用MATLAB进行控制系统的滞后校正设计

题 目: 用MATLAB 进行控制系统的滞后校正设计 初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是
)
2.01)(1.01()(s s s K
s G ++=
要求系统的静态速度误差系数1100-=S K v ，ο40≥γ。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1） 用MATLAB 作出满足初始条件的K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相
位裕量。

（2） 系统前向通路中插入一相位滞后校正，确定校正网络的传递函数，并用MATLAB
进行验证。

（3） 用MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。

（4） 课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB 程序和MATLAB 输
出。

说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：
任务 时间（天）
审题、查阅相关资料
1 分析、计算 1.5 编写程序 1 撰写报告 1 论文答辩
0.5
指导教师签名： 年 月 日
系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
用MATLAB 进行控制系统的滞后校正设计
1滞后校正特性及校正方法
1.1滞后校正特性
滞后校正就是在前向通道中串联传递函数为)(s G c 的校正装置来校正控制系统，)(s G c 的表达式如下所示。

1,11)(<++=
a Ts
aTs
s G c 其中，参数a 、T 可调。

滞后校正的高频段是负增益，因此，滞后校正对系统中高频噪声有削弱作用，增强了抗干扰能力。

可以利用滞后校正的这一低通滤波所造成的高频衰减特性，降低系统的截止频率，提高系统的相位裕度，以改善系统的暂态性能。

滞后校正的基本原理是利用滞后网络的高频幅值衰减特性使系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相位裕度。

或者，是利用滞后网络的低通滤波特性，使低频信号有较高的增益，从而提高了系统的稳态精度。

可以说，滞后校正在保持暂态性能不变的基础上，提高开环增益。

也可以等价地说滞后校正可以补偿因开环增益提高而发生的暂态性能的变化。

1.2滞后校正设计的一般步骤与方法
（1）按稳态性能指标要求的开环放大系数绘制未校正系统的伯德图。

如果未校正系统需要补偿的相角较大，或者在截止频率附近相角变化大，具有这样特性的系统一般可以考虑用滞后校正。

（2）在未校正系统的伯德图上找出相角为）（εγ--︒180-的频率作为校正后系统的截止
频率'c w ，其中γ为要求的相位裕度，ε为补偿滞后校正在'
c w 产生的相位滞后，一般取
︒︒10~5。

ε的选取：ε是为了补偿滞后校正的相位滞后的，一般限制滞后校正的滞后相角小于
︒10，所以可以取小于︒10的值。

ε应取一个尽量小，但又能补偿滞后校正在'c w 处的滞后相角的值。

一般，若'c w 较大，ε可取小一些。

反之，若'c w 小，则ε取大一些。

（3）在未校正系统的伯德图上量取量取）（'0c w L （或由|)(|lg 20'
0c jw G 求取）的分贝值，并令a
jw G c 1
lg
20|)(|lg 20'0=，由此确定参数a(a<1)。

这一步的意思是，在'
c w w =处，设计滞后校正的幅值与原系统的幅值反向相等才能相
互抵消，使校正后系统的截止频率为'
c w 。

（4）取'
)101~51(1c
w aT =，并由a 求参数T 。

选aT
1的原则是使)(c c w ϕ不超过（2）中所选的ε值，即
εϕ≤-=T T 'c 'c 'c c arctanaw arctanw |)(w |。

校正时只需要近似值，aT
1
可近似由下式选取。

（5）绘制校正后系统的伯德图，校验各项性能指标，若不满足，可重新选择'
c w 或
aT
1的值。

2校正前系统的分析
2.1校正前参数确定
2.1.1确定校正前单位反馈系统的开环增益K
单位反馈系统的开环传递函数是：
)
2.01)(1.01()(s s s K
s G ++=
要求系统的静态速度误差系数1100-=S K v ，利用误差系数法确定系统的开环增益K ，计算如下。

