(优选)运筹学第三章运输问题.

表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。（产销不平 衡的问题可转化为平衡问题）
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表上作业法 一般步骤：
1、找出初始基本可行解；
2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条件，若达到，则得最优 解；否则 转第三步；
3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调整，得到新的基可 行解；
x21 9x22 2x23 8x24
约束条件：
7x31 4x32 10x33 5x34 x11 x12 x13 x14 7
产量约束
x21 x22 x23 x24 4
x31 x32 x33 x34 9
x11 x21 x31 3
销量约束
x12 x22 x32 6 x13 x23 x33 5
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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销地 产地
A1
A2
A3
2 2 2
B1
3
31 76
5
B2
B3
B4
11
9
4
1 1 1 1
53
21
10
3 3 2 2
2 10 0 0 0 7
8 1 116
x14 x24 x34 6
xij 0,i 1,2,3; j 1,2,3,4
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二、一般运输问题数学模型
设有m个产地，分别为 A1 , A2 ,.... Am ;
n 个销地，分别是 B1, B2 ,.... Bn ；
从产地 Ai运往销地 Bj 的单位运价是 cij ，运量 xij si 是产地Ai 的产量；d j 是销地Bj 的销量。
否则产销不平衡。
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说明：从上述模型可以看出：
（1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1),
而非m+n 。
若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在 单纯形法的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特 殊的线性规划问题
运筹学第三章运输问题
第三章 运输问题
运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及应用
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§1 运输问题的典例及数学模型
一、 引例
某公司从三个产地 A，1 A，2 将A3产品运往四个销地 ，B1 B2
B，3 B，4 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
则该运输问题的模型如下：
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mn
Min f
cij xij
i 1 j 1
m
s.t
xij d j
j 1,...,n
i 1
n
xij si j 1
i 1,...m
xij 0, i 1,...m,
说明：当
m
n
si d j
i1
j 1
j 1,...,n
时，称其为产销平衡的运输问题，
销地 运费单价
B1
产地
A1
3 x11
A2
1 x21
A3百度文库
7 x31
销量（吨）
3
B2
11 x12 9 x22 4 x32
6
B3
3 x13 2 x23 10 x33
5
B4
10 x14 8 x24 5 x34
6
产量 （吨）
7 4 9
于是可建立如下的数学模型：
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目标函数：MinZ 3x11 11x12 3x13 10x14
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
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销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最小 的变量分配运输量。
在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大 的并值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0，
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量（吨）
3
4
10
5
9
6
5
6
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解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的
运输问题。假设 表xi示j 从产地 运往i销地 的产j
品数量， i 1,2,3; j建立1,2如,3下,4.表格：
把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小运价，同
理可运费得单价其销他地 的基B本1 可行解B。2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
3
31
7
3 0
B2
11 9
64
6 0
B3
43 12
10
5 4 0
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
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一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
B4
产量
3
7
10
30
4 10
8
3
9
5
30
6
20
3
0
20
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应 的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。