数学思想方法在二次函数中的运用
初中二次函数蕴含的思维方法
初中二次函数蕴含的思维方法作者：***来源：《教育·教学科研》2020年第03期“二次函数”是初中数学的重要组成部分，也是中考的热点和难点。
二次函数中蕴含着丰富的思维方法，学生掌握好了这些思维方法就能掌握好二次函数的知识内容，对以后学习有非常重要的作用，它不但能提升学生的思维能力，也能激发学生的潜力。
下面，笔者就二次函数中几种常用的思维方法进行简单的探究。
数形结合思维的应用我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”每个几何图形都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形予以直观地反映和描述，所以数形结合思维也就成为研究数学的重要思维方法之一。
二次函数中“数”“形”并进，让学生做到见“数”识“形”，见“形”而想“数”。
1.1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系。
例：如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，且过点（3，0），下列结论：①abc>0;②a-b+c0;④b2-4ac>0;正确的有（）个？A.1B.2C.3D.4解析：由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线对称轴方程得到b=-2a1.2通过观察图象，由交点坐标可以直接写出不等式解集。
例：二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象（如图）：当y2>y1时，根据图象写出x的取值范围。
解析：通过观察图像可知，使得的的取值范围是：-2函数方程思维的应用方程和方程组是初中阶段比较重要的部分，并且与数学其他板块的关联性也比较强，同时还是解决其他数学问题的工具。
解决二次函数问题常常会使用方程和方程组的思维，同样求解一元二次方程解时，也可以用到二次函数图象来解决。
2.1求两个函数交点坐标的应用。
例：如图，函数y= 与y=-2x+8的图象交于点A、B.求A、B两点的坐标。
解析：联立函数y= 和y=-2x+8得到关于x，y的方程组，解出方程组即可得到A、B两点的坐标。
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。
关键词：二次函数综合问题数学思想方法中图分类号：g633.6 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2012）10-0087-02函数是“数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。
解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。
本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。
1 数学实例【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线ac：y=■x+8与x轴交与点a，与y轴交与点c，抛物线y=ɑx2+bx+c过点a、点c，且与x轴的另一交点为b（x0，0），其中x0>0，又点p是抛物线的对称轴l上一动点。
⑴求点a的坐标，并在图1中的上找一点p0，使p0到点a与点c的距离之和最小；⑵若△pac周长的最小值为10+2■，求抛物线的解析式及顶点n 的坐标；⑶如图2，在线段co上有一动点m以每秒2个单位的速度从点c向点o移动（m不与端点c、o重合），过点m作mh∥cb交x轴与点h，设m移动的时间为t秒，试把△p0hm的面积s表示成时间t 的函数，当t为何值时，s有最大值，并求出最大值；⑷在⑶的条件下，当s=■时，过m作x轴的平行线交抛物线于e、f两点，问：过e、f、c三点的圆与直线cn能否相切于点c？请证明你的结论。
解：⑴直线ac与x轴的交点为a，令y=0得，x=-6，即点a（-6，0）；如图1，连接cb与直线l交于点p0即为所求。
数学思想方法妙解二次函数
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数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用在数学学习过程中，数学思想方法是十分重要的，可以帮助学生建立正确的数学思想、方法和知识体系。
当我们学习二次函数时，掌握数学思想方法是非常有必要的。
本文将从以下几个方面来探讨数学思想方法在二次函数中的应用。
1.图象法在学习二次函数时，我们可以通过画出函数的图象来理解其性质和特点。
图象方法的优点在于可以使学生通过可视化方法来认识二次函数的图像特征。
例如，对于一个一般二次函数y=ax²+bx+c，我们可以通过绘制抛物线图像来研究它的性质。
通过观察图象的拐点、对称轴、焦点、准线等特征，可以深刻理解二次函数在不同情境下的变化规律，更好地掌握二次函数的知识。