()()()
1001s 2.010.1s K
lim
lim 1000s 0
s 1
==++===→→-K s H s sG S K V ）
（ 因而校正前系统的开环传递函数为()()()
s s s S G 2.011.01100
++=。

2.1.2确定校正前单位反馈系统的幅值裕度和相位裕度
先求校正前系统的幅值裕度。

εεtan )90cot(1'
'c c w w aT
=-︒=
w tg w tg w 2.01.09011----︒-=）（ϕ
1
04.0101.0100
)(2
2++=w w w w A 令︒-=180）（w ϕ可以确定幅值裕度对应的相位截止频率g w 。

利用三角函数可以求出相位截止频率g w 。

︒=-=+---9002.013.02.01.02
1
11w w
tg w tg w tg 002.012
=-g w
因而解得g w =7.07rad/s 。

67.61
04.0101.0100
)(22=++=
g
g
g g w w w w A
利用)(g w A 可以方便地求出幅值裕度g K 或者h 。

15.067
.61
)(1===
g g w A K dB K h g 5.16lg 20-==
求校正前系统的相位裕度。

先求增益穿越频率c w 。

在增益穿越频率c w 处，系统的开环频率特性的幅值为1。

1101.02.0100
104.0101.0100)(2
222=+≈++=c c c c c c w w w w w w A
由上式求得s rad w c /7.16≈。

利用增益穿越频率c w 可以计算）（c w ϕ。

︒-=--︒-=--4.2222.01.09011c c c w tg w tg w ）（ϕ 由）（c w ϕ的值可以确定相角裕度γ。

︒-=︒-︒=+︒=4.424.222180180）（c w ϕγ
2.2用MATLAB 作出系统校正前的伯德图，并计算系统校正前的幅值裕度和相位裕度。

绘制校正前系统的伯德图的MATLAB 程序，并由MATLAB 计算系统校正前的幅值裕度和相位裕度，程序如下。

num=100
den=[0.02,0.3,1,0] g1=tf(num,den)
[mag,phase,w]=bode(g1)；%绘制g1的幅频特性和相频特性曲线 margin(g1)
MATLAB得出的结果如下。

num=
100
den=
0.0200 0.3000 1.0000 0
Transfer function:
100
----------------------
0.02 s^3 + 0.3 s^2 + s
由MATLAB绘制出的系统校正前的伯德图如图1所示。

图1校正前系统的伯德图
γ都小于零，系统不稳定，需要由图可以看出幅值域度h=-16.5dB和相角裕度︒
-
40
=4.
串联一个滞后校正环节进行校正，使系统趋于稳定。

3.设计串联滞后校正
3.1确定滞后校正网络的传递函数.
在系统前向通路中插入一相位滞后校正，确定校正网络的传递函数的步骤如下。

（1）K=100时，系统满足稳态性能要求。

由K=100时未校正系统的伯德图可见，
︒=4.40-0γ，系统是不稳定的。

（2）作︒=+︒-138-180）（γ线，与未校正系统相频特性曲线交点的横坐标是'w ,由
︒=--︒-=--138-'2.0'1.090'11w tg w tg w ）（ϕ计算可得'w =3.02rad/s 。

校正后系统截止频率较小，因此可以取︒=10ε。

︒=︒+︒+︒=++︒128-1042180-180-εγ
所以，作︒128-线，与原系统相频特性曲线交点的横坐标即为'c w 。

'c w 也可以经过计算确定。

︒-=--︒-=--1282.01.090'
1'1'c c c
w tg w tg w ）（ϕ ︒=+--382.01.0'1'1c c w tg w tg
解得'
c w =2.32rad/s 。

（3）在'c w w =处，设计滞后校正的幅值与原系统的幅值反向相等，幅值相互抵消，使校正后系统的截止频率为'c w 。

a jw G c 1
lg
20|)(|lg 20'
0= a
w w w w A jw G c c c c c 1
lg
201
04.0101.0100
lg
20)(lg 20|)(|lg 202
'2
'''
'0=++== 将'
c w =2.32rad/s 带入可求得参数a=0.026。

