高等代数(第三版)10.2对偶空间
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*
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理2
n维线性空间V的对偶空间V 的维数也是n维的.
,n , , fn ,
*
证明：取定V的一组基1 , 2 , 作V 上的n个线性函数f1 , f 2 , 使得 1 f i ( j ) 0 下证f1 , f 2 , j i ji
, gn
的过渡矩阵为 ( AT )1
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明： 设A (aij )nn，设由f1 , f 2 , , f n到 g1 , g 2 , , g n的过渡矩阵为B (bij ) nn , 则 (1 ,2 , ,n ) (1 , 2 , , n ) A ( g1 , g 2 , , g n ) ( f1 , f 2 , , f n ) B
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
如果T ( ) T ( ), 即
**
，
**
即f ( ) ** ( f ) ** ( f ) f ( ) 由前面定理2的证明可知， ， 故T 是单射.又因为 divV =divV * divV ** n, 所以T 是一个同构映射.
, f n线性无关.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
对任意的 V , 任意的f V * , 有 x11 x2 2 xn n , f i ( ) x1 f i (1 ) x2 f i ( 2 ) xi f i ( i ) xi , 从而， xn f i ( n )
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
小 结
线性函数运算的定义 对偶空间的定义及性质
作业：P420：3，4
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
bnj ani
1 0
j i ji
即BT A E , B ( AT ) 1
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理4.
*
设V 是数域P上的线性空间，
V 是其对偶空间，取定V中一个向量
，定义V *的一个函数 **如下： ** ( f ) f ( )
** * **
, f n线性表示，
, f 是V *的一组基, divV * n.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定义2
设n维线性空间V的基为1 , 2 , 由上面定理所确定V 的基f1 , f 2 , 称为1 , 2 , , n的对偶基.
*
, n， , fn
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理3 1 , 2 ,
f1 , f 2 ,
, n及1 ,2 ,
,n
, gn
,n
是线性空间V的两组基，它们的对偶基 分别为
, f n 及g1 , g2 ,
, n到1 ,2 ,
如果由 1 , 2 ,
的过渡矩阵为A，那么由
f1 , f 2 ,
, f n 及g1, g2 ,
n
kj
f k (i )
b
k 1 n
n
kj
f k ( ali l )
l 1
n
b ( a
k 1
li
f k ( l ))
b
k 1
kj
aki , n)
1 又g j (i ) 0 从而, b1 j a1i b2 j a2 i
j i ji
（i, j 1, 2,
i a1i1 a2i 2 ani n (i 1, 2, , n) g j b1 j f1 b2 j f 2 bnj f n ( j 1, 2, , n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
由于 g （ j i )
n kj
b
k 1 n l 1
(f V * )
则(1) 是V 的一个线性函数； (2)设V 是V 的对偶空间的对偶空间， 定义V 到V **的映射T : T ( ) ** ( V ) 则T 是一个同构映射.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明：（ 1 ）直接按照定义验证即可. (2)任取， V , f V , 有
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
V
wk.baidu.com
结论：对以上定义的加法与数 乘，L(V,P)做成数域P上的线性空 间.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
二、对偶空间
定义2 设V是数域P上的n维线性空间, V上全体线性函数按照上面加 法与数乘构成的数域P上的线 性空间称为V的对偶空间. 记为V
f1 ( )1 f 2 ( ) 2
f n ( ) n f n ( ) f ( n )
于是， f ( ) f1 ( ) f (1 ) f 2 ( ) f ( 2 ) 所以， f f (1 ) f1 f ( 2 ) f 2 即f 可由f1 , f 2 , 故f1 , f 2 , f ( n ) f n
*
( ) ( f ) f ( ) f ( ) f ( )
**
** ( f ) ** ( f ) ( k )** ( f ) f ( k ) k ( f ( )) ( k ** )( f ) 即T ( ) T ( ) T ( ), T (k ) kT ( )
（i, j 1, 2,
, n)
, f n是V *的一组基.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
设k1 f1 k2 f 2 依次对1 , 2 ,
kn f n 0, , n作用, kn f n ( i ) 0,
k1 f1 ( i ) k2 f 2 ( i ) 即ki f i ( i ) 0, 从而, k1 k2 故f1 , f 2 , kn 0,
一、线性函数的运算 二、对偶空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
一、线性函数的运算
设V是数域P上一个n维线性空间，V 上全体线性函数组成的集合记作L(V,P) 设f, g是V的两个线性函数，定义加 法、数乘如下：
( f g )( ) f ( ) g ( )
(kf )( ) k ( f ( ))
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理2
n维线性空间V的对偶空间V 的维数也是n维的.
