高数第十一章题解.大学
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常数项级数的概念和性质
一、计算题
1.根据级数收敛的定义求下列级数的和 1）
2）
（3）
答案： 13/6，
1/3）
3）解： 原式
=
2.判别下列级数的收敛性
（1）
解：
，发散
（2）
+
解： 原式
，而
收敛，
发散所以原级数发散
3）
，
，发散
二、证明题 1. 已知级数
收敛,且
,
证明
也收敛
解： 令
则
有上界. 令
则
也有上界 故
收敛,也即
收敛
常数项级数的审敛法
一． 判别题
1.用比较审敛法或比较审敛法的极限审敛法判别下列级数的敛散性
1）
2）
3）
解：
1）由发散
故也发散
2）
故所给级数收敛3）由知所给级数
收敛
1.用比值审敛法判别下列级数的敛散性
（1）
2）
3）
2）解：
解：解法一: 所给级数收敛收敛.
解法二:由知所给级数收敛收敛
1）
故级数发散
3）解：
而
当即时,级数发散；当,即时,级数收敛；当时,因为，
所以
发散
3.用根值审敛法判别下列级数的敛散性
1）
2）
（3）
1）收敛2）解：
，所以级数收敛
而级数
发散,故该级数发散.
4.用适当的方法判别下列级数的敛散性
1）
(为常数)
（2）
3） （4）
（5） （6）
答案：1）
而收敛，所以收敛 2）解：故级
4），收敛
5）
3），收敛6) 当时,级数收敛;当时,
级数发散;当时,故此时级数发散.
4.判别下列级数是否收敛?若收敛时,是绝对收敛还是条件收敛
1）2）
答案：1）解：由，且，故原级数绝对收敛
2）解：
故级数发散.但单调减趋于0.故级数条件收敛.
二、证明题
1. 已知及都收敛,且,证明收敛
2. 证明:若正项级数收敛,则级数也收敛
3.若条件收敛, 绝对收敛,证明条件收敛
答案：
1）证明: 由已知得而收敛.
所以也收敛,且收敛.故收敛
2）证明:依题意有,.时，因此此时有
, 故收敛，因而收敛
3）证明:收敛, 收敛.也收敛，假设绝对收敛,即收敛，收敛.
收敛,即绝对收敛,与条件收敛矛盾，故条件收敛
幂级数
1.确定下列幂级数的收敛区间
2）（3）
1）
（-1，1）
4）（5）
(为常数)
2）解:其中C为尤拉常数,
R==1,当时,一般项
不趋于0,收敛区间为(-1,1)
3）解：当时,级数收敛;当时,
收敛.所以收敛区间为[-2,2]
5）:,,并且当时, 收敛;发
散.当时, 收敛;发散. 时,收敛区间为
(-1,1);
时, 收敛区间为; 时, 收敛区间为[-1,1]
2.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数在收敛区间内的和函数
1）
, 2）
,并求的和.
（3）
答案：2）则
，
3）解：令
函数展开成幂级数
1.将下列函数展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间
2）3）（4）（5）
（1）
：∵，
答案：1）
解：∵,
2）
3）解：设
而
4）解：∵∴
5）解：设
2.
将函数展开成的幂级数，并指明成立展开式的区间
将函数展开成的幂级数，并指明展开式成立的区间3.
4.将函数展开成的幂级数，并指明展开式成立的区间
5. 将函数展开成的幂级数，并指明展开式的区间
展开为的幂级数。并证明
6.
答案：2.解：，成立区间为：
3.解：
，成立区间为：
4. 解：
而
成立区间为：
5.解：
成立区间为：
6. 解：从而
又
取