（4）利用a 的值求参数T 。

409.010tan *32.2tan )90cot(1'
'=︒==-︒=εεc c w w aT 将参数a=0.026带入上式可以求出T=94。

（5）确定滞后校正的传递函数)(s G c 。

s
s
s s a Ts aTs s G c 941444.2194194*026.01)1(11)(++=++=<++=
3.2用MATLAB 对加入校正网络后的系统开环传递函数进行验证
由理论计算所得的滞后校正传递函数)(s G c 可以确定校正后的系统开环传递函数G （s ）。

()()s
s s s s s s s s s s G s G s G c ++++=++++=
=23403.9422.2888.1100
4.2442.011.01)941()444.21(100)(*)()(
应用MATLAB对加入滞后校正网络后的传递函数进行验证，程序如下。

num=[244.4,100]
den=[1.88,28.22,94.3,1,0]
g2=tf(num,den)
[mag,phase,w]=bode(g2); %绘制g2的幅频特性和相频特性曲线
margin(g2)
MATLAB得出的结果如下。

num =
244.4000 100.0000
den =
1.8800 28.2200 94.3000 1.0000 0
Transfer function:
244.4 s + 100
----------------------------------------------------- 1.88 s^4 + 28.22 s^3 + 94.3 s^2 + s
由MATLAB绘制出的系统校正后的伯德图如图2所示。

图2加入滞后校正后系统的伯德图
由上面得出的伯德图可以看出，在串联了一个滞后校正环节后，相位裕度γ>0,幅值裕度h>0,系统是稳定的，并且︒=2.42γ满足ο40≥γ，幅值裕度为h=14.1dB 。

4 画出未校正和已校正系统的根轨迹
4.1 用MATLAB 画出校正前系统的根轨迹
系统校正前的开环传递函数如下。

()()()s s s K
s s s K S G ++=++=2303.002.02.011.01
用MATLAB 作出校正前系统的根轨迹，程序如下。

num=[1];
den=[0.02,0.3,1,0];
rlocus(num,den) %作出根轨迹图 title ('校正前系统的根轨迹图')
系统校正前的根轨迹如图3所示。

图3校正前系统的根轨迹图
由系统根轨迹与虚轴的交点可以确定系统临界稳定时K 的值为15，系统稳定时K 的范围为0<K<15,校正前系统K 值为100，因而系统不稳定。

4.2 用MATLAB 画出加入滞后校正网络后系统的根轨迹
系统加入滞后校正后的开环传递函数如下。

()()s
s s s s K s s s s s K s G ++++=++++=
2343.9422.2888.1)
444.21(2.011.01)941()444.21()(
用MATLAB 作出加入滞后校正后系统的根轨迹，程序如下。

num=[2.444,1];
den=[1.88,28.22,94.3,1,0];
rlocus(num,den) %作出根轨迹图 title('校正后系统的根轨迹图') 系统校正后的根轨迹如图4所示。

图4校正后系统的根轨迹图
系统校正后根轨迹图在原点附近的放大图如图5所示。

图5校正后系统的根轨迹图在原点附近的放大图
由校正后根轨迹图可知，系统串联了滞后校正网络后，系统在原点附近增加了一个开
环零点和一个开环极点，使得系统临界稳定时K的值为515，系统稳定时K的取值范围为0<K<515，由于系统开环增益K=100，故校正后系统稳定。

4.3 校正前后系统的根轨迹对比
用MATLAB作出校正前后系统的根轨迹对比图，程序如下。

num0=[1];
den0=[0.02,0.3,1,0];
num1=[2.444,1];
den1=[1.88,28.22,94.3,1,0];
subplot(2,1,1);rlocus(num0,den0);title('校正前根轨迹图')
subplot(2,1,2);rlocus(num1,den1);title('校正后根轨迹图')
系统校正前后的根轨迹对比图如图6所示。