,n , , fn ,
*
证明：取定V的一组基1 , 2 , 作V 上的n个线性函数f1 , f 2 , 使得 1 f i ( j ) 0 下证f1 , f 2 , j i ji
, gn
的过渡矩阵为 ( AT )1
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明： 设A (aij )nn，设由f1 , f 2 , , f n到 g1 , g 2 , , g n的过渡矩阵为B (bij ) nn , 则 (1 ,2 , ,n ) (1 , 2 , , n ) A ( g1 , g 2 , , g n ) ( f1 , f 2 , , f n ) B
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
如果T ( ) T ( ), 即
**
，
**
即f ( ) ** ( f ) ** ( f ) f ( ) 由前面定理2的证明可知， ， 故T 是单射.又因为 divV =divV * divV ** n, 所以T 是一个同构映射.
, f n线性无关.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
对任意的 V , 任意的f V * , 有 x11 x2 2 xn n , f i ( ) x1 f i (1 ) x2 f i ( 2 ) xi f i ( i ) xi , 从而， xn f i ( n )
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
小 结
线性函数运算的定义 对偶空间的定义及性质
作业：P420：3，4
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
bnj ani
1 0
j i ji
即BT A E , B ( AT ) 1
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理4.
*
设V 是数域P上的线性空间，
V 是其对偶空间，取定V中一个向量
，定义V *的一个函数 **如下： ** ( f ) f ( )
** * **
, f n线性表示，
, f 是V *的一组基, divV * n.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定义2
设n维线性空间V的基为1 , 2 , 由上面定理所确定V 的基f1 , f 2 , 称为1 , 2 , , n的对偶基.
*
, n， , fn
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理3 1 , 2 ,
f1 , f 2 ,
, n及1 ,2 ,
,n
, gn
,n
是线性空间V的两组基，它们的对偶基 分别为
, f n 及g1 , g2 ,
, n到1 ,2 ,
如果由 1 , 2 ,
的过渡矩阵为A，那么由
f1 , f 2 ,
, f n 及g1, g2 ,
n
kj
f k (i )
b
k 1 n
n
kj
f k ( ali l )
l 1
n
b ( a
k 1
li
f k ( l ))
b
k 1
kj
aki , n)
1 又g j (i ) 0 从而, b1 j a1i b2 j a2 i
j i ji
（i, j 1, 2,
i a1i1 a2i 2 ani n (i 1, 2, , n) g j b1 j f1 b2 j f 2 bnj f n ( j 1, 2, , n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
由于 g （ j i )
n kj
b
k 1 n l 1
(f V * )
则(1) 是V 的一个线性函数； (2)设V 是V 的对偶空间的对偶空间， 定义V 到V **的映射T : T ( ) ** ( V ) 则T 是一个同构映射.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明：（ 1 ）直接按照定义验证即可. (2)任取， V , f V , 有
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
V
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结论：对以上定义的加法与数 乘，L(V,P)做成数域P上的线性空 间.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
二、对偶空间
定义2 设V是数域P上的n维线性空间, V上全体线性函数按照上面加 法与数乘构成的数域P上的线 性空间称为V的对偶空间. 记为V
f1 ( )1 f 2 ( ) 2
f n ( ) n f n ( ) f ( n )
于是， f ( ) f1 ( ) f (1 ) f 2 ( ) f ( 2 ) 所以， f f (1 ) f1 f ( 2 ) f 2 即f 可由f1 , f 2 , 故f1 , f 2 , f ( n ) f n
*
( ) ( f ) f ( ) f ( ) f ( )
**
** ( f ) ** ( f ) ( k )** ( f ) f ( k ) k ( f ( )) ( k ** )( f ) 即T ( ) T ( ) T ( ), T (k ) kT ( )
（i, j 1, 2,
, n)
, f n是V *的一组基.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
设k1 f1 k2 f 2 依次对1 , 2 ,
kn f n 0, , n作用, kn f n ( i ) 0,
k1 f1 ( i ) k2 f 2 ( i ) 即ki f i ( i ) 0, 从而, k1 k2 故f1 , f 2 , kn 0,
一、线性函数的运算 二、对偶空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
一、线性函数的运算
设V是数域P上一个n维线性空间，V 上全体线性函数组成的集合记作L(V,P) 设f, g是V的两个线性函数，定义加 法、数乘如下：
( f g )( ) f ( ) g ( )
(kf )( ) k ( f ( ))