传热学-第四章-热传导问题的数值解法

稳定性条件说明，一旦空间步长x或时间步长的数值确定之后，另一 个步长的数值的就不能任意选择，必须满足稳定性条件。
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隐式差分格式：
如果节点温度取下一时层 (i+1)的温度 值，内部节点n所代表的控制容积的热平 衡方程式可写成:
——内部节点温度方程的隐式差分格式
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一. 泰勒级数展开法
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a，b相加得：
略去无穷小量有：
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同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
（ 1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此 单值性条件中增加了初始条件； （ 2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间 域进行离散； （ 3 ）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考 虑控制容积的热力学能随时间的变化； （ 4 ）由于时间和空间同时离散，在有些情况下 空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点 温度方程求解的稳定性问题。
(2)第三类边界条件：
(3) 辐射边界条件：
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2.节点方程组的求解 思路：写出所有内节点和边界节点的离散方程； 使得——未知节点个数=代数方程式个数
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接求解：矩阵求逆，高斯消元法等经过有限次运算获得代数方程的精确解。 迭代法：给出初场，在迭代中不断改进，直至满足收敛条件为止。
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(2) 内部角点
qw
(m,n+1) (m,n) (m-1,n) (m+1,n)
y x
(m,n-1)
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(3) 外部角点
(m-1,n) (m,n)
qw
(m,n-1)
y x
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热流边界qw分为三种情况讨论：
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二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。
均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可 直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
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隐式格式与显式格式的区别：
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(2) 边界节点温度差分方程
边界节点 0 所代表的控制容积在 k 时 刻的热平衡： 时间项一阶导采用向前差分，扩散项采用 前一时层（ i ）温度（显示格式），热平衡 方程式可写成：
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研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
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2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域 节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。
导热微分方程+边界条件+初始条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
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上式写成显函数的形式
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同内部节点温度方程的显式差分格式的道理相同，需将上一时 层的信息传递到下一时层去，因此必须满足：
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第四章小结
重点掌握以下内容： (1) 理解数值解法的基本思想，熟悉数值解法 的基本步骤； （2）掌握有限差分法的原理;
两点结论：
(a) 任意一个内部节点 n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即 物理意义:
n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
(m,n)
相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1 m=1
x
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x
m
m=M
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3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
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§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
内部节点温度差分方程
内部节点n所代表的控制容积在i时刻的热平衡： 时间项一阶导数采用向前差分，扩散项采用当前（i）时 层上的值来表示，热平衡方程式可写成
左侧导入热量
右侧导入热量
计算第i+1时层温度值时，用第i时层的已知值 ——内部节点温度方程的显式差分格式
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表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
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例题：
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§ 4-4 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热数值解法的特点：
作业：
第四版：3-2，3-31，3-48
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第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）： 导热问题数值求解的基本思想 内外节点离散方程的建立 非稳态导热问题的数值解法
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§4-0 引言
w
e
(m,n)
s
(m+1,n)
不封闭 y
n=1
m=1
(m,n-1)
m
m=M
x
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1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m,n) (m-1,n) (m,n-1)
qw
y
x
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤：
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点（建立网格系统） 针对所有节点建立某物理量 的代数方程 改进初场
求解代数方程 否
是否收敛 是
解的分析
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(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、 空间上的局限性 c.费用昂贵 (3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值 的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从 而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
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1. 一维非稳态导热的数值求解：
第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。 1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立 运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
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§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
n
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
(m-1,n)
研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点： (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 局限性： 简单几何形状及边界条件
（ 3 ） 能够根据导热问题的特点，合理地进行求 解域的离散；
（4）重点掌握热平衡法建立节点温度差分方程； （ 5 ） 会利用计算机求解节点温度差分方程组， 并掌握求解结果表达方法。
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作业：
第四版： 4-3，4-10，4-15
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n=N
(m,n+1)
n w e
(m-1,n)
s
(m,n) (m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
m=M
x
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4.设立迭代初场
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
线性问题 非线性问题
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值
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例如：第 k 次迭代完全结束后的节点温度：
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
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判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
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直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问 题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是 常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断 更新） 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不 断予以改进、直到每两次之间的迭代结果相差小于允许值。 称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等