第五章 5.1平面向量概念-学生版

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(4)若向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( )

无

第1课时

进门测

作业检查

阶段训练

第2课时

题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④

D ．②④

题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算

例2 (1)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD →

D.AD →＋CD →＝BD → (2)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →

＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13

AC →

D.AD →＝43AB →－13

AC →

命题点2 根据向量线性运算求参数

例3 (1)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23

BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，

λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →

，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →

，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，1

3 C.⎝⎛⎭

⎫－1

2，0 D.⎝⎛⎭

⎫－1

3，0 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角

线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →

，则λ的值为( )

A.2

9 B.27 C.25

D.23

题型三 共线定理的应用

例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →

＝－3a ＋3b ，则( )

A ．A ，

B ，

C 三点共线 B ．A ，B ，

D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线

D ．B ，C ，D 三点共线 (2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →

，则△ABC 与△AOC 的面积之比为

________．

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

第3课时

阶段重难点梳理

2.向量的线性运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →

，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．

3.OA →＝λOB →＋μOC →

(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.

典例 下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .

②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．

④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →

＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b .

重点题型训练

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③

D ．①②

2．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →

等于( ) A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12BA →

C.BC →－12

BA →

D.BC →＋12

BA →

3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →

＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →

，则λ＝________.

作业布置