弹塑性力学第5章—塑性本构关系及应用

σ
′
0
σ
′′
0
σ1 − σ2 = 1
σ
′
0
σ
′′
0
−σ1
=
σ
′′
0
−σ 2 = σ ′′
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ2
>
0
>
σ
1
⎪ ⎪⎪
⎬
,σ1
>
0
>
σ2
⎪ ⎪
,0
≥
σ2
≥
σ
1
⎪ ⎪
, 0 ≥ σ1 ≥ σ 2 ⎪⎭
5.2 常用的屈服条件
5.2.4 岩土材料的德鲁克－普拉格屈服条件
5.3 后继屈服条件
初始屈服条件
( ) f σij = 0
后继屈服条件
( ) ϕ σ ij ,ξα = 0
ξα 称为内变量，是用来描
述物体变形历史的量。
应变强化材料发生塑性变形后， 不但发生塑性变形的应力状态的屈服 应力提高了，其他应力组合的屈服应 力也将发生变化，变化后的屈服应力 满足后继屈服条件。
5.2.1 Tresca屈服条件
最大剪应力是材料屈服的原因
τ max = τ 0
τ0 为材料的剪切屈服应力，由实验确定。由于剪切实验
比较困难，因此往往用主拉应τma力x = 来计算最大切应力。
τ max
=
σ1
−σ3
2
结合单向拉伸实验的结果，间接确定剪切屈服应力，即
τ0
=
σ0
2
因此Tresca屈服条件可表示为
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
′′
0
分别为混凝土简单拉伸与压缩时的屈服应力
σ1 = σ 0′
σ 2 = σ 0′
σ2 − σ1 = 1
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ ,σ
2 1
> >
0 0
> >
σ1 σ2
⎪ ⎬ ⎪
, ,
0 0
≥ ≥
σ σ
2 1
≥ ≥
σ1 σ2
⎪ ⎪ ⎭
Tresca六角柱体在 π平面的投影是一个正六边形。平面应力
状态时的屈服图形是
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
= k2
其中 σ0 为拉伸屈服应力，所以
k=
1 3
σ
0
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
MIses屈服条件的一般形式为
σ Mises − σ 0 = 0
其中 σ Mises =
3J2 =
1 2
⎡⎣(σ1
−
σ2
)2
+
(σ
2
−
σ3
)2
+
(σ 3
−
σ1 )2
⎤ ⎦
在主应力空间中，Mises屈服条
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
σ2
混凝土材料的屈服条件
σ
′′
0
是在总结大量实验的基础上
确定的，平面应力状态下混 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
σ1
凝土材料的屈服条件研究更
−0.2
σ 0′′
为成熟，屈服曲线如图所
−0.4
示。
−0.6
混凝土屈服条件与Tresca
弹性与塑性力学引论
课件制作： 丁 勇 配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇
宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@qq.com
弹性与塑性力学引论
第5章 塑性本构关系
5.1 屈服条件的概念
一般应力状态下的屈服条件
5.1屈服条件的概念
5.1屈服条件的概念
5.2 常用的屈服条件
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
σ1 −σ3 = σ0
22
5.2 常用的屈服条件
5.2.1 Tresca屈服条件
不考虑主应力的大小顺序，Tresca屈服条件的一般形式为
σ Tresca − σ 0 = 0
{ } 其中 σTresca = max σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1
在主应力空间中，Tresca屈服 条件对应的屈服面是与静水应力 状态线平行的六角柱体表面。
I1 反映了应力球张量的影响，可以体现材料拉压情况下屈 服性能的差异；J2 反映了应力偏张量的影响，可以反映材料的形
状改变。
5.2 常用的屈服条件
5.2.4 岩土材料的德鲁克－普拉格屈服条件
德鲁克－普拉格屈服条件在主应力空间中的屈服面如图所示， 由于其反映了材料拉压性能的不同，所以是一个圆锥体。
在二维情况下，德鲁克－普拉格屈服条件一偏离原点的椭圆。
德鲁克－普拉格屈服条件是对Mises屈服条件的改进，该 条件中增加了应力张量的第一不变量，屈服条件表达式为
f (I1, J2 ) = α I1 + J2 = k
( ) 其中 α=
2 sin ϕ
3 3 − sin 2 ϕ
( ) k = 6c cosϕ 3 3 − sin 2 ϕ
c, φ 分别为材料的粘性系数和内摩擦角。
2σ
3
0
，外接
与Tresca六角柱体在平面的
i＇2
i＇3
i＇1
Mises圆柱体在 π 平面的投影
5.2 常用的屈服条件
在平面应力状态下，若σ 3 = 0，则Tresca屈服条件简化为
σ 22
+
σ
2 1
− σ1σ 2
−σ0
=
0
Mises圆柱体在 π平面的投影是一个圆。平面应力状态时
的屈服图形是椭圆
Tresca和Mises屈服条件是适用于金属等塑性材料的屈服条 件 。 Tresca 屈 服 条 件 忽 略 了 中 间 主 应 力 的 影 响 ， 实 验 证 明 ， Mises屈服条件更接近实验结果
当应力点在六角柱体内部时， 材料处于弹性状态；当应力点在 六角柱表面（屈服面）时，材料
σ1
处于塑性状态。
σ3
O
πห้องสมุดไป่ตู้面
Tresca六角柱体 σ2
5.2 常用的屈服条件
在平面应力状态下，若σ 3 = 0，则Tresca屈服条件简化为
σ1 = σ0 σ2 =σ0 σ1 − σ 2 = −σ 0 σ1 −σ2 = σ0 σ1 = −σ 0 σ 2 = −σ 0
σ3
件对应的屈服面是与静水应力状态 Mises圆柱体 线平行的圆柱表面，该圆柱体外接
Tresca六角柱体
于Tresca六角柱体。
O
当应力点在圆柱体内部时，材
σ2
料处于弹性状态；当应力点在圆柱
π平面
σ1
体表面时，材料处于塑性状态。
5.2 常用的屈服条件
Mises圆柱体在 π 平面的投影为圆，其半径为