计算流体力学数值方法概论
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元变量 存储在单元中心节点位置上。 右图为一典型三维控制
体积，其中P点为单元中心 存储节点。相对于中心节点， 沿坐标方向通常表示为west, east, south, north, bottom, top.
其中，小写字母w, e, s, n, b, t 表示单元面，大写字母W, E, S, N, B, T表示中心节点的 相邻节点。
3-19
计算流体力学
3T1 T2 200 T1 2T2 T3 0 T2 2T3 T4 0 T3 2T4 T5 0 T4 3T5 1000
T1 140 T1 220 T3 300 T4 380 T1 460
3-20
计算流体力学
解析解：
d (kAdT ) 0 dx dx
3-4
计算流体力学
对于任意控制体内一个守恒物理量: 控制体内物理量的变化率+经过控制
体边界面的净通量＝控制体积内的源(汇) 经过控制体边界面的总的通量由对流(
随流动的迁移)和扩散(由随机分子运动或 湍流运动导致的净输运)两部分组成。如果 用
表示单位质量流体的守恒量，则通用标 量输运方程(或称对流－扩散方程)可表示 为：
(4) 对得到的离散方程进行 数值求解。
3-7
计算流体力学
计算网格可以是结构网格或非结构网格，笛 卡儿网格或非笛卡儿网格。
最常用的网格形式包括基于单元中心的存储 方式和基于单元顶点的存储方式两种。在后面的
讨论中将会看到，不是所有的变量都必须存储在 同样的位置。
3-8
计算流体力学
为了简单起见，本课程将只考虑结构化笛卡 儿网格，和采用基于单元中心的存储方式，即单
3-12
计算流体力学
于是， 的对流扩散方程为：
其中，S表示单位长度的源。将等式两边除以
，并取极限
，可得到相应的微分方程：
注意：1，这里面积A是表示可变截面的准一维问题， 对于真正的一维问题，只需令A=1,即
2，这里假设
和S均为常数，但在一般的
CFD问题中，u本身也是问题的解变量。
3-13
计算流体力学
3-14
计算流体力学
这个问题是求解一维对流－扩散方程： 上面的方程也可写成如下的积分方程： 由于本例只考虑扩散，即没有对流和源项：
3-15
计算流体力学
对于本例的温度T的纯扩撒问题，最终有如下 的微分方程和积分方程：
d (kAdT ) 0 dx dx
k A dT dx
e w
0
3-16
计算流体力学
3-9
计算流体力学
于是单元各面的面积表示为Aw, Ae, As, An Ab, At 。体积为V。对于二维问题，可以视为单 位厚度为1的一层单元( )
对于结构网格，可以交替使用ijk下标表示单 元节点，譬如，
3-10
计算流体力学
一维对流－扩散方程 我们首先讨论一维稳态对流扩散方程主要基 于下面的考虑： (1) 它使问题分析大大简化 (2) 离散方程可以进行手算。 (3) 尽管只是一维的，但要扩展到二维或三维 是非常直接的 (4) 实际上，通量(对流和扩散)的离散一般是
非边界面上通量的计算：
3-17
计算流体力学
边界面上通量的计算：
3-18
计算流体力学
T1 TB1 T2 T1 0 x / 2 x T2 T1 T3 T2 0 x x T3 T2 T4 T3 0 x x T4 T3 T5 T4 0 x x T5 T4 TB2 T5 0 x x / 2
例子
1，纯扩散问题 如图所示的隔热棒，长度 1m，截面为1cmx1cm的方 形截面，棒的两端为固定 温度，分别为100度和500 度。穿过任意截面A的热通 量由下式给定：
其中，热传导系数 (a) 将棒划分为5个控制体，并用有限体积分析沿棒
的温度分布 (b) 写出沿棒温度分布的微分方程 (c) 求出微分方程的解析解，并与(a)的解进行比较
3-22
计算流体力学
(3) 如果扩散系数也是 变量的话，它在单元面 上的值必须通过插值得到。
(4) 采用中心差分格式意 味着在单元面两边的节点上权重相同。这 和扩撒的物理意义是一致的，因为扩散在 所有方向作用相同。这后面将要讨论的对流 是不一样的，对流是具有明确的方向性的。
3-23
计算流体力学
