集中量数和差异量数
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X
• 例：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体 重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为 6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大？
21
（二）标准分数(standard score)
• 定义：又称Z分数。指原始分数和其平均数的差除 以标准差所得的商。
• 标准分数是以标准差为单位的表示一个分数在团体 中所处的相对位置量数。
据。 • （ 2） 反应 不够灵 敏， 极端值 的变化 对中 数不产 生影 响。 • （ 3） 中数 受抽样 影响 较大， 不如平 均数 稳定。 • （ 4） 计算 时需要 对数 据先排 列大小 。 • （ 5） 中数 乘以总 数与 数据的 总和不 相等 （除非 ：中 数＝平 均数
）。 • （ 6） 中数 不能作 进一 步代数 运算。 • 3、使 用条 件： • （ 1） 当一 组观测 结果 中出现 两个极 端数 目时。 • （ 2） 当次 数分布 的两 端数据 或个别 数据 不清楚 时， 只能取 中数
人数 627 268 400 670 411 314 610 500 3800
平均分数 98 60 82 96 80 65 96 88 665
• 解：A：若果不加权，仅用八个省份的平均分数
之和除以8，便可得到
MW
665 8
83.13
B：
MW
627 98 268 60 50088 3800
• 优点：（1）反映灵敏。（2）有严密的计算 公式。 （3） 适合代数运算。
• 缺点：不易理解；易受两极断数值的 影响； 有个别 数值 不清楚时，无法计算。
20
标准差的应用
• （一）差异系数 • 1、两个以上样本所测的特质不同。 • 2、两个以上样本所测的特质相同，但样本间的水平
相差较大。 • 公式： CV s 100%
a、b为常数; Z=(X-X)/σ ， σ 为测验常模的标准差。
例：比率智商公式 IQ=智龄/实龄×100% 离差智商公式（韦克斯勒成人智力量表） IQ=15Z+100 Z=(X-X)/S, 常数100为总平均数，15为标准差 比奈-西蒙智力量表 Z’=16Z+100
25
• 4、合成各个小组的标准差，求得总标准差。 • 例:由各班级的标准差求得全年级的标准差。 • 计算公式：
第四章 集中量数
• 定义：表示一组数据集中趋势的指标，或 表示一组数据的典型情况。
• 分类：
• 1.算术平均数 • 2.中数 • 3.众数 • 4.加权平均数 • 5.几何平均数 • 6.调和平均数
1
一、算术平均数（样本用X，M；总体用U）
• （一）计算方法
• （二）平均数的优缺点 优点：（1）反应灵敏。（2）确定严密。
• 公式：
Z XX s
• ---Z分数无实际单位。 • Z=0; Z<0或Z>0; Z=1的含义
22
练习：下表是高校入学考试中两名考 生的成 绩分数 。试问 应该优 先录取哪名考生？
考试科目
语文 政治 外语 数学 理化 总和
原始成绩
甲
乙
85
89
70
62
68
72
53
40
72
87
348
350
全体考生
平均分 标准差
5
• 一题多解时，可赋予不同权重。 • 难易度不同的几次考试，计算总成绩时可赋予不同
权重。 • 同一个题目让不同年龄的学生做时，应考虑权重。 • 由各小组平均分计算总平均数是应用加权平均数的
特例。
6
1
三、中数与众数
中数（Md ） 是按 顺序排列 在一起的 一组数据 中居于
中间 位置的数。 该数可能是 数据中的某 一个， 也可能根本不是原有的数。
ST 2
Ni Si2
Ni
d
2 i
Ni
di
XT
X
，
i
XT为总平均数，Xi为各小组的平均数。
26
• 练习： • 在三个班级中进行某项能力研究，三 个班测 查结果 的平均
数和标准差分别如下，求三个班的总 标准差 。
班级 n x s
1 42 103 16
2 36 110 12
3 50 98 17
27
③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时， 计算方法与数据的个数为奇数时基本相同 例：求数列11，11， 11， 11，13，13，13， 17， 17，18的中数。
• 解：
12.5 12.83 13.16 13.5
12
13
14
12.66
2
中 数 的 优缺点
• 1、优 点： • 计 算简 单，容 易理解 ，不 受极端 数值 的影响 • 2、缺 点： • （ 1） 中数 的计算 不是 每个数 据都加 入， 其大小 不受 制于全 体数
•
（3）简明易解。（4）计算简单。
• 缺点：（1）易受极端数据的影响。
•
（2）数据模糊不清时，无法计算。
•
2
二、加权平均数
• 计算公式：
计算加权平均数
