正弦函数y=sinx的图象和性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1.3.1 正弦函数的图象和性质

二. 教学目的

1、掌握用几何法绘制正弦函数的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；

2、掌握正弦函数的性质及应用；

3、掌握正弦型函数的图象（特别是用五点法画函数的图象）、性质及应用。

三. 教学重点、难点

重点：

1、用五点法画函数的简图；

2、函数的性质及应用；

3、函数与的图象的关系。

难点：

1、正弦函数的周期性和单调性的理解；

2、函数与的图象的关系。

四. 知识分析

1、正弦函数图象的几何作法

采用弧度制， x、y 均为实数，步骤如下：

（1）在 x 轴上任取一点 O1，以 O l 为圆心作单位圆；

（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；

（3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、、、、的正弦线；

（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～这段分成 12 等份；

（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；

（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图

描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，的图象上有五点起决定作用，它们是。描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：

（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

（5）如果函数表达式不是，则那五点就可能不是

如：用“五点法”作函数的简图，所用的五个关键点列表就是：

而用“五点法”作函数的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列表就是：

3、正弦曲线

下面是正弦函数的图象的一部分：

4、正弦函数的值域

从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；

从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y＝－1 之间，说明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［－1 , 1 ］。

注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如，则值域就是[0，1]，因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

5、周期函数的定义

一般地，对于函数 y＝f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。

注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。

例如：

但是

就是说，不能对x的定义域内的每一个值都有, 因此不是 sinx的周期。

（2）从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)＝＝ f( 2x ) ，则是 f ( 2x)的周期。

（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。

（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。

再如函数

设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) ＝ D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。

（5）“f ( x + T )＝f ( x ) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。

（6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则 kT ( k∈N* )一定也是周期。

（7）在周期函数 y ＝f（x）中，T是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性

（1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，是它的周期，最小正周期

是 2π。

（2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2kπ)＝sinx ( k∈Z)得到。

7、正弦函数的奇偶性

正弦函数 y = sinx ( x∈R )是奇函数。

（1）由诱导公式 sin（－x ）＝－sinx 可知上述结论成立，

（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称；

（3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（ kπ, 0 ）。正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程为。

注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值或最小值。

8、正弦函数的单调性

由正弦曲线可以看出：当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx由－1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx由1减小到－1。

由正弦函数的周期性知道：

正弦函数在每一个闭区间［］（）上都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间［］（）上，都从1减小到－1，是减函数。也就是说正弦函数的单调区间是：［］及［］（）

9、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。

解析：函数的周期为，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

设，那么，

当Z取0、时，x取。所对应的五点是函数，图象上起关键作用的点。

列表：

类似地，对于函数，可列出下表：

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。

由图可以看出，的图象可以看作是把的图象上所有的点向左平行移动个单位而得到的，的图象可以看作是把的图象上所有的点向右平行移动个单位得到的。