素养没有专门的体现．
数学模型是借用数学的思想语言讲述现实世界的故事，是我们所面对的复杂无序的现实问题的数学简化．数学建模就是基于不同的现实问题，建立相应的数学模型并得出相应的结果或结论；数学建模是现实情境到数学领域的映射．徐斌艳教授也提出，数学建模是建立真实世界与数学世界之间可逆的联系，关注抽象出数学问题与解决现实问题的过程．数学建模并非线性过程，需要不断地从数学世界返回真实世界中检验结果、完善模型［４］．波利亚在《怎样解题》一书中谈到解决问题通常要经过四个流程，即弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾与反思．２００６年，国际经济合作与发展组织（ＯＣＥＤ）在其开展的国际学生评估项目（ＰＩＳＡ）中，将数学建模的过程分为五个流程：（１）从现实中发现问题并提出；（２）对现实问题进行简化；（３）进行合理的假设，将现实问题转化为数学问题；（４）解决数学问题；（５）将数学结果返回到现实情境中解释并进行检验［５］．这五个流程将现实世界与数学世界联系在一起，构成了数学建模的循环模型（图１）．２０１７年新课标也给出了数学建模核心素养的内涵：“数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程．具体表现为：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．”
新课标下数学建模能力的评价研究
在中国高中数学课程改革的十几年间，数学建模逐渐进入到中学数学课堂，并越来越受重视．《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》（以下简称２０１７年新课标）中，“数学建模”被列为新增的三个课程内容（数学建模、数学探究、数学文化）之一，更加突出了“培养数学建模能力”的重要性．同时，２０１７年新课标明确要求高中阶段至少为学生安排一次建模活动，并给出了相应的学时．数学建模作为六大核心素养之一，是沟通现实世界与数学世界的桥梁，反映了数学的应用价值［１］．
１研究背景
近年来，各国和各地区的课程改革都将数学建模思想纳入新的课程标准当中．全美数学教师理事会（ＮＣＴＭ）在２０００年出版的《学习数学教育的原则和标准》中提出，问题解决必须成为中学数学的中心，要把数学建模纳入中学教材［２］．日本近些年来的课程改革也提出，要重视培养学生发现问题、独立思考和解决问题的能力，注重创造性的培养．２００３年，德国数学教育课程标准明确提出，数学建模能力是学生应当发展的数学能力，即学生要学会用数学的知识与方法去理解与现实相关的情境，并提出解决方案．我国《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》将知识内容分为四部分，其中第四部分为“综合与实践”，要求学生学会用另外三部分的知识（数与代数、图形与几何、统计与概率）去解决生活中的一些实际问题，着重发展学生的应用意识和创新意识［３］．２０１７年新课标提出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养．”教育工作者要重点加强学生数学建模素养的培养，让学生学会用数学的眼光去看待周围的事物．
３数学建模能力评价现状
长期以来，关于数学建模的研究多为设计使用数学模型或数学建模教学，更偏重于利用数学模型解决实际问题．但是由于数学建模能力评价标准的缺失，很多中学无法对数学建模的教学效果进行科学地评价．注意到这一问题，新课标就数学建模能力的评价给出了明确的水平划分，指出：“对于数学建模的评价，应该重视数学模型的形成过程和学生在此过程中的参与度，关注学生对问题中的数量关系以及数学模型中参数的意义、模型解的意义的理解．”为了更好地对学生的数学建模能力进行评价以及扬长避短，因材施教地培养数学建模能力，我们需要一个科学的评价体系来对学生的数学建模能力进行客观准确的评价．
４国际比较测试项目对比分析
２０１７年新课标中指出：“几次重大的国际数学教育比较研究，如国际内部审计教育伙伴（ＩＡＥＰ）、国际数学和科学测评趋势（ＴＩＭＳＳ）和国际学生评价项目（ＰＩＳＡ）等都表明，一个国家的源自文库程和教材对学生的学习和成就有重大的影响．”ＰＩＳＡ和ＴＩＭＳＳ是国际上两个比较大型的测评研究项目，是现代教育测量的权威代表［６］．笔者特别对比研究了ＰＩＳＡ和ＴＩＭＳＳ项目，分别从项目概况，数学素养测评框架两个方面进行分析．（１）项目概况国际学生评估项目（ＰＩＳＡ）是由经济合作与发展组织（ＯＥＣＤ）实施，以１５岁中学生为研究对象，测评他们在数学、科学和阅读方面的素养所开展的具有周期性的国际比较研究项目．ＰＩＳＡ项目每３年一次，轮流选取数学、科学和阅读中的一个领域作为主要测评领域；每９年更新一次设计思路，调整测评框架，其中ＰＩＳＡ２００３，ＰＩＳＡ２０１２，ＰＩＳＡ２０２１测评的主要领域是数学．２０１９年５月，ＯＥＣＤ公布了最新的ＰＩＳＡ２０２１数学测评框架．国际数学和科学测评趋势（ＴＩＭＳＳ）是由国际教育成就评价协会（ＩＥＡ）自１９９５年起组织的大规模的数学和科学教育国际测评项目，每４年进行一次，包含ＴＩＭＳＳ（４年级和８年级）和ＴＩＭＳＳ－Ａ（１２年级）两大系列．我国迄今还未正式参加过ＴＩＭＳＳ－Ａ测评项目，因此该项目的研究对于我国高中数学学科核心素养评价具有一定的借鉴意义．（２）数学素养（特别是数学建模）测评框架ＰＩＳＡ２０２１对于数学素养的内涵表述为“数学素养是指个体在真实世界的不同情境下进行数学推理，并表达、应用和阐释数学以解决问题的能力．它包括使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象的能力．它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的２１世纪建设性公民，了解数学在世界中所起的作用以及做出有根据的数学判断和决定．”ＰＩＳＡ２０２１数学素养测评框架［７］如图２所示，突出了“数学过程”中数学推理的核心地位，而数学推理贯穿数学建模的整个过程．与ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评框架中数学建模过程进行对比（图３），ＰＩＳＡ２０２１将原来的方形模型改进为圆形模型，数学建模过程与数学内容环环相扣，更加突出数学建模是在使用数学知识与数学能力来更好地理解现实情境［８］．ＴＩＭＳＳ－Ａ数学测评始于１９９５年，经历了由最初的１９９５年不成型、２００８年基本成型，发展到２０１５年基本定型的过程，主要包括内容领域与认知领域两个维度，各维度都有相应的百分比．廖运章教授深入研究了ＴＩＭＳＳ－Ａ数学测评框架的变化趋势［９］，笔者总结为如表１所示的ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５数学测评框架．ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５在应用领域中突出了对数学建模的要求，表现为表征／建模（用方程或图象对问题情境建模，对给定的数学对象或信息建立等价表征）．虽然ＰＩＳＡ２０２１与ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５数学测评框架各有特点，但它们包含的内容和能力类别相似．ＰＩＳＡ２０２１更加明确指出了具体的数学素养主题，包括三部分：数学素养的界定、数学素养的测试范围及数学素养的评估，这些主题贯穿整个测评框架．ＴＩＭＳＳ－Ａ２０１５更侧重于以课程作为研究的出发点，把学校的教学目标作为标准，包括内容和认知领域两个维度，但是对核心素养没有专门的体现．