某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均数见下表，求该项调查的总平均数
M w
Wi X i Wi
• W是权数，X是原始分数
3
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
70
10
65
5
69
8
50
Hale Waihona Puke Baidu
6
75
8
23
标准分数的应用
• 1、比较几个性质不同的观测值在各自数据分布中相对 位置的高低。
• ---某人Z身高=-0.5，Z体重=1.2
• 2、计算不同性质的观测值的总和或平均值，以表示在 团体中的相对位置
• ---各个学科的成绩不同质，不可简单相加或相减
24
4
•3、表示标准测验分数。 ---转换公式： Z’=aZ+b
19
方差与标准差的意义
• 方差与标准差是表示一组数据离散程 度的最 好的指 标。 其值越大，表明这组数据的离散程度 越大， 即数据 越参 差不齐，分布范围越广；反之亦然。
• 一般而言，原始分数越大，方差和标 准差的 值也越 大。 • 当对同一个特质使用同类的测量工具 进行测 量，而 且样
本水平比较接近时，直接比较标准差 的大小 ，就可 以知 道样本之间离散程度的大小。 • 例：比较上海三年级儿童智力和北京 三年级 儿童智 力的 标准差，如果前者大于后者，说明什 么？
330496 86.97 3800
A， B两种 方法计 算得到 的平均 值差异 较大。 哪个正 确？为 什么？ 答 ：用 A方法 计算的 平均数 不正确 ，实质 上是假 定每个 省区的 取 样 人数相 等，这 不符合 实际情 况
加权平均数的应用
• 选拔考试时，不同科目的考试分数最终合成总分时， 可根据每个科目的重要性，赋予不同的权重。
最好的差异量数
• 3.四分位差
• 4.百分位差
• 5.平均差
• 6.全距
16
• 全距： • 公式：R=Xmax-Xmin
平均差： 公式：
A.D. | Xi X | n
17
18
3
方差（S2）和标准差（S）
• 方差的计算公式：
s2 ( X X )2 N
练习：计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标 准差。
14
众数、中位数和平均数的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数= 众数 众数 中位数 均值
负偏分布
对称分布
1.正态分布
Md Mo M
2.偏态分布
Mo 3Md 2M
正偏分布
第二节 差异量数
• 差异量数：指一组数据的离中趋势,其大小可用来 表示平均数的代表性。
• 类别：
• 1.方差 • 2.标准差
据相加除以2。即 2
2
X N X N 1
Md =
2
2
2
• 例3：有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，
求中数。
•
N
解：数列中第 2 位置的数是7，处于第
位 置 的 数是8，故Md=
7
2
8
7.5
(
N 2
+1)
2、中数附近有重复数时 ①当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时
例：求数列11， 11，11，11，13， 13， 13，17， 17的中数。
求中数的方法
1.数据中无重复 数值的情况
（1）数据个数 为奇数
（2）数据个数为 偶数
2.数据中有重复 数据的情况
（1）重复值没有 位于中间 （2）重复数目位 于中间，数据的个 数为奇数
（3）重复数目位 于中间，数据的个 数为偶数
• 求中数的方法 • 首先将数据按其取值大小排序，找出位于中 间的那个数就是中数。
1、一组数据中无重复数值 N 1
（1）数据个数为奇数，则中数为 2 位置的那个数
。即 Md =X N1
2
例二：求数列4，6，7， 8，1 2的中数. 解： N 1 =3，数列中排在第3的数据为7，故Md=7
2
（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两
个数的平均数，即第 N 与第( N +1) 位置的两个数
作 为集 中趋势 的代表 值。
• （ 3） 当需 要快速 估计 一组数 据的代 表值 时，也 常用 中数。
三、众数
• （一）求众数的基本方法 –即出现次数最多的数据。
X 2 2 4 34 2 2 2 2 Y 5 4 4 54 5 5 4 5
• （二）众数的应用 • 需要快速而粗略的寻求一组数据的代表值时。 • 当次数分布中有两极端数据时。
• 例：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体 重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为 6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大？
21