2.化归法二次函数化归是学习二次函数时必须掌握的方法。
通过将二次函数化为标准式或顶点式，可以减少计算量，使问题更加清晰明了。
化归法的优点在于可以帮助我们把抛物线的焦点、准线等重要信息表达得更清晰，同时也可以提高计算的准确性和速度。
3.交点求解法掌握二次函数的交点求解方法可以方便解决几何等问题。
通过求解两个函数（可能是直线与抛物线，也可能是两条抛物线）的交点坐标，可以求出相应的因式及其对应的根。
可以通过画图或利用方程组来求解交点坐标，进而得到解题的答案。
4.极值法在掌握化归法使二次函数化为顶点式的前提下，极值法可以帮助我们更快地找到二次函数的最值。
极值法的基本思路是，通过求得二次函数的顶点来获得函数的最值。
当然，也可以通过解方程求得函数的最值。
通过这种方法，我们可以更快地求出二次函数在特定条件下的最大值或最小值。
5.因式分解法在学习二次函数的过程中，因式分解法也很有用。
通过将二次函数化为(x+a)(x+b)的形式，我们可以轻松地求出零点、对称轴和拐点等特征。
同时，因式分解法还可以帮助我们更好地理解二次函数，尤其是对于不同系数的情况下函数的变化规律。
综上所述，数学思想方法在二次函数中的应用是非常广泛的，包括图象法、化归法、交点求解法、极值法和因式分解法等等。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门研究数量，结构，空间以及变化等概念的学科。
在数学中，二次函数和一次函数是两个重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将介绍如何运用数学思想解决二次函数、一次函数以及方程等综合问题。
首先让我们来回顾一下二次函数和一次函数的定义。
二次函数是指形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
在解析几何中，二次函数也可表示为二次曲线的方程。
解决二次函数和一次函数问题的关键是要理解函数的性质和图像的特点。
下面我们将给出一些实际问题，并运用数学思想解决这些问题。
问题一：一辆汽车行驶的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
已知一辆汽车行驶1小时可以行驶80公里，行驶5小时可以行驶多少公里？解决方法：根据题目中所给的信息，可以得到一次函数的表达式为f(x)=80x，其中x表示行驶的时间，f(x)表示行驶的距离。
根据一次函数的性质，我们可以算出行驶5小时可以行驶的距离为f(5)=80×5=400公里。
问题二：一个球从离地面10米的地方自由下落，设t表示下落的时间（秒），可知球下落的高度与下落的时间t的关系可以用二次函数来表示。
球下落的高度与时间的关系式是h(t)=-4.9t²+10，其中h(t)表示球的下落的高度。
求解以下问题：1) 球下落1秒的高度是多少？2) 球从离地面10米的地方自由下落，球何时落地？解决方法：1) 根据题目中所给的二次函数的表达式，可以算出球下落1秒的高度为h(1)=-4.9×1²+10=5.1米。
2) 球何时落地意味着球的高度为0，根据二次函数的性质，我们可以将h(t)置为0，解方程-4.9t²+10=0。
通过求解这个方程，可以得到t≈1.45秒。
所以球大约在1.45秒时落地。
通过以上两个问题的解答，我们可以看到，在实际问题中，运用数学思想能够帮助我们解决各种类型的问题。
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
浅谈数学思想在初中数学二次函数中的渗透
浅谈数学思想在初中数学二次函数中的渗透摘要：二次函数是初中数学教学中的重点内容，教师需要加强学生对二次函数概念和性质的理解，提升学生的学习兴趣，使其真正掌握有效地函数学习方法。
关键词：初中数学；二次函数；策略学生对于二次函数知识不感兴趣的原因一方面在于学生对以往旧知识的掌握不扎实，另一方面还没有适应二次函数知识的综合性，缺乏一定的思维能力和对整体知识的梳理能力。
教师要让学生明白数学知识的螺旋结构，只有建立知识间联系，才能够对知识加以内化，从而有效掌握。
一、方程思维到函数思维的转换二次函数是初中阶段数学课程内容中的重中之重，那么教师在进行该部分内容教学时也应注意到对传统教学方法的调整和改进。
二次函数的学习首先是概念的理解，理解二次函数的基本性质需要建立在熟悉二次函数图像的基础之上，只有熟练掌握函数图像的规律和使用方法，才能够更进一步把握二次函数曲线以及其方程表达式的含义。
基于此，教师要善于运用生活实例来让学生直观地去理解并区分开二次函数表达式与一元二次方程的不同，明确二次函数呈现的是两个不同未知数之间的动态变化关系。
除此之外，概念的认知与掌握还与更加深入的思考有密切关系。
比如理解常量是如何变成变量的，这一过程就需要联系到之前所学过的代数与几何相关知识。
相比于知识的硬性转变，更多需要的是思维和观念上的转变，这就需要教师引导学生从函数的图像到变量的变化，从静态思维过渡到动态思维，切实理解函数在变化的过程中，其图像上会表达出一些什么。
