单自由度系统的无阻尼自由振动

1 M x 2 1 MR 2 ( x ) 2 1 m x 2 T 2 2 2 R 2 1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
2 U k [( st 2 x ) 2 st ] ( M m ) gx 2
Tn 2
n
2
m k
固有周期
k / m g / s
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固有频率及固有周期
wn k m g
s
对于不易得到刚度或质量的系统， 若能测出静变形，可用上式计算固有频率。
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15
解：
wn k m gk W
980 * 5 .78 * 104 1 .47 * 105
19 .6
J c J 0 ml 2
20
例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下， 与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹 性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频 率和最大挠度。
M
x
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解：
M 由材料力学可知简支梁在 重物mg作用下的静变形为： mgl 3 s 48 EJ
x
g
故自由振动频率为： wn
4
在静平衡时有：
mg k s
振动微分方程为：
m mg k ( s x ) x
m kx x
令 n2 k / m g / s
方程的通解为： x
n2 x 0 x
A sin( n t )
5
x A sin( n t )
T ——周期，每振动一次所经历的时间。T 2 n f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
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无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
3 ( M m ) 4 kx 0 x 2
x
8k x 0 3M 2m
8k n 3M 2m
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例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑， 大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度
k1 ，重物质量为m, 不计 , k2
轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。
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解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡 位置x为广义坐标。系统的最大动能为：
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Tmax
x max 2 1 1 2 2 M ( x max ) M ( ) 2 2 R 1 Rr m( x max ) 2 2 R 1 2 2 [ M( 2 R 2 ) m(R r) 2 ] x max 2R
系统的最大势能为：
2 U max 1 ( k1 k 2 )[( xmax st ) 2 st ] mg R r xmax 2 R mg ( R r ) 2 1 ( k1 k 2 ) xmax ( st ) 2 ( k1 k 2 ) R
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设 x A sin( n ) 则有 xmax A , xmax A n
k m
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
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例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间
无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，
质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，
求出其固有频率。
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解 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
可见动张力几乎是静张力的一半，由于
kA k v wn v km
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因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度
例2.2 图示的直升机桨 叶经实验测出其质量 为m，质心C距铰中心 O距离为l。现给予桨 叶初始扰动，使其微 幅摆动，用秒表测得 多次摆动循环所用的 时间，除以循环次数 获得近似的固有周期， 试求桨叶绕垂直铰O的 转动惯量。
U max 1 2 k ( A st )
2
1 2
k st mgA
2
k st mg U max 1 2 k A2
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1 2 1 2 Tm ax mx mA 2 n 2 2
由 Tmax U max 1 2 mA
2 2 n
1 2
k A2
n
重物匀速下降时处于静 平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0 x0 v
其振动规律为： x x0 cos nt
x0
n
sin nt
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因为：
x0 0 x0 v
根据：
x x0 cos nt x0
n
sin nt
其振动规律为：
x(t ) v
n
sin nt
15 *100 19.6 * 60
sin 19.6t 1.28 sin 19.6t (cm)
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x(t ) 1.28 sin 19.6t (cm)
绳中的最大张力等于静张力 与因振动引起的动张力之和
T max Ts kA W kA 1.47 *105 5.78 *10 4 *1.28 1.47 *105 0.74 *105 2.21*105 N
Tmax M ( 2 R 2 ) m( R r ) 2 2 2 n A 2 2R 1 U max ( k1 k 2 ) A2 2
根据Tmax=Umax , 解得
( k1 k 2 ) R 2 M ( 2 R 2 ) m( R r ) 2
n
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例 半径为r、质量 为m的圆柱体在半 径为R的内圆柱面 上绕最低点作纯 滚动，试求其微 振动的固有频率。
2 max

1 2
x
2 max

l
0
f ( s )] 2 ds
( m me ) m x 2 max
其中：
me f 2 ( s )ds
0
l
wn
k m me
41
例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率
42
例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率 解： F(0)=0, f(l)=1
O R r C A B
vc
35
36
37
2. 瑞利法： 利用能量法求解固有频率时，只考虑了惯性元件的动能， 而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有 频率是实际值的上限。 但在有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统质量 相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率会明显偏高 弹性元件的质量实际是分布质量，可以先利用动能计算将 分布质量等效为质中质量，加到原来的惯性元件的集中质量 上，仍作为单自由度系统来处理，从而得到更精确的固有频 率的近似值，这种方法称为瑞利法。
2
单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型
3
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。 质量—弹簧系统： 令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
m mg k ( s x ) x
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二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
a cx 0 x
a, c是与系统的物理参数有关的常数。令
则自由振动的微分方程的标准形式：
2 n x 0 x
2 n c / a
t Y ( s , t ) x (t ) f ( s )
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弹簧单位质量为 ,系统的动 能为
Tk 1 2
l
s ds k L
1 2
2
0
[
l

t
( s , t )] ds
2
x

0
f 2 ( s ) ds
系统的最大动能为：
Tmax 1 2 1 2 mx
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2. 瑞利法：
s
ds
k
L
例.求考虑弹簧质量时系统的固有频率
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形状函数：
设平衡时弹簧长L，振动中质量m的位移为x(t),弹簧上距 固定端s处的位移即与t有关又与s有关，即应写为y(s,t), 显然，当s=L时有： Y(l,t)=x(t) 假设弹簧在振动时的形状（即弹簧的变形形式）是仅与s 有关而与t无关的函数f(s)，则弹簧各点在振动中的位移 可表示为 Y(s,t)=x(t)f(s) 0<s<1 f(s)就为形状函数。 它的定义是质量m有单位位移时 s 弹簧各点相应的位移， k L ds 弹簧各点的速度为：
s

48 EJ ml 3
以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候
x0 s， x0 2 gh
x0 wn )2
则自由振动振幅为： A
x0 (
s 2 gh
2
梁的最大挠度为：
max A s
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23
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§2 求系统固有频率的方法
1. 由系统的振动微分方程的标准形式
因平衡时
2 k st x ( M m ) gx
2 k x2 2 k st x ( M m ) gx