图6校正前后系统的根轨迹对比图
由校正前后系统的根轨迹对比图可以看出，在加入了滞后校正网络以后，滞后校正在保持暂态性能不变的基础上，提高了系统稳定时的开环增益，使原来不稳定的系统变的稳定了。

5．滞后校正装置
5.1 无源滞后校正网络
无源滞后校正网络装置如图7所示。

图7无源滞后校正装置
其传递函数为)(s G c ，)(s G c 如下所示。

Cs
R
R Cs
R sC
R R sC
R s E s M s G c )(1111)()()(2122
12+++=
+++
==
12
12
<+=
R R R a
C R R T )(21+=
)1(11)(<++=
a Ts
aTs
s G c 可见该滞后RC 校正（无源）网络满足滞后校正网络的参数要求。

为了满足传递函数的推导条件，一般在滞后校正网络后串联一个运算放大器，起隔离作用。

由a 、T 值可以选定C R R 、、21的值，选择参数时要注意大小适中，而且彼此相差不要太大。

5.2 有源滞后校正网络
（1）滞后校正
采用运算放大器的有源滞后校正网络的一种实现如图8所示。

图8滞后校正有源网络
其传递函数为)(s G c ，)(s G c 如下所示。

1
1)1(11)(
33
232132313232133
2++++-=+++-=+
+-
=Cs R Cs R R R R R R R Cs R R Cs R R R R R sC R sC R R s G c 3
22
32323132,,,R R R a R R C R R aT C R T R R R K c +=+==+=
)1(11-)(<++=a Ts
aTs
K s G c
c （2）PI 控制器
采用运算放大器的有源滞后校正网络的另一种实现为PI 控制器有源网络，如图9所示。

图9滞后校正有源网络
其传递函数为)(s G c ，)(s G c 如下所示。

)11(1
)(21212Cs
R R R R sC R s G c +-=+
-
=
C R T R R K c 21
2
,==
Ts
Ts K Ts K s G c
c c 1
)11()(+-=+
-=
6．设计心得体会
通过这次对控制系统的滞后校正的设计与分析，让我对串联滞后校正环节有了更清晰的认识，加深了对课本知识的进一步理解，也让我更进一步熟悉了相关的MATLAB 软件的基本编程方法和使用方法。

在这次课程设计的过程中，从整体思路的构建到具体每一步的实现，过程并不是一帆风顺的，通过复习课本知识以及查阅有关资料确定了整体思路，通过自己在稿纸上演算确定校正网络参数，然后运用MATLAB 软件编程验证，作图。

在word 编辑以及MATLAB 软件遇到了一系列问题，通过上网查询或者请教同学都得到了解决，因而设计的过程中也提高了我的软件使用能力。

本次课程设计的核心之一是MATLAB 软件的使用，通过软件编程，我对MATLAB 的语言和应用有了更进一步的了解，特别熟悉了一些对自控很使用的命令，如根轨迹绘制函数rlocus()，伯德图绘制函数bode()等等。

利用MATLAB 对控制系统进行频域分析，大大简化了计算和绘图步骤，是一款很实用的软件，今后利用课余时间也可以拓展一下自己在MATLAB 软件编程的能力。

通过本次课程设计，我体会到了学习自动控制原理，不仅要掌握书本上的内容，还要灵活思考，善于变换，在提出问题、分析问题、解决问题的过程中提高自己分析和解决实际问题的能力。

要把理论知识与实践相结合起来，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。

还让我懂得了自主学习和独立思考的重要性，还有做事要有恒心，有信心，愿意动脑子去想，就一定有所收获。

参考文献
[1] 王万良. 自动控制原理.北京：高等教育出版社，2008.6.
[2] 胡寿松. 自动控制原理(第五版). 北京：科学出版社，2007.
[3] 李道根. 自动控制原理. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007.
[4] 吴晓燕，张双选. MATLAB在自动控制中的应用. 西安：西安电子科技大学出版社，2006.
[5] 黄坚. 自动控制原理及其应用. 北京：高等教育出版社，2004.。