二、不同数学思想的渗透1、数形结合思想清晰直观的图像可以有效化解抽象代数式子中的理解障碍，往大了说这也就是具象思维到抽象思维之间的转换。
而在二次函数知识中，主要涉及到的数形结合思想就是“以形助数”和“以数解形”。
以二次函数性质为例，从2，到2，2，再到2，探究一般二次函数2的图象和性质，这需要经历“列表描点→连线画图→观察特征→总结性质”的过程，那么重点就在于是否能够通过直观的图像来帮助学生理解这些表达式中所蕴含的基本规律。
初中数学九年级《数学结合思想在二次函数中的应用》公开课教学设计
数学结合思想在二次函数中的应用一、课标要求1. 通过实际问题情境分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能从图象上认识二次函数的性质，能用函数刻画事物间的相互关系并进行分析。
2. 探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
二、内容分析二次函数在初中数学教学中有重要地位，它是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
它的考查经常牵涉到等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，二次函数也是中考的热点之一。
本节课设想在学生第一轮复习了二次函数的图象与性质的基础上，在第二轮复习中进一步研究解决二次函数与几何结合的综合问题，让学生体会这类问题的通解通法，感受数学结合思想为解题带来的便利，初步掌握一些处理数形关系及其变化规律的常用手法，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
三、教学目标1. 初步掌握利用几何图形和二次函数的有关性质及相关知识解决函数与几何融合在一起的综合问题的一些常用方法，会探索、寻找、利用运动中的“不变量”；2. 学会运用类比、联想、转化、推理等方法挖掘问题中的隐含条件，用数形结合、分类讨论等思想方法分析问题，在问题解决的过程中提升运用函数知识与方法解决问题的能力。
四、教学重点培养运用类比、联想、转化、推理等方法解决二次函数与几何综合问题的思维方式方法。
五、教学难点挖掘问题中的隐含条件，寻找运动中的“不变量”，用数形结合思想分析、思考问题。
六、学情分析教学班级为平行班，学生的学习基础参差不齐，成绩中等的学生占大多数。
本班学习积极性高。
因此在设计本节课的内容是，从最基础的二次函数知识出发，由浅入深，环环紧扣，从题目的设计上降低学生学习的难度，从而让学生能更好地体会数形结合思想在二次函数中的应用。
七、教学过程，那么点P的坐标马问题。
这样的代数问题，何问题求解。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
浅议数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用
数学学习与研究2016.4【摘要】函数是研究显示世界变化规律的重要模型,同时也是初中数学教学中的重点内容.在初中数学中学好了函数就相当于成功了一半,数学成绩也会随之上升.在二次函数综合问题中,包含的数学方法比较集中,同时所涉及的知识点比较广泛,对提高学生分析能力和解决问题的能力有着重要的作用.本文中主要对数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用进行详细分析.【关键词】数学思想;初中;二次函数;综合问题运用前言初中二次函数的综合问题中所包含的数学思想方法比较集中,当中所涉及的知识点比较广,对学生的数学思想方法和解决问题的能力培养有着重要的影响,也因此成为了广大教育者所关注的重点话题.下面将对数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用进行详细的讨论.一、数学思想概述数学思想是人们对数学理论以及数学内容的总体概述,是数学思想中的具体形式[1].在教学中常见的数学思想主要包含了:函数与方程;数形结合、转化与规划以及分类讨论几种.思想方法是客观反映在人的意识中通过思维活动而产生的结果,是从大量的思维活动中所获得的产物,在经过了反复的验证和实践之后被应用于新的思维活动中,最终产生全新的结果.而数学思想方法指的是将现实空间与数量反映到人的意识中去,通过思维活动来产生结果,是一种数学事实和理论之间的本质结合.数学思想方法是数学中的精髓,同时也是数学中各种知识转换的纽带,它能将原本零散的数学知识结合在一起来形成全新的认知结构,通过数形结合、方程与函数、整体思想、配方法等思想方法来进行数学二次函数的解题,不仅能让学生感受到各种不同数学思想之间的联系,同时也能在数学思想中提升学生解题的能力,最终提高学生分析和解决实际问题的能力,推动学生的全面发展.二、数学思想方法在初中二次函数综合问题中的应用(一)方程思想在数学二次函数教学中,利用方程的方式来解决数学问题的策略就是方程思想.在进行实际问题的解决过程中,很多问题都能通过方程的方式来进行解决.当中方程思想体现最为明显的是利用待定系数法来求二次函数解析式.例题1.