材料力学动载荷的概念及分类

第14章动载荷

14.1 动载荷的概念及分类

在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。

在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。这些部属于动载荷研究的实际工作问题。实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。

动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：

1．构件作加速运动。这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。

2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。

3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。

实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。

14.2 构件作加速运动时的应力计算

本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。

14.2.1 构件作匀加速直线运动

设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。

由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要

在每质点上都施加一个大小等于其质量m 与加速度a 的乘积、而方向与a 相反的惯性力，则整个杆件即可认为处于平衡状态。于是这一动力学问题即可作为静力学问题来处理。这种通过施加惯性力系而将动力学问

题转换为静力学问题的处理方法，称为动静

法。

对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来

说，在单位长杆上应施加的惯性力，亦即它

所受到的动载荷显然为 a g A γp d = 它的方向与a 相反，并沿杆件的轴线均匀分

布。

为了计算此杆的应力，首先来分析它的内力。为此，应用截面法，在距下端为x 处将杆假想地切开，并保留下面一段杆，其受力情况如

图14-1(b)所示。此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用，其集度即单位长杆所受到的载荷为

)1(g

a A γa g A γA γp p p d st +=+=+= 式中，γ=A st p 是单位长杆所受到的重力，即a =0时单位长杆所受到的载荷，亦即静载荷。在上述轴向载荷作用下，直杆横截面上的内力应为一轴力，由平衡条件0=∑x F 得此轴力的大小为

x g

a A γpx F Nd )1(+== (14-1) 轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力，于是，该截面上的动应力为

)1(g

a γx A F σNd d +== (14-2) 由式(14-2)可知，这一动应力是沿杆长按线性规律变化的，其变化规律如图14-1(c)所示。

若此杆件静止悬挂或匀速提升时，亦即受静载荷作用时，由于a =0，由公式(14-2)得其静应力为

γx σst =

于是动应力又可以表示为

st )1(σK g

a σσd st d =+= (14-3) g

a σσK d +==1st d (14-4) K d 称为动荷系数。于是，构件作匀加速直线运动的强度条件为

][σ.K σσd max st max d ≤= （14-5）

由于在动载荷系数d K 中已经包含了动载荷的影响，所以][σ即为静载下的许用应力。

动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的，因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题，即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所需要的结果。但应注意，对不同类型的动力问题，其动载荷系数d K 是不相同的。 14.2.2 构件作匀角遮转动时的应力计算

构件作匀角速转动时，构件内各点具有向心加速度，施加离心惯心力后，可采用动静法求解。

图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O (垂直于纸面)作匀角速转动。现求杆内最大动应力及杆的总伸长。设匀角速度为ω(rad/s)，杆的横截面积为A ．杆的重量密度为ρ，弹性模量为E 。

因杆绕O 轴作匀角速转动，杆内各点到转轴O 的距离不同，而有不同的向心加速度。对细长杆距杆右端为ξ的截面上各点的加速度为

)(l 2n ξ-ω=a

该处的惯性力集度为

)()(2

ξl g

ρAωξq d -= 取微段ξd ，此微段上的惯性力为

ξξωρ)d (g A d 2

-=l F

计算距杆右端为x 处截面上的内力，运用截面法，保留杆x 截面以右部分，在保留部分上作用有轴力F N (x)及集度为q d 的分布惯性力，如图14-2(b)所示，由平衡条件0=∑x F 得

ξξl g

ρAω(x)F x

N )d (20-=

⎰ 由此得出 )2

()(2

2x lx g ρAωx F N -= 最大轴力发生在x =l 处

22max

2l g

ρAωF N = 最大动应力为 22max 2l g

ρωσ= 可见，本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。

下面计算杆的总伸长。距杆右端为x 处取微段d x ，应用虎克定律，此微段的伸长为

x EA

(x)F l N d )

d(∆ 进行积分，求得杆的总伸长为 Eg

l ρωx x lx Eg ρωx EA (x)F Δl l l N 3)d 2(d 322200=-==⎰⎰ 例14-1 图14-3(a)所示之薄壁圆环，以匀角速ω绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，试求圆环的动应力及平均直径D 的改变量。已知圆环的横截面面积为A ，材料单位体积的质量为ρ，弹性模量为E 。