(5) 单元西面也应有相似的 表达式，这是守恒定律所要 求的。即从一个单元流出的 通量一定等于流入相邻单元 的通量。这是有限体积法优越有限差分和有限 元法的地方。
3-5
计算流体力学
d（V） (C A ) SV
dt
faces
n
C un A
1，有限体积法直接对上式进行离散 2，本章只考虑稳态问题，即上式左边第一项为
零
3-6
计算流体力学
有限体积法(FVM)
(1) 定义流场求解域几何形 状 (2) 将求解域划分为计算网 格，即一组互不重叠的有限 体或单元。 (3) 基于上述划分的单元对 积分方程进行离散，即用节 点值来近似。
沿坐标方向进行的，即分别沿i,j,k线进行。
(5) 有许多重要的理论问题是一维的。
3-11
计算流体力学
对于如图所示的一维控制体，物理量的守恒 可表述为如下关系式：
[通量]e (fluxe)- [通量]w (fluxw) ＝源(source) 这里的通量是指穿过单 元表面的输运率。 如果 表示单位质量 的输运量，则总的通量为 对流通量和扩散通量之和， 其中： 对流通量＝ 扩散通量＝
d 2T dx2 0
T c1x c0 T (x 0) 100 T (x 1) 500
T 400x 100
3-21
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计算流体力学
控制方程扩散项的离散 梯度扩散项的离散几乎
总是采用中心差分格式：
提示： (1) 有限体积法中，通量是在面上计算的，而 不是在节点处。 (2) 上述对梯度扩散项的近似在空间上具有二 阶精度，后面将会给出证明。
计算流体力学
第三章 数值方法
3-1
计算流体力学
主要内容
空间离散技术 标量输运方程 动量方程
时间离散技术
3-2
计算流体力学
1 标量输运方程
有限体积法 一维对流扩散方程 扩散项的离散 源项的离散 代数方程的组装 二维和三维问题 对流项离散基础 离散特性
3-3
计算流体力学
对流项高级离散方法 高阶对流方法的实现 曲线网格 边界条件 代数方程的求解 小结
体积，其中P点为单元中心 存储节点。相对于中心节点， 沿坐标方向通常表示为west, east, south, north, bottom, top.
其中，小写字母w, e, s, n, b, t 表示单元面，大写字母W, E, S, N, B, T表示中心节点的 相邻节点。
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计算流体力学
3T1 T2 200 T1 2T2 T3 0 T2 2T3 T4 0 T3 2T4 T5 0 T4 3T5 1000
T1 140 T1 220 T3 300 T4 380 T1 460
3-20
计算流体力学
解析解：
d (kAdT ) 0 dx dx
3-4
计算流体力学
对于任意控制体内一个守恒物理量: 控制体内物理量的变化率+经过控制
体边界面的净通量＝控制体积内的源(汇) 经过控制体边界面的总的通量由对流(
随流动的迁移)和扩散(由随机分子运动或 湍流运动导致的净输运)两部分组成。如果 用
表示单位质量流体的守恒量，则通用标 量输运方程(或称对流－扩散方程)可表示 为：
(4) 对得到的离散方程进行 数值求解。
3-7
计算流体力学
计算网格可以是结构网格或非结构网格，笛 卡儿网格或非笛卡儿网格。
最常用的网格形式包括基于单元中心的存储 方式和基于单元顶点的存储方式两种。在后面的
讨论中将会看到，不是所有的变量都必须存储在 同样的位置。
3-8
计算流体力学
为了简单起见，本课程将只考虑结构化笛卡 儿网格，和采用基于单元中心的存储方式，即单
3-12
计算流体力学
于是， 的对流扩散方程为：
其中，S表示单位长度的源。将等式两边除以
，并取极限
，可得到相应的微分方程：
注意：1，这里面积A是表示可变截面的准一维问题， 对于真正的一维问题，只需令A=1,即
2，这里假设
和S均为常数，但在一般的
CFD问题中，u本身也是问题的解变量。
3-13
计算流体力学
3-14
计算流体力学
这个问题是求解一维对流－扩散方程： 上面的方程也可写成如下的积分方程： 由于本例只考虑扩散，即没有对流和源项：