二次函数的图像顶点(1,-4),并且经过点(3,0),求二次函数的解析式.为了能进一步的拓展学生们的眼界,可以采取一般式和顶点式两种不同的方式来进行二次函数解析.解法一:将二次函数的解析式设为:y =ax +bx +c ,根据题意,9a +3b +c =0,a +b +c =-4,-b 2a =1.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐解得:a =1,b =-2,c =-3.{因此,二次函数解析式为:y =x 2-2x -3.解法二:抛物线的顶点为(1,-4),所以将二次函数的解析式设为:y =a (x -1)2-4,将(3,0)带入到上面的方程式当中,可以得出a (3-1)2-4=0,解得a =1,二次函数的解析式则为:y =(x -1)2-4,即y =x 2-2x -3.方程思想中充分的体现出了已知和未知之间的对立统一关系,解法一是利用一般方程式来求解,也就是利用顶点坐标公式与坐标的方式来列出方程组,求得最终的二次函数解析式.而解法二则是利用顶点来求解,利用解法二来进行求解是这道题当中最为简洁的方式[2].通过多种不同方式来进行同一问题的解决,不仅能有效的展现出数学思想的多样性,同时也能有效的锻炼学生思维发展,提高他们解决问题的能力.(二)数形结合的思想方法数形结合方法是初中数学教学中一种比较常用的思想方法,同时也是十分重要的学习思想.数量关系与空间关系两者是初中数学中研究的重点对象,而数形结合则是一种有着丰富数学特点的信息转换方式.在数量关系方面的抽象概念和解析式,如果利用数形结合的方式那么将会把原本抽象的内容变得更加直观化,同时使当中的一些题目更加的简明化.而在图形的性质方面,不仅能为其赋予更多的数量意义,同时也能找到更加合适的代数方法,使其数量关系变得更加容易解决.因此,在初中数学二次函数教学中教师应重视利用数形结合的思想,为学生的未来发展奠定稳定的基础.在进行数形结合思想的运用过程中,要想能真正的实现数形结合,重要的是要将坐标联系、审视联系和构造联系进行全面的认识.例如:y =2x +5或者y =3x 他们形如y =kx +b 和y =kx ,通过此来直接的联想到图像直线,构造联系通过函数图形和函数来形成相互之间的转换.结语:数学思想方法中包含了多种不同的方法,但在形式和目的上都是统一的,主要是将原本零散的数学内容整合到一起,构成全新的知识框架来实现解决问题的目的.初中二次函数教学中,教师应重视起对学生的数学思想培养,让学生能积极的将数学思想运用到解决问题过程中.这不仅对学生的数学解题能力提升有着重要的意义,同时也能有效的提升学生思维发展,让学生得到更加全面的、健康的发展.【参考文献】[1]魏中云.关于数学思想方法教学的几点思考[J ].科学咨询(教育科研),2011,06(12):41-47.[2]赵艳凤.对初中数学思想方法在二次函数教学中应用的几点思考[J ].科教文汇(下半月),2012,06(01):60-63.[3]朱海瑛.应该重视数学思想方法的教学[J ].科技信息(学术研究),2013,07(13):82-89.浅议数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用◎邓勇军(四川省夹江县第二中学614100)134. All Rights Reserved.。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中比较重要的一个章节，它的应用涉及到很多领域，如物理、经济等。
在学习二次函数的过程中，数学思想方法可以帮助我们更好地理解二次函数的概念和性质，并且更加深入地掌握它的应用。
下面我将阐述数学思想方法在二次函数中的应用。
1. 递推思想递推思想是数学思想方法中非常重要的一种方法，它在二次函数中也是可以应用的。
当我们学习二次函数时，我们可以通过递推的思想来推导二次函数的通项公式。
例如，对于二次函数f(x) = x² + x + 1，我们可以先求出它的第n项，然后利用递推的思想来求出它的通项公式。
假设f(1) = 3，f(2) = 6，f(3) = 11，那么我们可以列出如下的表格：n 1 2 3 4 ...f(n) 3 6 11 18 ...我们可以发现，每一项之间的差都是相同的，且这个差是1，即：f(2) - f(1) = 6 - 3 = 3f(3) - f(2) = 11 - 6 = 5f(4) - f(3) = 18 - 11 = 7因此，我们可以得到递推公式：f(n) = f(n-1) + 2n-1将其展开，化简后得到通项公式：通过递推和不断化简，我们成功地推导出了二次函数f(x)的通项公式，这一过程中运用了递推思想的方法。
2. 极值思想f'(x) = 2ax + b = 0x = -b/2a因此，f(x)的最大值就是f(-b/2a)，即：f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c= (4ac - b²)/4a通过极值思想，我们成功地求出了二次函数f(x)的最大值。
3. 类比思想例如，我们可以将二次函数看作空间中的一个抛物面，它的顶点就是抛物面的顶点。
