高考文科数学复习古典概型与几何概型

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(3)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测
其重量，属于古典概型．
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(4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，
每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一
个兴趣小组的概率为13. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
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二、填空题
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突破点一 古典概型
抓牢双基·自学回扣
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[基本知识]
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是 互斥 的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典
概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等 ．
球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色
不同的概率为________． 答案：56
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研透高考·深化提能
[典例] (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生 志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
[答案] D
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(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形
ABCD 为正方形，G 为线段 BC 的中点，四边
形 AEFG 与四边形 DGHI 也为正方形，连接
EB，CI，则向多边形 AEFGHID 中投掷一点，
该点落在阴影部分内的概率为
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1
2
3
1
A.3
B.5
C.8
D.2
[解析] 设正方形 ABCD 的边长为 1，则可求得 S 总＝3，
S 阴影＝2×12× 25×1× 25＝1，所以所求概率为 P＝13，故选 A. [答案] A
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[方法技巧] 求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应 的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的 坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
考法三 与体积有关的几何概型
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[方法技巧] 1．求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基 本事件个数 m； (3)利用公式 P(A)＝mn ，求出事件 A 的概率．
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2．求基本事件个数的三种方法 (1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于 情况相对简单的试验题． (2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可 以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数． (3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出 来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于 较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．
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[例 3] (2019·陕西部分学校摸底)在球 O 内任取一点 P，
则点 P 在球 O 的内接正四面体中的概率是
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1 A.12π
3 B.12π
23
3
C. 9π D.6π
[解析] 设球 O 的半径为 R，球 O 的内接正四面体的棱
长为
2a，所以正四面体的高为233a，所以
R2
＝
36a 2 ＋
2
[解] (1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，所以应从 甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
(2)①从抽取的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}， {B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}， {C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}， 共 21 种．
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突破点二 几何概型
抓牢双基·自学回扣
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[基本知识]
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，
简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果 有无限多个 ； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积 .
朱实＋黄实＝弦实＝弦 2，化简得：勾 2＋股 2＝弦 2.设勾股形
中勾股比为 1∶ 3，若向弦图内随机抛掷 1 000 颗图钉(大小忽
略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为
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A．866 B．500 C．300 D．134
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[解析] 设勾为 a，则股为 3a，所以弦为 2a，小正方形 的边长为 3a－a，所以题图中大正方形的面积为 4a2，小正方 形的面积为( 3－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为 3－4 12＝1－ 23，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数 大约为1－ 23×1 000≈134.
二、填空题
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1．已知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取
一点，则这一点不在球内的概率为________． 答案：1－π6 2．已知四边形 ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB
的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O
的距离大于 1 的概率为________． 答案：1－π4 3．已知函数 f(x)＝2x(x＜0)，其值域为 D，在区间(－1,2)上随
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总 体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的 也可利用其对立事件去求．
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[例 2] (1)(2019·惠州调研)我国古代数学家
赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝
妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股
形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中
包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及
黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2×勾×股＋(股－勾)2＝4×
答案：D
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2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、 大小完全相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6 六个球的口袋中， 甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下 编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率． (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝A包含基的本基事本件事的件总的数个数.
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典
概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．
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(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反
面”，这三个结果是等可能事件．
机取一个数 x，则 x∈D 的概率是________． 答案：13
研透高考·深化提能
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[全析考法]
考法一 与长度、角度有关的几何概型
[例 1] (1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取
一个实数 x，若 x 满足|x|＜a 的概率为45，则实数 a 的值为( )
A．12
B．1
古典概型与几何概型
[考纲要求] 1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 4．了解几何概型的意义．
Contents
1 突破点一 古典概型 2 突破点二 几何概型 3 突破点三 概率与统计的综合问题 4 课时跟踪检测
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示， 现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率．
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[针对训练]
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1．1．(2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参
加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为( )
Awenku.baidu.com0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
解析：设 2 名男同学为 a，b,3 名女同学为 A，B，C，从 中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b， A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种， 而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种， 故所求概率为130＝0.3.
C．2
D．3
[解析] 设集合 A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若 0＜a≤1，
则 A⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得 P(A)＝a1－ －－ －a4＝45，解
得 a＝2，不符合题意，若 a＞1，则 P(A)＝11－－－－4a＝45，解得
a＝3，符合题意，故选 D. [答案] D
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[方法技巧] 1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 可直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．
考法二 与面积有关的几何概型
(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为
90°的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点在 上任
取一点 C 作射线 OC，则使得∠AOC 和∠BOC
都不小于 30°的概率是
()
1
2
1
1
A.3
B.3
C.2
D.6
[解析] 记事件 T 是“作射线 OC，使得
∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°”，如图，记 的三等分点为 M，N，连接 OM，ON，则∠AON ＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中，所以 P(T)＝∠∠MAOOBN＝3900°°＝13，故选 A. [答案] A
②由①，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C， 来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同 学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}， {A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．
所以事件 M 发生的概率 P(M)＝251.
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．
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(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内
随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)√
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解：(1)设“两个编号和为 8”为事件 A，则事件 A 包括的基本 事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共 5 个．又甲、乙两人 取出的数字共有 6×6＝36 个等可能的结果，故 P(A)＝356. (2)这种游戏规则是公平的． 设甲赢为事件 B，乙赢为事件 C，由题可知甲赢即两编号和为 偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)， (3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)， (6,4)，(6,6)，共 18 个． 所以甲赢的概率 P(B)＝1386＝12，故乙赢的概率 P(C)＝1－12＝12＝ P(B)，所以这种游戏规则是公平的．
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1．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 ________． 答案：25
2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，
这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为______． 答案：190 3．袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红
33a－R2，即
3a＝2R，所以正四面体的棱长为2 36R，底
面面积为12×2 36R× 2R＝233R2，高为43R，所以正四面体的
体积为8273R3，又球 O 的体积为43πR3，所以 P 点在球 O 的内
接正四面体中的概率为29π3，故选 C.
[答案] C
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[方法技巧] 求解与体积有关的几何概型的关键点