自由度和广义坐标

dn N dS Nd r2
dn q( ,)Nd
（3）
式中 q( ,) 是比例系数，与入射粒子的能量、散射中心的
性质及粒子出射的方向 ( ,) 有关。
• 实际上由 dn / N q( ,)d 可以看出 （1） q( ,)表明单位时间内沿不同角度( ,) 散射粒子数
目的多少，或散射粒子的概率的大小，所以称它为
•
散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导
致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是，这种
跃迁的初末态能量是相同的，并且组成连续谱。本讲主要
讨论的仍属于跃迁概率问题，而中心问题是散射截面。散
射截面的计算，主要通过两种近似方法：分波法和玻恩近
似法。
• 1 散射截面
• 1、1 入射
z 设自由粒子流沿着 轴向散射中心入射。首先，我
时间被散射到立体角 d 中去的粒子数 dn ，而单位时间
被散射的总粒子数 则等于单位时间穿过垂直于入射方向
的面积 Q 的入射粒子数。因此，对于入射粒子流来说，
散射体的作用等效于一块横截面积，凡是打在这块面积上 的粒子，都被散射到各个方向上去。
• q( ,) 及 Q 都是可由实验测定的量，需要讨论的问题是：
进行，所以我们总是关注波函数在 r 时的渐进行为。
• 而在无穷远处，不但有平面波存在，而且有散射波存在，
所以满足（9）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条
件）
r
1
2
e ikz
f ( ,) eikr
r
（10）
综上所述，中心力场中的散射问题，归结为按不同的势能
函数求解薛定谔方程（9）式，并使其解得的波函数渐进行
为满足（10）式，这样就得到散射振幅——亦得到散射截
面。
2.2薛定谔方程的渐近解
• 对于中心力场问题，我们已知对于确定的能量 En ，方程
（9）的一般解可写为
(r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)
l,m
若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，则
中心力场的散射问题具有轴对称性，波函数及散射振幅都与
无关，即 m 0 ，所以有
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
（11）
l
式中的 l 0,1,2, ，对应的各项称为 s, p, d, 分波，每一个分
波 Rl (r)Pl (cos )都是方程（9）的解。
其中勒让德多项式 Pl (cos ) 为已知，所以我们只需讨论 Rl (r)
满足的径向方程
因此穿过 dS 面积的粒子数是
dn
J r dS
v r2
f ( ,) 2 dS v f ( ,) 2 d N f ( ,) 2 d
• 与（3）比较，可得
q( ,) f ( ,) 2 （7）
• 即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又转化为对 散射波的研究。
2.分波法
• 2.1薛定谔方程及其边界条件
ik Leabharlann Baidu* 1
k
v
（2）
• 其数量大小即给出入射粒子流强度，N v 。由此可见，
1 eikz 描述的是单位体积内只有一个入射粒子的情况。
1.2 散射
入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方
向，沿着不同的散射角 ( ,)射出，单位时间内散射到( ,)
方向上的面积元 dS 上的粒子数dn 应由下面关系
们定义：单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入
射粒子数称为入射粒子流强度，记为 N 。从波动理论出
发，入射波取为
1 eikz
（1）
其中k 2E ， 是约化质量，p k 是入射粒子动量，
2
v k 是入射粒子的速度
入射波的概率流密度
J z
i
2
1
* 1
z
* 1
1
z
i
2
ik
1
* 1
若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力
场U (r)表示，并假定 lim U (r) 0 ，则体系的薛定谔方程写
为
r
2 2 U (r) E
（8）
2
令
k2
2E
2
p2 2
，V (r)
2
2
U
(r
)
，且在中心力场情况下，势
能只与 r 大小有关，所以
2 [k 2 V (r)] 0 （9）
如前所述，实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方
散射
• 具有确定动量的粒子从远处而来，通过另一个粒子（称 为散射中心）附近，相互作用后而发生偏转，又向远处而 去，这就是散射，经散射后粒子处于非束缚的散射定态。 量子力学中，散射又称碰撞。在碰撞过程中，如果两粒子 内部状态均未发生改变，则称为弹性散射；反之，称为非 弹性散射。
• 我们仅限于讨论弹性散射。
1 r2
d dr
r 2
dRl (r dr
)
k
2
V (r)
l
(l r2
1)
Rl
(r)
0
（12）
令
Rl
(r)
ul (r) r
得 ul (r)满足的方程
（13）
d
2ul (r) dr 2
k
2
V
(r)
l
(l r2
1)
ul
(r)
0
（14）
散射粒子的角分布。
（2）从量纲看，q( ,) 具有面积的量纲，因此又称它为
( ,) 方向上的微分散射截面，而把
2
Q q(,)d 0 0 q(,)sin dd
（4）
称为总散射面积。
“截面”一词，可作如下解释：
• 按着（3）式，在入射粒子流中，每单位时间穿过与入射
方向垂直的 dQ( ,) q( ,)d 面积的粒子数，即为单位
2
f ( ,) eikr
r
（5）
其中 f ( ,)是沿 ( ,)方向向外传播的散射波的振幅，称为
散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
2
r
i
2
f
( ,)
2
ik r2
ik r2
v r2
f ( ,) 2
（6）
它的数值即为单位时间内穿过 ( ,) 方向上的单位面积的
粒子数
如何从薛定谔方程的解来计算散射截面，以便与实验值相 比较，从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所 以说，散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截 面与散射粒子的波函数之间的关系。
受散射中心作用后，入射粒子将改变方向，动量不再守 恒，从而出现散射波。而实验上观测都是在远离散射中心的
地方进行的，因此散射波应该是球面波
为方便起见，采用质心坐标系，并假定散射中心的质量 远大于入射粒子的质量，即由碰撞引起的散射中心的运动 可以略去。这样，入射粒子发生弹性散射后，只有运动方 向发生改变，动量大小并未发生改变。
另外，入射粒子与散射中心的相互作用只发生在很小的 空间区域内，在这小区域外，入射粒子（初态）及散射粒 子（末态）均处于自由粒子状态。