抛物面上的每一个点都与二次函数上的某一个点对应，它们之间有相似的性质和规律。
可以看出，在这种类比思想的方法中，我们更加直观地理解了二次函数的概念和性质，也更加深入地掌握了它的应用。
二次函数中的数学思想
二次函数中的数学思想一、数形结合思想在图形中隐含着数的关系，这时若能运用数的规律，来探究形的特征，可使感性的“形”多一些“理性”.例 1 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：解决这类问题应从两个方面入手，一是看图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置；二是根据图象确定当自变量x 取某些特殊值时，对应的函数值的符号.因为图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，所以①正确. 因为图象的开口向上，所以a ＞0；由图象的对称轴直线x =1，可得－ab 2=1，所以b = -2a ，所以b ＜0；由图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以c ＜0，所以abc ＞0，所以②正确.由图象可知，当x =-2时，y =4a-2b+c ＞0，又b = -2a ，所以4a+4a +c ＞0，即8a+c ＞0，所以③正确.根据图象的对称性，图象与x 轴的另一个交点B 到对称轴直线x =1的距离大于2，所以交点坐标大于3，所以当x =3时，y =9a +3b +c ＜0，所以④正确.故选D.二、数学建模思想能根据问题中的数量关系，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题（如求最大值与最小值），这就是建立二次函数模型解决实际问题的思想.例2 （2013年滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）分析：直接由长方体体积公式建立二次函数模型，然后配方求出最值.解：根据题意，得y ＝20x (1802－x ). 整理，得y ＝－20x 2+1800x . y ＝－20x 2+1800x ＝－20(x 2－90x +2025)+40 500＝－20(x －45)2+40 500，而－20＜0，所以当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40 500.所以当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 2.三、分类讨论思想某些数学问题，常常会产生几种可能性，需要分类进行讨论.分类讨论必须遵循两条原则：一是每一次分类按照同一标准进行；二是分类要做到不重复、不遗漏..例3 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （－3，0），求C 2的函数解析式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若),2(),,(21y Q y n P 是C 1上的两点，且21y y >，求实数n 的取值范围.解析：（1）因为1)1(222-++=++=m x m x x y ，所以对称轴是直线1-=x .因为与x 轴有且只有一个公共点，所以顶点的纵坐标为0.所以C 1的顶点坐标为（-1，0）.（2）设C 2的函数解析式为k x y ++=2)1(.把A （-3，0）代入上式,得0)13(2=++-k ，得4-=k ，所以C 2的函数解析式为4)1(2-+=x y .因为抛物线的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为A （-3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当1-≥x 时，y 随x 的增大而增大，而),(1y n P 的位置不确定，所以需要分类讨论.①当1-≥n 时，要使21y y > ，必须2>n ；②当1-<n 时，),(1y n P 的对称点的坐标为),2(1y n --，且-2-n ＞-1，要使21y y >，必须-2-n ＞2，即n ＜-4.综上所述2>n 或n ＜-4.四、整体思想整体思想就是通过对问题的细心观察和深入分析，找出整体与局部的联系，从整体上把握，进而解决问题的一种思想方法．例4 已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式20132+-m m 的值为 （ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014解析：将点(0)m ，代入抛物线的解析式，得m 2-m-1=0.若此时直接求m 的值,再代入求值，显然比较繁琐，故可考虑整体代入，即m 2-m =1，所以20132+-m m =2014.故选D.。
二次函数中的数学思想
二次函数中的数学思想数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力。