3-15
计算流体力学
对于本例的温度T的纯扩撒问题，最终有如下 的微分方程和积分方程：
d (kAdT ) 0 dx dx
k A dT dx
e w
0
3-16
计算流体力学
3-9
计算流体力学
于是单元各面的面积表示为Aw, Ae, As, An Ab, At 。体积为V。对于二维问题，可以视为单 位厚度为1的一层单元( )
对于结构网格，可以交替使用ijk下标表示单 元节点，譬如，
3-10
计算流体力学
一维对流－扩散方程 我们首先讨论一维稳态对流扩散方程主要基 于下面的考虑： (1) 它使问题分析大大简化 (2) 离散方程可以进行手算。 (3) 尽管只是一维的，但要扩展到二维或三维 是非常直接的 (4) 实际上，通量(对流和扩散)的离散一般是
非边界面上通量的计算：
3-17
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边界面上通量的计算：
3-18
计算流体力学
T1 TB1 T2 T1 0 x / 2 x T2 T1 T3 T2 0 x x T3 T2 T4 T3 0 x x T4 T3 T5 T4 0 x x T5 T4 TB2 T5 0 x x / 2
例子
1，纯扩散问题 如图所示的隔热棒，长度 1m，截面为1cmx1cm的方 形截面，棒的两端为固定 温度，分别为100度和500 度。穿过任意截面A的热通 量由下式给定：
其中，热传导系数 (a) 将棒划分为5个控制体，并用有限体积分析沿棒
的温度分布 (b) 写出沿棒温度分布的微分方程 (c) 求出微分方程的解析解，并与(a)的解进行比较
3-22
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(3) 如果扩散系数也是 变量的话，它在单元面 上的值必须通过插值得到。
(4) 采用中心差分格式意 味着在单元面两边的节点上权重相同。这 和扩撒的物理意义是一致的，因为扩散在 所有方向作用相同。这后面将要讨论的对流 是不一样的，对流是具有明确的方向性的。
3-23
计算流体力学
(5) 单元西面也应有相似的 表达式，这是守恒定律所要 求的。即从一个单元流出的 通量一定等于流入相邻单元 的通量。这是有限体积法优越有限差分和有限 元法的地方。
3-5
计算流体力学
d（V） (C A ) SV
dt
faces
n
C un A
1，有限体积法直接对上式进行离散 2，本章只考虑稳态问题，即上式左边第一项为
零
3-6
计算流体力学
有限体积法(FVM)
(1) 定义流场求解域几何形 状 (2) 将求解域划分为计算网 格，即一组互不重叠的有限 体或单元。 (3) 基于上述划分的单元对 积分方程进行离散，即用节 点值来近似。
沿坐标方向进行的，即分别沿i,j,k线进行。
(5) 有许多重要的理论问题是一维的。
3-11
计算流体力学
对于如图所示的一维控制体，物理量的守恒 可表述为如下关系式：
[通量]e (fluxe)- [通量]w (fluxw) ＝源(source) 这里的通量是指穿过单 元表面的输运率。 如果 表示单位质量 的输运量，则总的通量为 对流通量和扩散通量之和， 其中： 对流通量＝ 扩散通量＝
d 2T dx2 0
T c1x c0 T (x 0) 100 T (x 1) 500
T 400x 100
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计算流体力学
控制方程扩散项的离散 梯度扩散项的离散几乎
总是采用中心差分格式：
提示： (1) 有限体积法中，通量是在面上计算的，而 不是在节点处。 (2) 上述对梯度扩散项的近似在空间上具有二 阶精度，后面将会给出证明。
计算流体力学
第三章 数值方法
3-1
计算流体力学
主要内容
空间离散技术 标量输运方程 动量方程
时间离散技术
3-2
计算流体力学
1 标量输运方程
有限体积法 一维对流扩散方程 扩散项的离散 源项的离散 代数方程的组装 二维和三维问题 对流项离散基础 离散特性
3-3
计算流体力学
对流项高级离散方法 高阶对流方法的实现 曲线网格 边界条件 代数方程的求解 小结