（二）标准分数(standard score)
• 定义：又称Z分数。指原始分数和其平均数的差除 以标准差所得的商。
• 标准分数是以标准差为单位的表示一个分数在团体 中所处的相对位置量数。
据。 • （ 2） 反应 不够灵 敏， 极端值 的变化 对中 数不产 生影 响。 • （ 3） 中数 受抽样 影响 较大， 不如平 均数 稳定。 • （ 4） 计算 时需要 对数 据先排 列大小 。 • （ 5） 中数 乘以总 数与 数据的 总和不 相等 （除非 ：中 数＝平 均数
）。 • （ 6） 中数 不能作 进一 步代数 运算。 • 3、使 用条 件： • （ 1） 当一 组观测 结果 中出现 两个极 端数 目时。 • （ 2） 当次 数分布 的两 端数据 或个别 数据 不清楚 时， 只能取 中数
人数 627 268 400 670 411 314 610 500 3800
平均分数 98 60 82 96 80 65 96 88 665
• 解：A：若果不加权，仅用八个省份的平均分数
之和除以8，便可得到
MW
665 8
83.13
B：
MW
627 98 268 60 50088 3800
• 优点：（1）反映灵敏。（2）有严密的计算 公式。 （3） 适合代数运算。
• 缺点：不易理解；易受两极断数值的 影响； 有个别 数值 不清楚时，无法计算。
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标准差的应用
• （一）差异系数 • 1、两个以上样本所测的特质不同。 • 2、两个以上样本所测的特质相同，但样本间的水平
相差较大。 • 公式： CV s 100%
a、b为常数; Z=(X-X)/σ ， σ 为测验常模的标准差。
例：比率智商公式 IQ=智龄/实龄×100% 离差智商公式（韦克斯勒成人智力量表） IQ=15Z+100 Z=(X-X)/S, 常数100为总平均数，15为标准差 比奈-西蒙智力量表 Z’=16Z+100
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• 4、合成各个小组的标准差，求得总标准差。 • 例:由各班级的标准差求得全年级的标准差。 • 计算公式：
第四章 集中量数
• 定义：表示一组数据集中趋势的指标，或 表示一组数据的典型情况。
• 分类：
• 1.算术平均数 • 2.中数 • 3.众数 • 4.加权平均数 • 5.几何平均数 • 6.调和平均数
1
一、算术平均数（样本用X，M；总体用U）
• （一）计算方法
• （二）平均数的优缺点 优点：（1）反应灵敏。（2）确定严密。
• 公式：
Z XX s
• ---Z分数无实际单位。 • Z=0; Z<0或Z>0; Z=1的含义
22
练习：下表是高校入学考试中两名考 生的成 绩分数 。试问 应该优 先录取哪名考生？
考试科目
语文 政治 外语 数学 理化 总和
原始成绩
甲
乙
85
89
70
62
68
72
53
40
72
87
348
350
全体考生
平均分 标准差
5
• 一题多解时，可赋予不同权重。 • 难易度不同的几次考试，计算总成绩时可赋予不同
权重。 • 同一个题目让不同年龄的学生做时，应考虑权重。 • 由各小组平均分计算总平均数是应用加权平均数的
特例。
6
1
三、中数与众数
中数（Md ） 是按 顺序排列 在一起的 一组数据 中居于
中间 位置的数。 该数可能是 数据中的某 一个， 也可能根本不是原有的数。
ST 2
Ni Si2
Ni
d
2 i
Ni
di
XT
X
，
i
XT为总平均数，Xi为各小组的平均数。
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• 练习： • 在三个班级中进行某项能力研究，三 个班测 查结果 的平均
数和标准差分别如下，求三个班的总 标准差 。
班级 n x s
1 42 103 16
2 36 110 12
3 50 98 17
27
③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时， 计算方法与数据的个数为奇数时基本相同 例：求数列11，11， 11， 11，13，13，13， 17， 17，18的中数。
• 解：
12.5 12.83 13.16 13.5
12
13
14
12.66
2
中 数 的 优缺点
• 1、优 点： • 计 算简 单，容 易理解 ，不 受极端 数值 的影响 • 2、缺 点： • （ 1） 中数 的计算 不是 每个数 据都加 入， 其大小 不受 制于全 体数
•
（3）简明易解。（4）计算简单。
• 缺点：（1）易受极端数据的影响。
•
（2）数据模糊不清时，无法计算。
•
2
二、加权平均数
• 计算公式：
计算加权平均数
某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均数见下表，求该项调查的总平均数
M w
Wi X i Wi
• W是权数，X是原始分数