二次函数中隐含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘和运用。
归纳起来主要有以下几种。
一、数形结合思想数形结合思想就是把数、式与图形结合起来考虑，用几何图形直观地反映和描述数量关系，用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系，从而使问题巧妙快速解决。
解决这类题，首先，要注意学会观察，提高图形信息的识别能力，其次，要学会分析和推理，作出正确的判断。
例1，下图都是而此函数y=ax2+bx+a2-1 的图像，若b>0 ，则a 的值等于（ D ）解析：∵b>0，而抛物线（a）（b）中b0∴方程x2+（2k+1）x-k2+k=0有两个不相等的实数根。
∴抛物线与X轴有两个不同的交点。
（2）当k=0 时，原抛物线为y=x2+x由x=0 得y=02+0=0x2+x=0得x1=0，x2=-1∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），与X轴的交点坐标为（0，0），（-1，0）。
三、整体思想整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察、分析、探究问题的一种方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决。
例3：如图，矩形ABCD 的长AB=4cm ，宽AD=2cm , op ⊥AB是的中点，,两半圆的直径分别为OA 与OB ，抛物线的顶点是O ，关于OP 对称且经过C、D 两点，求图中阴影部分面积？解析：由抛物线顶点是O ，关于OP对称且经过C、D 两点，根据抛物线、矩形的对称性可知，S阴=S半圆∴s=s=1/2πg=π/2 （cm）注：解此题的关键是运用对称性，把两个不规则的阴影部分视为一个整体。
四、分类讨论思想所谓分类讨论思想，就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。
对于因存在一些不确定因素，解答无法用统一的方法或者结论不能以统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类来解决。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法是数学学科的核心，其重要性不言而喻。
在二次函数中，数学思想方法的应用尤为明显，它能够帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。
本文将重点介绍数学思想方法在二次函数中的应用。
数学思想方法之一是归纳法。
在二次函数中，我们通过观察某些特殊情况下的曲线来发现一般规律。
在观察二次函数的图像时，我们发现当二次函数的二次项系数大于0时，图像开口朝上，当二次项系数小于0时，图像开口朝下。
通过这种观察，我们可以归纳出“二次项系数的正负与二次函数图像开口的方向相对应”的规律。
数学思想方法之二是对证法。
在二次函数中，我们常常需要证明某些关于二次函数性质的定理或公式。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望证明其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
我们可以通过对二次函数进行配方变换，再利用数学方法进行推导，最终得到该结论。
这个过程充分体现了对证法的应用。
数学思想方法之三是分析法。
在二次函数中，我们经常需要分析二次函数的增减性、极值点、拐点等。
当二次函数的二次项系数大于0时，我们可以通过求解一阶导数f'(x) = 2ax + b的根来确定二次函数的增减性和极值点。
当二次项系数小于0时，我们可以通过求解一阶导数的根来确定二次函数的增减性、极值点和拐点。
通过这种分析方法，我们可以更直观地了解二次函数的性质和特点。
数学思想方法之四是抽象方法。
在二次函数中，我们常常通过抽象的方式来处理问题。
我们可以将二次函数拆分成两个一次函数的和或差，从而更方便地进行分析。
又如，我们可以将二次函数的图像看作是一个平面上的凹或凸曲线，来研究其性质。
通过这种抽象方法，我们可以将复杂的问题简化，更好地理解和掌握二次函数。
数学思想方法在二次函数中的应用有归纳法、对证法、分析法和抽象方法。
这些方法相互配合，可以帮助我们更深入地理解和应用二次函数的相关知识。
在学习和应用中，我们应充分发挥数学思想方法的优势，灵活运用，以更好地理解数学问题。
二次函数中的数学思想方法应用
y xoA B二次函数中的数形结合过程与方法：研究二次函数图象的特点和性质，利用图象探究抛物线的一般应用，达到数——形——数的同一，找寻较佳解决方案。
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学思想的理解和应用。
例如代数中的一元二次方程与二次函数的关系问题，一元二次方程的根与二次函数图形与x 轴交点之间的关系，是中考内容必考的内容之一。
