数值计算实例MATLAB实现(附带详细源码)

数值计算实例MATLAB实现

附带详细源码

1.在化学反应中，A 的一个分子和 B 的一个分子结合形成物质 C 的分子。若在时刻t 时，物质 C 的浓度为() y t ，则其是下述初值问题的解

()()() ,00y k a y b y y '=--=

其中k 为正常数，a 和 b 分别表示 A 和 B 的初始浓度。 假设k = 0.01, a =70毫摩/升， b = 50 毫摩/升. 该方程的真解为

0.20.2350(1)

()75t t

e y t e

---=- （1）自己编写程序，使用四阶经典Runge-Kutta （龙格-库塔法），以步长为

0.5h =，在区间[0, 20]上给出() y t 的近似解； （2）列表给出真解和近似解的比较；

（3）讨论当t →∞时，近似解的变化趋势，并分析该数值结果。 解：数学原理：四阶经典Runge-Kutta （龙格-库塔法）

112341213243(22)

6

(,)

(,)

22(,)

22

(,)

m m m m m m m m m m h

u u k k k k k f t u h h

k f t u k h h

k f t u k k f t h u hk +=++++==++=++=++

程序设计见附录 结果如下表：

（3）近似解变化趋势

当t→∞时，由以下极限方程可知：

0.2

0.2

350(1)

()

75

lim()

t

t

t

e

y t

e

y t

-

-

→∞

⎧-

=

-

⎪

⎨

⎪

⎩

随着t→∞，近似值越来越接近真实值，极限的真实值为50，lim()50

t

y t

→∞

=，变化趋势也可由一下曲线图表示：

感想：四阶Runge-Kutta法计算的结果精度非常好，其结果与真实解误差不大。

2.考虑定义在闭区间[−5, 5]上的函数()2112()5f x x -=+ ；

（1）利用等距节点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式()n p x ，并分别画

()()()()481632,,,p x p x p x p x ；

（2）利用chebyshev 零点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式()n pp x

()()()()481632,,,pp x pp x pp x pp x ；

（3）画出当 n = 32 时，两种插值多项式的比较图，误差图，并给出相应的误差估计;

（4）在这个问题中能观察到龙格现象吗？ 解：数学原理：

拉格朗日插值多项式：001122()()()()()n n n L x l x y l x y l x y l x y =+++

011011()()()()

(),0,1,2

,()()()()

k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x -+-+----=

=----

0()()()n

n n i

n k k k k k j k j

j k

x x L x l x y y x x ===≠-==-∑∑∏

程序设计见附录

(1) 利用等距节点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式如下： ()43240.00160.00.0640.60061400p x x x x x ++=++

()876542830.00280.00640.02500.02500.00640.00260.000168.001p x x x x x x x x x ++++++=++

()1615141312161110987654320.00210.00280.00410.0064 6

0.01120.02500.09290.09290.02050 0.01120.00640.00410.002.00160180.021.000p x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++=++

()3231302928272632252423222120191817160001600018000210002400028000340004100050006400083001120016100250004350092902906029p x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x x .=+++++++++++++++++151413121110987654320600929004350025000161001120008300064000500041000340002800024000210001800016

x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .+++++++++++++++

（2）利用chebyshev 零点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式如下：

()43240.00160.00320.00320.0016x x p x x p x =++++

()87654328+0.00190.00320.01080.01080.00320.00196=0.0.0106001pp x x x x x x x x x +++++++

()161514131211109168765432=0.0016 0.0017 0.0019 0.00230.00320.00520.01080.0403 1.00000.04030.01080.00520.00320.00230.0019 0.0017 0.0016 pp x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++++

()323130292827263225242322212019181700016000160001700017000190002100023000270003200040000520007100108001860040301428pp x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x x =+++++++++++++++++16151413121110987654320142800403001860010800071000520004000320002700023000210001900017000170001600016

.x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .+++++++++++++++++