人教版数学必修4第一章《任意角的三角函数》

复习引入
初中时，我们怎样利用直角三角形定义了 锐角三角函数的呢？
sin a c
cos
b c
ta n
a b
B
c a
A
bC
答案
知识
探究一
思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a
s in MP b
OP r
MP b OP r a 2 b2
c osOM a
OPr
6
4
3
2
3 2
2
1 2
2 2
3 2
1
0 1 0
3
2
1
2
2
2
0
1 0
1
3 3
1
3 不存在 0 不存在 0
练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D )
A.sin α=0
B.sin α=1
C.sin α=-1
D.sin α=± 1
2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )
3、情感态度与价值观： 学习转化的思想，培养学生严谨治学，一丝不苟的科学 精神。
二、教学重难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括 这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符 号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公 式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括 这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符 号）；三角函数线的正确理解.
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
所以 sin5 3 cos5 1 2ta2n5 3
y
32
32
3
，
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
o
﹒
A
x
C ﹒B
s
in7
3
1,
6
62
co7s 3,
62
tan7 3
63
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α
的弧 0
度数
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
y
r
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x
r
O
③
y x
叫做的正切，即 tanyx0
x
P (x,y)
r y
xM
x
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
例1、求 5 的正弦、余弦和正切值.
理论
3
迁移
解：在直角坐标系中，作 AOB5 ，易知 AOB
31 3
的终边与单位圆的交点坐标为 ( , )
y
﹒Pa,b
r b
ta nM P b
OMa
o
﹒
a Mx
思考2
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(x, y)
1
oM
因OPr1，故
sin MPy OP
x cos OMx
OP
tan OMMP
y x
1、任意角的三角函数第一定义
重点理解
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)
y 规定:（1） 叫做 的正弦，记作 sin，即 siny；
（2）x叫做 的余弦，记作 co，s即 c o x s；
y
（3） 叫做
的正切，记作tan，即 tan y (x0)
x
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px,y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
一、教学目标
1、知识与技能： 借助单位圆理解任意角的三角函数；从任意角三角函数 的定义认识其定义域、函数值的符号；已知任意角α终 边上一点，会求角α的各三角函数值；记住三角函数的 定义域、值域，诱导公式一；
2、过程与方法： 利用终边和单位圆的交点坐标求三角函数值；各个三角 函数值的象限符号；诱导公式一的熟练运用。
x
r
第 三 象 限 ： y 0 ,r 0 ,故 y 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： y 0 ,r 0 ,故 y 为 负 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
2、 余 左弦 负函 右数 正纵值 为co 0sx
第 一 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 r值 ； y
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
解：由已知可得：
rx2 y2 122 5 2 13
于是，siny 5 c osx12
r 13
Βιβλιοθήκη Baidur 13
tany5
x 12
变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α 的正弦、余弦、正切值．
变式3：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值．
变式4
已知p点 ( 3，m）是角 终边上的一点 且sin 13,则m__12____________
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
第 二 象 限 ： x 0 ,y 0 ,故 x y 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,y 0 ,故 y 为 正 值 ； x
第 四 象 限 ： x 0 ,y 0 ,故 y 为 负 值 ； x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin、 csc c o s 、 s e c tan、 co t
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan6( 7)2（3）sin
13
解析 r： 3m2
m 3m2
13 13
1m 3 2m 23
m2 1 4
划归的思想
三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号：
上正下负横为0
1、 正 弦 函 数 值 siny
y
第 一 象 限 ： y 0 ,r 0 ,故 y 为 r正 值 ；
r
第 二 象 限 ： y 0 ,r 0 ,故 y 为 正 值 ； o
思
根据三角函数的定义，确定它们的
考
定义域（弧度制）
3
y
Px,y﹒
O
三角函数
定义域
A1,0 x
sin
R
cos R
tan 2k(kZ)
思考四
2、任意角的三角函数第二定义：
重点理解
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y