要从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。
二次函数知识本身就是数形结合思想的数学思想的一个很好的体现。
在解决这类问题时，学生往往要么只注意到代数知识，要么只注意到几何知识，不会把它们互相转化，如坐标系中点的坐标与几何图形中线段的长的关系；坐标系中x 轴与y 轴相互垂直与几何图形中的直角、垂直、对称及切线等的关系；函数解析式与图形的焦点之间的关系等数形结合就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法。
根据解题需要我们可以把数量关系的问题转化为图形性质的问题来讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。
1．以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而找出最佳解题途径。
1．（2005宁夏）如图，抛物线的对称轴为x=1，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(则A 点坐标为。
2．（2002浙江杭州）已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数n mx y +=2（m ≠0）的图象相交于点A （-2，4）、B （8，2）（如图所示），则能使1y ＞2y 成立的 x 的取值范围是。
3．（2005南通市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所 示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P +=4，则下列结论正确的是（ ）A ．Μ＞0，Ν＞0，Ρ＞０B ．Μ＞0，Ν＜0，Ρ＞０C ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＞０D ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＜０4．二次函数c bx ax y ++=21与3)2(2)1(22+++-+=c x b x a y 在同一坐标系中的图象如图。
化斜为直思想在二次函数中的应用
1,0 B
l
y x b 2 x 2x 3 x b 2 y x 2x 3 21 △=0 b= 3 21 4 x 2 y x 4 15 2 y x y x 2 x 3 4
C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
2
1 3 y x2 x 2 2 2
N M
（2）点D为直线AC上方抛物线 上一动点，连接BC、CD，设直 线BD交线段AC于点E，△CDE 的面积为S1，△BCE的面积为 S2，求 S1 的最大值；
S2
小结：
一个数学思想：转化思想 两个基本线段：竖直线段和水平线段 三 个转化：斜线段 三角形周长 三角形面积
D
O
三角形周长 转化 竖直线段
x
4
变式2： 点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P 点到直线AC距离的最大值；
3 15 ( , )P 2 4
y
解：作直线AC的平行线 l使直线与抛物线 只有一个交点P. 设直线
H
y=x+b. l 解析式为：
C(0,3)
P
(3, 0) A
竖直线段 转化 竖直线段
转化
转化 竖直线段
P (
3 15 , ) 2 4
变式3： 点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），连接 PA,PC,求△PAC面积的最大值； y 9 S△PAC= S△PAQ+ S△PCQ PQmax= 1 1 4 P = PQ· AD+ PQ· OD
H
C
2 2 1 = 2 PQ（AD+OD） 1 = 2 PQ· AO
异侧和最小, 同侧差最大在二次函数中的运用
异侧和最小, 同侧差最大在二次函数中的运用二次函数是数学中常见的一种函数类型，其形式为y = ax + bx + c。
在二次函数中，可以运用异侧和最小和同侧差最大的概念来解决一些问题。
首先，我们来看异侧和最小的应用。
对于二次函数y = ax + bx + c，我们可以将其转化为完成平方的形式，即y = a(x + p) + q。
其中p = b/2a，q = c - b/4a。
这样，我们就可以求出二次函数的顶点坐标为(-p, q)。
当我们需要求解一些问题时，可以运用异侧和最小的思想。
例如，如果我们知道二次函数的顶点坐标和一个点的坐标，我们可以通过二次函数的定义求出该点到顶点的距离。
根据异侧和最小的定义，该距离即为该点到二次函数的距离的最小值。
其次，我们来看同侧差最大的应用。
对于二次函数y = ax + bx + c，我们可以通过求导得到其导函数y' = 2ax + b。
当导函数为0时，原函数的斜率达到最大或最小值。
因此，我们可以通过求导来求出二次函数的拐点位置。
