正交多项式

如在区间[ , ] 上的正交函数系
1,cosx,sinx,cos2x, ,connx,sinnx, 中，
0,
cos mx cos nxdx ,
2 ,
cos mx sin nxdx 0
0,
sin mx sin nxdx ,
mn mn0 mn0
mn mn0
6. 1正交多项式(Orthogonal Multinomial)
第六章 函数逼近与拟合
（Function Approximation and Interpolation）
❖ 函数逼近问题：在实际应用中常需为解析式子比较
复杂的函数寻找一个多项式来近 似代替它，并要求其误差在某种 度量意义下最小。
❖ 曲线拟合问题：在实际应用中，往往并不需要多项
式通过给定的数据点，而只要求 用多项式近似代替列表函数时， 其误差在某种度量意义下最小。
第六章 函数逼近与拟合
（Function Approximation and Interpolation）
6. 1 正交多项式
对于定义在区间[a,b] 上的一个函数系 (xj ), j 0,1, ，
如果其中任何两个函数在此区间上的积分为零， 而他们之中每个函数自乘的积分不等于零，
即
b a
(
b a
x(
x
0
)2
dx
,
d1
d0
b a
Q02
(
x)dx
b dx，
a
d1
b a
Q12
( x)dx
b a
(
x
0
)2
dx
Example 6.1
在区间
1 4
,1
上构造正交多项式。
解：由递推方法
QQ10((xx))
1 (x
0
)
Qj1(x) (x j )Qj (x) jQj1(x),
5 )( x 8
5) 8
3 64
x2
5 4
x
11 32
Qj (x) 为 j 次多项式
1. 正交多项式(Orthogonal Multinomial)
切比雪夫多项式：设 x cos , 0 则称 Tn (x) cos(n ) cos(n arccos x)
为（第一类）n 阶切比雪夫多项式。
n
(x)
Tn (x) 2n1
对零的偏差最小，
即
max
1 x 1
n
(
x)
0
max
1 x 1
Pn (x) 0
,
且
1
max
1 x 1
Pn (x)
2n1
1. 正交多项式(Orthogonal Multinomial)
切比雪夫级数：定义在区间[1,1] 上的函数 f (x) 可以展开成
f
(x)
1 2
a0T0 (x)
TT10((xx))
1 x
Tj1(x) 2xTj (x) Tj1(x),
j 1, 2,
性质3：n 阶切比雪夫多项式 Tn (x) 是一个 n 次代数多项式, 且其最高次幂 xn 项的系数为 2n1。
（n
(
x)
Tn (x) 2n1
为首一多项式）
切比雪夫多项式
性质4：n 阶切比雪夫多项式 Tn (x)在区间[1,1] 上满足 Tn (x) 1， 且在区间[1,1] 上 有n个零点
正交多项式的构造：为了构造在给定区间[a,b] 上关于权函数
(x) 1的正交多项式系 Qj (x),j 0,1, ，
可用递推方法
QQ10((xx))
1 (x
0
)
Qj1(x) (x j )Qj (x) jQj1(x),
j 1, 2,
其中
j
b a
xQ2j
(
x)dx
,
dj
j 0,1,
性质1：切比雪夫多项式 Tk (x),k 0,1, 在区间[1,1] 上
关于权函数 (x) 1 是正交多项式系，
1 x2
0，
即
1 1
1 1
x2
Tm (x)Tn
( x)dx
2
，
，
mn mn0 mn0
切比雪夫多项式
性质2：切比雪夫多项式 Tk (x),k 0,1, 具有下列三项递推关系
第六章 函数逼近与拟合
（Function Approximation and Interpolation）
❖ 主要内容：
❖ 正交多项式的构造； ❖ 常用的多项式； ❖ 一致逼近的基本概念； ❖ 最佳一致逼近多项式； ❖ 均方逼近的基本概念； ❖ 最佳均方逼近多项式； ❖ 最小二乘曲线拟合的基本概念； ❖ 用正交多项式作最小二乘曲线拟合。
x)m
(
x)n
(
x)dx
0, 0,
m n，(x) > 0
mn
则称此函数系为在此区间上关于权函数 ( x)的正交函数系。
当
b a
(
x)n
(
x)n
(
x)dx
1时称之为规范的正交函数系；
当此函数系中的每一个函数均为多项式时称之为正交多项式（系）。
6. 1正交多项式(Orthogonal Multinomial)
其中
j
b a
xQ
2 j
(
x)dx
,来自百度文库
dj
j 0,1,
,
j
dj d j1
,
d j
b a
Q
2 j
(
x)dx,
j 0,1,
j 1, 2, j 1, 2,
Example 6.1
解：d0
b a
Q02
(
x)dx
1112 dx
4
3， 4
0
b a
xQ02 (x)dx
d0
1 1 4
x 12 dx
,
j
dj d j1
,
j 1, 2,
d j
b a
Q2j
(
x)dx,
j 0,1,
正交多项式的构造
如 j 1, Q2 (x) (x 1)Q1(x) 1Q0 (x)
(x
1
)( x
0
)
d1 d0
其中
0
b a
xQ02 (x)dx
d0
b
xdx a， d0
1
b a
xQ12 (x)dx
d1
5
3/4 8
Q1 ( x)
(
x
0
)
x
5 8
d1
b a
Q12
(x)dx
1
1 (x
4
5)2 dx 8
9， 256
1
b a
xQ12 (x)dx
d1
1 1 4
x(x
5)2 dx 8
5
,
9 / 256
8
1
d1 d0
9 / 256 3/4
3 64
Q2
(x)
(x
1 )Q1 ( x)
1Q0 (x)
(x
a1T1 ( x)
anTn (x)
当函数 f (x)在 [1,1] 上有连续导数时，
切比雪夫级数在 [1,1] 上是绝对、一致收敛的，
且
f
(x)
1 2
a0
k 1
akTk (x)
其中
ak
2
1 1
k
2k 1 ,
2n
k 1, 2,
,n
即
xk
cos
2k 1 ,
2n
k 1, 2,
,n
性质5：n 阶切比雪夫多项式 Tn (x) 在区间[1,1] 上 有n 1个峰值点
k
k ,
n
k 0,1,
,n
即
xˆk
cos
k ,
n
k 0,1,
,n
切比雪夫多项式
定理6-1：在区间[1,1] 上所有的 n 次首一多项式 Pn (x) 中，