1.振动及摆动

1 2 E kA 2
振动系统总能量
• 能量法求谐振动的振幅和周期
自学
§13.2 摆动
混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 建立如图自然坐标 受力分析如图 切向运动方程 n N

l

m
mg
F ma ml d2 mgsin ml 2 dt
k
O
m
x
1 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 x kx 0 2 2
mg-kx0=0 x
1 2 kx 2
1 1 2 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA 2 2 2
注意：
只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 E p kx 2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能）
当 t 0

3
时：
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动
5 当 t 0 时： 3
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动
(2)
(t 0 ) 每变化 2
整数倍，x、v重复
回复力和物体惯性交互作用形成谐振动 F = -kx
(平衡位置为坐标原点）
扩展:
以弹簧振子为例得出普遍结论：
动力学特征
F kx
离系统平衡位置的位移
F=-kx
准弹性力
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x d x F m 2 dt
2
d2 x k x0 2 dt m
k 2 令 得 m
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 E EP EK ( kx m v ) kx0 kA kx0 恒量 2 2 2 2 2
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
EP 0
x0
k
1 1 2 2 Ep k ( x x0 ) mgx kx 0 2 2
同学们好！
k
本学期教学内容及特点
基 本 粒 子
实物运动规律
振动 与
量子现象
与
量子规律
相互作用和场
波动
多粒子 体系的 热运 动
实物与场的共同运动形式和性质 单粒子 —— 多粒子体系 物理概念、物理思想深化 更加贴近物理前沿和高新科技
对自学能力的要求提高
第四篇
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性 •振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 •波动: 振动在空间的传播 摆动 *混沌
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。 由
在 t = 0 时刻
解得
v0 2 A x0 2
2
x2
v2
2
*3. 相位t + 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
(1) ( t 0 )与状态参量 x，v有一一对应的关系
例：
x A cos( t 0 ); v A sin( t 0 )
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 sin 0 2 dt
令 2
g
l
得：
单摆运动的微分方程
sin

3
3!


5
5!

非线性微分方程 无解析解
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
E-t 曲线
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍
Ek , Ep彼此变化步调相反
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k
EP=0 x 0
mg-kx0=0 x
k m
O
k x
1 2 Ep k ( x x0 ) mg ( x x0) ) 2 1 k ( x x0 ) 2 kx0 ( x x0 ) 2 1 2 1 2 kx kx0 2 2
x、y 方向分运动均为简谐振动
简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻, 投影点位移 x0 A cos 在任意时刻, 投影点的位移
x A cos(t )
旋转矢量 A 与谐振动的对应关系 旋转矢量 A
简谐振动
符号或表达式
模 角速度
t=0时，A 与ox夹角
振幅 角频率 初相
{ v A sin( t )
0
x A cos( t 0 )
1 1 Ε p kx 2 kA 2 cos 2 ( t 0 ) 2 2
1 2 1 1 2 2 2 2 2 Ek mv mA sin ( t 0 ) kA sin ( t 0 ) 2 2 2
k m
描述谐振运动的快慢
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
由谐振动周期性特征看 的物理意义:
x (t T ) x(t )
固有角频率
T
A cos[ (t T ) 0 ] A cos( t 0 )
2

