流体力学中的三大基本方程资料

vz y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，v y， ,液体密 度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量 ，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点 的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M 的质点 在x方向的分速度为
1 v x vx dx 2 x
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
1 v x vx dx 2 x
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向 流入控制体的质量为 1 vx vx dxdydz 2 x 流出控制体的质量为 v 1 vx dxdydz x 2 x
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程

理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x，y，z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
1 vx 1 vx vx vx dxdydz vx dxdydz dxdydz 2 x 2 x x
同理可得在单位时间内沿 y ， z 方向流出与流入控制体的质 量差为
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x

y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程

理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
流体质点加速度
d x x x x x ax x y z dt t x y z d y y y y y ay x y z dt t x y z d z z z z z az x y z dt t x y z
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz / dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
（x） （y） （z） 0 t x y z
v y y
dxdydz
和
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（x） （ y） （ z） dxdydz x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z

推导过程：
⑴取微小六面控制体
⑵推导依据：
牛顿第二定律or动量定理：
d d（m ） F ma m dt dt
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
⑶分析受力：
① 质量力：
单位质量力： f f i f j f k x y z
X方向上所受质量力为：
③ 流体质点加速度 a

的计算方法：
（x，y，z，t）x f（t） y f（ ' t）y f （ ' ' t）
流速的全导数应是：
d a x y z dt t x y z





当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
矢量形式：
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0 t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动 ⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x z 0 x y z
y
or
div 0

说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x