初三数学培优之转化与化归--特殊方程、方程组

初三数学培优之转化与化归----特殊方程、方程组

阅读与思考

特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.

降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；

5、整体叠加、叠乘等.

转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.

例题与求解

【例1】已知方程组⎩⎨

⎧=+=+23

352

2y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）

解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.

【例2】方程组⎩⎨

⎧=+=+23

63yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．

【例3】 解下列方程:

（1） 42)113(1132=+-++-x x

x x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）

12

11

93482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(3

3

=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 2

2

2

2

2

2

)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.

【例4】 解下列方程组:

（1） ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;

612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）

（2） ⎩⎨⎧=++=++;

2454,144)53)(1(2

y x x y x x x （西安市竞赛试题）

（3） ⎩

⎨⎧+-=+-=.23,

232

32232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.

【例5】 若关于x 的方程x

kx x x x x k 1

122+=

---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.

（江苏省竞赛试题）

【例6】 方程02006322

=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？

（江苏省竞赛试题）

解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.

能力训练

A 级

1．方程1)1(3)1(222

=+-+

x

x x x 的实数根是_____________. 2．()(

)()

2

2

2

22224367243+-=+-+-+x x

x x x x ，这个方程的解为x =_________________.

3．实数z y x ,,满足⎩⎨

⎧=+-+-=,

0223,362

z xy y x y x 则z

y x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0

,0,0122

2b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a

（武汉市选拔赛试题）

5．使得(

)(

)(

)(

)

7823142

2

2

2

+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

（“五羊杯”竞赛试题）

6．已知方程组⎩⎨

⎧=-=+1

,22

z xy y x 有实数根，那么它有（ ）

A ．一组解

B ．二组解

C ．三组解

D ．无数组解

（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312

=+，b b 312

=+且b a ≠，则代数式

22

1

1b

a +的值为（ ）

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11 8．已知实数y x ,满足20,92

2

=+=++xy y x y x xy ，则2

2

y x +的值为（ ）

A ．6

B ．17

C ．1

D ．6或17

9．已知关于y x ,的方程组⎩

⎨⎧=-+=-222)(3,

p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .

（四川省竞赛试题）

10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022

y x a y x 的两个解为⎩⎨

⎧==,,11y y x x ⎩

⎨⎧==,,22y y x x 且2

1,x x 是两个不等的正数.

（1）求a 的取值范围；

（2）若116832

212

22

1--=-+a a x x x x ，试求a 的值.

（南通市中考试题）

11．已知b a ,是方程012

=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y a

y

b x x b y

a x

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,

6,512

2pq q p p q p 试求这个一元二次方程.

（杭州市中考试题）

B 级

1．方程组⎪⎩⎪

⎨⎧==++++=++4

3251z y x z y x z y x 的解是___________________.

2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）

3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧

+==

1

1x y x

y 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）