同侧差最大的问题也可以通过这种方法来解决。
例如，如果我们知道二次函数的两个拐点位置，我们可以通过求导来求出二次函数在这两个拐点之间的斜率的最大值。
这个斜率的最大值即为同侧差最大的值。
总之，异侧和最小和同侧差最大是二次函数中常用的思想。
通过这些方法，我们可以解决许多与二次函数相关的问题。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中非常重要的一章，学好二次函数不仅可以提高数学成绩，也有助于理解日常生活中的许多问题。
二次函数中的数学思想和方法包括：函数图像的性质、函数的零点和极值、判别式、配方法和公式等。
1. 函数图像的性质二次函数的图像是一个拱形，称为抛物线。
抛物线的顶点是函数图像的最低或最高点，称为极值。
由于二次函数的抛物线对称于顶点，因此可以通过顶点来确定图像的对称轴。
这些性质的应用包括：- 通过函数图像来判断二次函数的符号。
如果 a>0，则抛物线开口向上，函数值随着x 的增大而增大；如果 a<0，则抛物线开口向下，函数值随着 x 的增大而减小。
- 通过顶点来确定函数的最值。
如果 a>0，则函数的最小值等于 y 坐标的值，即f(x) = f(h)；如果 a<0，则函数的最大值等于 y 坐标的值，即 f(x) = f(h)。
2. 函数的零点和极值二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
二次函数的极值是顶点处的函数值。
通过求解二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0 来确定函数的零点，分为以下情况：- 当判别式 b^2-4ac>0 时，二次函数有两个不同的实数根，即x=(−b±√(b^2−4ac))/2a。
这时函数图像与 x 轴有两个交点，函数有两个零点。
- 当判别式 b^2-4ac=0 时，二次函数有一个实数根（相当于它与 x 轴只有一个交点），即 x=-b/2a。
这时函数图像在顶点处与 x 轴相切，函数有一个零点。
- 当判别式 b^2-4ac<0 时，二次函数没有实数根，即函数值始终大于或小于零。
这时函数图像与 x 轴没有交点，函数没有零点。
3. 判别式判别式是二次方程 b^2-4ac 的值，它可以用来判断二次函数的根的情况（上文第二点）。
当判别式为负数时，二次函数没有实数根；当判别式为零时，二次函数有一个实数根；当判别式为正数时，二次函数有两个不同的实数根。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
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数学思想方法在二次函数中的运用
黑龙江 王国仁
数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．本章主要的数学思想有函数思想和数形结合思想，主要方法有待定系数法和配方法．
一、函数思想
函数思想即运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想．用函数思想解题常可达到化难为易、避繁就简的目的．
二、数形结合思想
数形结合思想即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，是抽象思维和形象思维的结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的．
三、配方法
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛，在二次函数中常用于求抛物线的顶点坐标、对称轴和最值．
例1 求抛物线223y x x =-+的顶点坐标、对称轴．
分析：可利用配方法把二次函数关系式化为2()y a x h k =-+的形式，再确定顶点坐标、对称轴．
解：2223(1)2y x x x =-+=-+．
所以它的顶点坐标是(1
2)，，对称轴是1x =． 四、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种方法叫待定系数法．在二次函数中常利用待定系数法求二次函数的关系式．
例2 已知二次函数，当4x =时取得最小值，且最小值为3-，它的图象与x 轴相交，有一个交点的横坐标为1，求此二次函数关系式．
分析：因为二次函数当4x =时有最小值3-，所以顶点坐标为(43)-，
，图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1
0)，点． 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(43)-，
，所以设此抛物线所对应的二次函数关系式为2
(4)3y a x =--． 又因为抛物线过点(1
0)，， 所以2
(14)30a --=．
解得13
a =． 所以此二次函数的关系式为21(4)33y x =
--． 注：其它的思想方法在此不再一一举例，希望同学们在平时学习时认真体会．。