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省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
70
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Hale Waihona Puke Baidu
6
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标准分数的应用
• 1、比较几个性质不同的观测值在各自数据分布中相对 位置的高低。
• ---某人Z身高=-0.5，Z体重=1.2
• 2、计算不同性质的观测值的总和或平均值，以表示在 团体中的相对位置
• ---各个学科的成绩不同质，不可简单相加或相减
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•3、表示标准测验分数。 ---转换公式： Z’=aZ+b
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方差与标准差的意义
• 方差与标准差是表示一组数据离散程 度的最 好的指 标。 其值越大，表明这组数据的离散程度 越大， 即数据 越参 差不齐，分布范围越广；反之亦然。
• 一般而言，原始分数越大，方差和标 准差的 值也越 大。 • 当对同一个特质使用同类的测量工具 进行测 量，而 且样
本水平比较接近时，直接比较标准差 的大小 ，就可 以知 道样本之间离散程度的大小。 • 例：比较上海三年级儿童智力和北京 三年级 儿童智 力的 标准差，如果前者大于后者，说明什 么？
330496 86.97 3800
A， B两种 方法计 算得到 的平均 值差异 较大。 哪个正 确？为 什么？ 答 ：用 A方法 计算的 平均数 不正确 ，实质 上是假 定每个 省区的 取 样 人数相 等，这 不符合 实际情 况
加权平均数的应用
• 选拔考试时，不同科目的考试分数最终合成总分时， 可根据每个科目的重要性，赋予不同的权重。
最好的差异量数
• 3.四分位差
• 4.百分位差
• 5.平均差
• 6.全距
16
• 全距： • 公式：R=Xmax-Xmin
平均差： 公式：
A.D. | Xi X | n
17
18
3
方差（S2）和标准差（S）
• 方差的计算公式：
s2 ( X X )2 N
练习：计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标 准差。
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众数、中位数和平均数的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数= 众数 众数 中位数 均值
负偏分布
对称分布
1.正态分布
Md Mo M
2.偏态分布
Mo 3Md 2M
正偏分布
第二节 差异量数
• 差异量数：指一组数据的离中趋势,其大小可用来 表示平均数的代表性。
• 类别：
• 1.方差 • 2.标准差
据相加除以2。即 2
2
X N X N 1
Md =
2
2
2
• 例3：有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，
求中数。
•
N
解：数列中第 2 位置的数是7，处于第
位 置 的 数是8，故Md=
7
2
8
7.5
(
N 2
+1)
2、中数附近有重复数时 ①当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时
例：求数列11， 11，11，11，13， 13， 13，17， 17的中数。
求中数的方法
1.数据中无重复 数值的情况
（1）数据个数 为奇数
（2）数据个数为 偶数
2.数据中有重复 数据的情况
（1）重复值没有 位于中间 （2）重复数目位 于中间，数据的个 数为奇数
（3）重复数目位 于中间，数据的个 数为偶数
• 求中数的方法 • 首先将数据按其取值大小排序，找出位于中 间的那个数就是中数。
1、一组数据中无重复数值 N 1
（1）数据个数为奇数，则中数为 2 位置的那个数
。即 Md =X N1
2
例二：求数列4，6，7， 8，1 2的中数. 解： N 1 =3，数列中排在第3的数据为7，故Md=7
2
（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两
个数的平均数，即第 N 与第( N +1) 位置的两个数
作 为集 中趋势 的代表 值。
• （ 3） 当需 要快速 估计 一组数 据的代 表值 时，也 常用 中数。
三、众数
• （一）求众数的基本方法 –即出现次数最多的数据。
X 2 2 4 34 2 2 2 2 Y 5 4 4 54 5 5 4 5
• （二）众数的应用 • 需要快速而粗略的寻求一组数据的代表值时。 • 当次数分布中有两极端数据时。