冰山运输模型

§4 冰山运输模型

［问题的提出］

在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩翰的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0．1英镑．有些专家提出从相距9600 km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.

[模型的准备]

为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作．根据建模的需要搜集到以下数据．

1．三种拖船的日租金和最大运量．

2．燃料消耗(英镑／千米)．主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略．

3．冰山运输过程中的融化速率(即米／天)．指在冰山与海水、大气接触处每天融化

的深度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．

建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．

根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．

[模型的假设]

1．拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离9600km ．

2．冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算．

3．冰山到达目的地后，31m 冰可融化成3

85.0m 水．

[模型的建立] 首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下几步．

1．冰山融化规律

根据假设2先确定冰山球面半径的减小，就可以得到冰山体积的变化规律．

记冰山球面半径融化速率为r 米／天，船速为u km ／h ，拖船与南极距离为dkm ．根据表5中融化速率的数据，可设厂是船速c4的线性函数，且当0≤d ≤4000km 时r 与d 成正比，而当d>4000 km 时厂与d 无关，即设

其中b a a ,,21为待定参数．这可以解释为0≤d ≤4000km 相当于从南极到赤道以南，海水温度随d 增加而上升，使融化速率r 也随d 的增加而变大，而d>4000km 后海水温度变化较小，可以忽略．

利用表5所给数据确定出*

当拖船从南极出发航行第t 天时，与南极距离为

记第t 天冰山球面半径融化速率为r ，，将(2)，(3)代入(1)式得

记第t 天冰山半径为t R ，体积为t V ，则

其中00,V R 为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由(4)～(6)式可知冰山体积是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作),,(0t V u V ，有

其中k r 由(4)式表示．

2．燃料消耗费用

分析表4给出的燃料消耗(英镑／千米，记作_

q )的数据可以看出，q 对船速u 和冰

山体积V 的对数1g V 均按线性关系变化，所以可设

其中321,,c c c 为待定参数．利用表4所给数据可以确定*

由(7)～(9)式可将拖船航行第基天的燃料消耗记作),,(0t V u q (英镑／天)，且有

3．运送冰山费用

费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积0V 决定，记日租金为)(0V f ，显然有

又因为当船速为u （km/h ）时冰山抵达目的地所需天数为u u

T 400249600==，所以租金费用为u V f )(4000．而整个航程的燃料消耗为∑=T t t V u q 1

0),,(由(10)式得运送冰山的总费用为

4．冰山运抵目的地后可获得水的体积

将T t =代人(7)式知，冰山运抵目的地后的体积为

注意到假设(3)，则得到水的体积为

5．每立方米水所需费用

记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为),(0V u y ，由(12)，(14)式显然有

[模型的求解]

这个模型归结为选择船速24和冰山初始体积0V ，使(15)式表示的费用),(0V u Y 最小，其中),(0V u S 由(12)，(4)式给出，),(0V u W 由 (14)，(4)式给出．由于)(0V f 是分段函数，只能固定一系列0V 值对u 求解．又因为由调查数据(表4，表5)得到的经验公式是非常粗糙的，对船速24的选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问

题．表6是对几组),(0u V 值的计算结果，可知若选取最大的冰山初始体积37010m V =

(当然要租用大型拖船)，船速5~4=u km ／h ，每立方米水的费用约0.065英镑．

[结果分析] 得到的结果虽然小于海水淡化的费用(每立方米0．1英镑)，但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体积显著地小于模型中的),,(0T V u v ．并且没有计算空船费等其他费用．专家们认为，只有当用

这个模型计算出来的费用显著地小于海水淡化的费用时(譬如小一个数量级)，才有理由考虑采用冰山运输的办法获得淡水．

评注这个模型的思路是简单的，建模方法有两点值得注意：一是根据有限的数据(表4，表5)建立了经验公式(1)，(2)和(8)，(9)，为整个计算过程提供了基础，二是假定冰山呈球形，简化了计算.读者可以考虑，如果假定冰山为其他规定的形状，将如何处理.