电磁场的矢势和标势

i
c2
k (k
A)
Page 20
c2
k
B
cnˆ
B
如果取 A A横 ，即只取 A 具有横向分量，那么
有
k A k A横 0
从而得到：
c2
k
A
0
因此有：
Page 21
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
(k A 0)
其中：
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
Page 22
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，
则只有 0
2 A
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
A
A ei(k xt) 0
由库仑规范条件得到
即保证了
A
A ik A 0
只有横向分量，即A
A横
到
，从而得
Page 23
t
E库
A
t
可见，
项对应库仑Page场13
，
对应着感
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
洛仑兹规范条件为
A
C12
t
0
，即
规A
A
定 是一个有旋有源场（即 包含横场和纵场两 部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为 特别简单的对称形式。
Page 14
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
t
中的标势
与电势 (E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
况下， E 不再是保 守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所 做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scca)lar在p时ot变en场tia中Al)。，磁场和 电场是相互作用着
的整体，必须把矢势 和标势 作为一个整体
来描述电磁场。
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2、规范变换和规范不变性
两微对函数的但应梯种数分E等的的 度方虽价 梯，在程然的 度这的EE是，方关和因结式系B为，果，A，不但矢所A以势影由以B及A响于Et它A们可B之中和、，以对间E加而 的A上这是和关一个要描系个 任发述、不任意电生是标意之磁影一量标间场响一量函是的，
()
0 j
此时，标势所满足的方程与 静A 电1场相同 。0
c 2 t
b) 采用洛仑兹规范(
)
Page 16
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
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4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势( 所A 满c1足2 的t 方) 程，0得j 到：
2
A
t
0
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a) 采用库仑规范 上述方程化为
( A 0)
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
t A
E
t t
t
(A . ) ( A . )
由此可见，
和 Page 12
描述同一电磁场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范条件为 A 0 ，即规定A 是一
个纵横场有场部旋部分无 分由源 完A 描场 全述（由 （横E即场描）述At。（具这即有个无A规 源范性具的）有特。无点由旋是E性)的，
D
E
B t
B 0
H
j
D t
D 0E , B 0H .
Page 5
针对磁场
B 0
引入
B A
A 的物理意义可由下 式看出：
L
A dl
B ds
S
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
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对于电场 E 不能像静电场那样直接引入电势。由
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
，即得
c2
k
A
这表明，只要给定了
A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：
Page 19
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
A横
ik
A纵
E
ik A横
A
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
本章主要内容
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
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§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
Page 4
1、用势 描A述, 电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是： 它的标势 描述库A 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 只有
横偏振向。分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立A
A
洛仑兹规范的优点是：它的标势 和矢势
构成的势方程具有对称P性age 。24 它的矢势 的纵向部
将
t 中的 与此融合也作相应的
E
Page 10
设
为任意的标量函数，即
(x,t)
，作
下述变换式：
A
A
A
t
A .
于是我们得到了一组新的
，很容易证明：
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A (A ) A ( )
A
A
(
B
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
Page 1
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场 情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时， 引入势的概念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况， 然后通过势来解辐射问题。
Page 2
Faraday电磁感应定律可得：
E
B
(
A)
A
t t
t
E
A t
0
E
A
t
是标势不 是静电势
Page 7
即
E
A
t
电磁场和势之间的关系如下
B
E
A
A t
注意： a) 当A 与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0
时,且E
Page 8
b)
绝对不要把E
A
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
Page 18
i(k Leabharlann Baidut
e0
)
A
A ei(k xt ) 0
由Lorentz规范条件 A
1
0
ik