弯矩剪力支反力计算例题

第三章静定梁与静定刚架

目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。

重点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。

难点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧

§3-1 单跨静定梁

1．反力

常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由三个平衡条件求出。

图3-１

2．内力

截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。

（1）内力正负号规定

轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时

针转动趋势者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受

拉者为正，如图3-2(b)所示。

（2）梁的内力与截面一侧外力的关系图3-2

1) 轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。

2) 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。

3) 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。

3．利用微分关系作内力图

表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法。

（1）荷载与内力之间的微分关系

在荷载连续分布的直杆段内，取微段dx为隔离体，如图3-3所示。若荷载以向下为正，x 轴以向右为正，则可由微段的平衡条件得出微分关系式

（3-1）

（2）内力图形的形状与荷载之间的关系

由上述微分关系的几何意义可得出以下对应关系：图3-3

1) 在均布荷载作用的梁段，q(x) = q(常数)，FS图为斜直线，M图为二次抛物线，其凸向与q的指向相同。在FS = 0处，弯矩图将产生极值。

2) 无荷载的梁段，q(x) = 0，FS = 常数，FS图为矩形，当FS= 0时，FS图与基线重合。

弯矩图为斜直线。

3) 在集中力F作用处，FS图有突变，突变值等于F；弯矩图在该处出现尖角，且尖角的方向与F的指向相同。在FS图变号处，M图中出现极值。

4) 在集中力偶Me作用处，FS图无变化；M图有突变，突变值等于力偶Me的大小。

4. 用叠加法作弯矩图

当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。此时可不必求出支座反力。如要作图3-4所示简支梁的弯矩图，可先绘出梁两端力偶MA、MB和集中力F分别作用时的弯矩图，再将两图的竖标叠加，即可求得所求的弯矩图，如图3-4所示。实际作图时，先将两端弯矩MA、MB绘出并联以直线，如图中虚线所示，再以此虚线为基线绘出简支梁在荷载F 作用下的弯矩图。值得注意的是竖标Fab/l仍应沿竖向量取(而不是从垂直于虚线的方向量取)。最后所得的图线与水平基线之间的图形即为叠加后所得的弯矩图。

图3-4

上述叠加法对直杆的任何区段都是适用的。只需将直杆段的两端弯矩求出并连以直线（虚线），然后在此直线上再叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法称为区段叠加法或简支梁叠加法，也简称叠加法。

5．绘制内力图的一般步骤

(1) 求支座反力。

(2) 求控制截面的内力（分段、定点）。所谓控制截面是指集中力和集中力偶作用的两侧截面、均布荷载的起点及终点等外力不连续点所在的截面。用截面法求出控制截面的内力值后在内力图的基线上用竖标标出。

(3)连线。利用微分关系，将各控制截面之间内力图的形状绘出。

例3-1 试作图3-5(a)所示梁的内力图。

解：1.求支座反力

ΣMB=0, FA=16 kN(↑)；ΣMA=0, FB=40 kN(↑)

校核：ΣFy=16+40-8-8×4-16=0

2.绘FS图

(1) 求控制截面的FS值。

FSAR = FSCL= 16kN；FSCR= FSD = 8 kN；FSGL= FSBR= 16 kN；FSBL= FSE = -24 kN

(2) 求出上述各控制截面的剪力后，按微分关系联线即可绘出FS图，如图3-5(b)所示。

3.绘M图

(1) 求控制截面的M值

MA = 0；MC = 16×1 = 16 kN·m；

MD = 16×2-8×1=24 kN·m；MG = 0，

MB = -16×1 = -16 kN·m

MFR = -16×2+40×1 = 8 kN·m

MFL = -16×2+40×1-40 = -32 kN·m

ME = -16×3+40×2-40 = -8 kN·m图3-5

(2) 根据微分关系，可绘出M图如图3-4(c) 所示。在均布荷载作用区段DE，剪力图有变号处，

在FS=0处对应截面M值应有极值，必须求出。欲求M的最大值，可由图3-5(b)中求出截

面所在位置x值，由得，x = 1 m。

取AI段为隔离体，由ΣMI=0，可得：MI= 16×3-8×2-8×1×1/2 = 28 kN·m。

§3-2 多跨静定梁

1. 多跨静定梁的组成

多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并通过若干支座与基础相联而组成的静定结构。图3-7(a)为用于公路桥的多跨静定梁，其计算简图如图3-7(b)所示。

从几何组成看，多跨静定梁各部分可分为基本部分和附属部分。如上述多跨静定梁中的AB 和CD部分均直接用三根链杆与基础相联，它们不依赖于其他部分的存在而能独立维持几何不变性，称为基本部分。而BC梁必须依赖AB、CD部分才能维持几何不变。必须依赖其他部分才能维持几何不变的部分，称为附属部分。为了清晰地表示各部分之间的支承关系，可将基本部分画在下层，而将附属部分画在上层，这样得到的图形称为层叠图，如图3-7(c)所示。

图3-7

2. 多跨静定梁的传力关系

从受力分析看，当荷载作用在基本部分上时，该部分能将荷载直接传向地基，而当荷载作用在附属部分上时，则必须通过基本部分才能传向地基。故当荷载作用在基本部分上时，只有该部分受力，附属部分不受力。而当荷载作用在附属部分上时，除该部分受力外，基本部分也受力。

3. 多跨静定梁的计算步骤

由上述传力关系可知，计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部分，后基本部分。即由最上层的附属部分开始，利用平衡条件求出约束反力后，将其反向作用在基本部分上，如图3-7(d)所示。这样便把多跨静定梁拆成了若干根单跨梁，按单跨梁作内力图的方法，即可得到多跨