周期
频率
(t T ) 0 t 0 2
sin 0 0
A x0 0 t 0
v0
x
t

x0 0 arccos A
为四象限角
(2) 与标准余弦函数比较
t0 0 2 t0 T
三. 旋转矢量法(几何表示方法) 思考： 写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周匀速运动 的参数方程 y m x A cos(t 0 ) A 0 x y A sin(t 0 ) o
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成 由x、v 的符号确定 A 所在的象限：
练习
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
o
C
h
J
令
mgh J
2
mg
d 2 sin 0 2 dt
2
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动
运动 cos( t ) m 方程：
J 周期：T 2 mgh
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地
反映出谐振动的周期性特征。 (3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
0 2 1 0
x2振动超前x1
x2振动落后x1
初相： 0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 A cos 0 v0 A sin 0
Baidu Nhomakorabea
1 T 2
在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫 兹)、角频率 rad· s-1 (弧度 / 秒)
2. 振幅A ：
A | xmax |
x A cos( t 0 ) v A sin( t 0 )
x0 A cos 0 v0 A sin 0
1 E E p Ek kA 2 恒量 2
孤立谐振动系统机械能守恒
由公式
1 1 1 2 2 E mv k x kA 2 2 2 2
得
k 2 2 2 2 v ( A x ) A x m
此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在 最大位移处，x = A, 速度为零。 由以上两式可见，当位移最大时，速度为零，动能也 为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为 零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
x0 cos 0 0 A v0 A sin 0 0
sin0 0
}
0
为三象限角

v0 kh 0 arctg( ) arctg x0 mg
[ 例 2]
由振动曲线决定初相
(1)
x0 cos 0 0 A v0 A sin 0 0
或
v0 0 arctg( ) x0
x0 cos 0 A v0 sin 0 A
由cos0大小和 sin 0的符号决定 0
[例1]
已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞 求： T, A, 0 m 解：振动系统为（2 m, k) x0
m h


k , T 2 2m 2m k
阻尼振动 受迫振动 共振 简谐振 动 振动的 合成 *频谱 分析
*电磁振荡
学时：6
第13章 振 动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
力学量（如位移）
电磁量（如I 、V、 E、 B）
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§13.1
一. 运动方程
1. 理想模型：弹簧振子
简谐振动
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
求解得运动方程：
*
d2 x 2 x 0 线性微分方程 2 dt
x A cos(t 0 )
A, 0 为积分常数
x可代表任意物理量
若某物理量满足*，则其运动方程可用时间 t 的正、 余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
简谐振动1：物体所受回复力与位移之间的关系满足 F kx
o
v0 k
t 0
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为t = 0 mg x0 0 有： k gh v0 0 m 2 gh 2m v0 2
{
得： 又：
2 2 2 v m g mgh mg kh 2 0 A x0 2 1 2 k k k mg
3.
d x d2 x x, , 2 均随时间周期性变化 dt dt
由
x A cos( t 0 ) 得
dx v A sin(t 0 ) dt d2 x 2 a A cos(t 0 ) 2 dt

0
二. 简谐振动的特征量 1. 角频率 :
振动周期 相位
A
0
T=2/ t+ 0
旋转周期 t时刻，A 与ox夹角
A 在 ox 上的投影 A 端点速度在ox 上的投影 A 端点加速度在ox 上的投影
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
角谐振动 周期：
运动 cos( t ) m 方程：
由初始条件决定
l T 2 g
2
二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律
M J
d 2 m ghsin J 2 dt d 2 m gh sin 0 2
dt J
作x = -12cm处的旋转矢量 A A
-12
A0
o 12 24 x(cm)
t min
1 T 0.5 s 6
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
t=0
t T 12 T t 6
x(cm)
A
O
T t 2
O
T
t(s)
四. 孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点
v A x
速圆周运动，初始时刻的位置与
x轴夹角为 ，则任意时刻t物体 在x轴上的位移为
x
x A cos(t )
由简谐振动定义3，匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动 讨论：正因为在圆周运动中代表物体运动的角速度，因此， 简谐振动运动学方程中的称为简谐振动的角速度或角频率 (代表2秒内物体完成完全振动的次数)。代表物体振动的快慢
称物体所作的运动为简谐振动
简谐振动2：如果物体的动力学方程可以写为 d 2 x 2 x 称物体所作的运动为简谐振动 dt 2
简谐振动3：如果物体的运动学方程可以写为
x A cos(t ) 称物体所作的运动为简谐振动
例：证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动
证明：设物体以的角速度作匀
2
由初始条件决定
由小角度摆动都是谐振动，可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。例如晶体中原子 或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
大角度摆动不是谐振动！