力的合成与分解 知识点总结与典例

力的合成与分解

知识要点

一、力的合成

1．合力与分力

（1）定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。

（2）逻辑关系：合力和分力是一种等效替代关系。

2．共点力：作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力。

3．力的合成的运算法则

（1）平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线（在两个有向线段F1、F2之间）就表示合力的大小和方向，如图甲所示。

（2）三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示。

4．力的合成方法及合力范围的确定

（1）共点力合成的方法

①作图法

②计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。

（2）合力范围的确定

①两个共点力的合力范围：|F1–F2|≤F≤F1+F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。当两个力反向时，合力最小，为|F1–F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1+F2。

②三个共点力的合成范围

A．最大值：三个力同向时，其合力最大，为F max=F1+F2+F3。

B．最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即F min=0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即F min=F1–|F2+F3|（F1为三个力中最大的力）。

（3）解答共点力的合成问题时的两点注意

①合成力时，要正确理解合力与分力的大小关系。合力与分力的大小关系要视情况而定，不能形成合力总大于分力的思维定势。

②三个共点力合成时，其合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大的力之差。

二、力的分解

1．概念：求一个力的分力的过程。

2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则。

3．力的分解方法

（1）力的效果分解法

①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；

②再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；

③最后由平行四边形和数学知识求出两个力的大小。

（2）按问题的需要进行分解

①已知合力F和两个分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力F进行分解，其解是唯一的。

②已知合力F和一个分力的大小与方向，力F的分解也是唯一的。

③已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，则有三种可能（F1与F的夹角为θ）。如图所示：

A．F2

B．F2=F sin θ或F2≥F时有一组解。

C．F sin θ

4．下表是高中阶段常见的按效果分解力的情形。

实例分解思路

拉力F可分解为水平分力F1=F cos α和竖直分力F2=F sin α

重力分解为沿斜面向下的力F1=mg sin α和垂直斜面向下的力F2=mg cos α

重力分解为使球压紧挡板的分力F 1=mg tan α和使球压紧斜面的分力F 2=

α

cos mg

重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F 1=mg tan α和使球拉紧悬线的分力F 2=

cos mg

α

小球重力分解为使物体拉紧AO 线的分力F 2和使物体拉紧BO 线的分力F 1，大小都为F 1=F 2=

α

sin 2mg

拉力分解为拉伸AB 的分力F 1=F tan α和压缩BC 的分力F 2=

cos F

α

5．正交分解法

（1）定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

（2）建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

（3）分解方法：物体受到多个作用力F 1、F 2、F 3···，求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解，如图所示。

x 轴上的合力：F x =F x 1+F x 2+F x 3+··· y 轴上的合力：F y =F y 1+F y 2+F y 3+··· 合力大小：22y x F F F +=

合力方向：与x 轴夹角为θ，则x

y F F =

θtan

6．力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法

一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解

法，但也要视题目具体情况而定。

（1）力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是为了更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

（2）一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量（或未知量）“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。

三、矢量和标量

（1）矢量：既有大小又有方向的量。相加时遵循平行四边形定则。

（2）标量：只有大小没有方向的量。求和时按算术法则相加。

题型分类深度解析

【例1】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示（小方格边长相等），则下列说法正确的是

A．三力的合力有最大值F1+F2+F3，方向不确定

B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D．由题给条件无法求出合力大小

【参考答案】B

【详细解析】考查力的平行四边形定则。对于给定的三个共点力，其大小、方向均确定，则合力的大小唯一、方向确定，排除AC；根据图表，可先作出F1、F2的合力，不难发现F1、F2的合力方向与F3同向，大小等于2F3，根据几何关系可求出合力大小等于3F3，B对。

变式练习

1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1+F2+F3

B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大

C．若F1:F2:F3=3:6:8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

D．若F1:F2:F3=3:6:2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

【答案】C