意大利代数几何学派

意大利代数几何学派（Italian school of algebraic geometry）

意大利19世纪下半叶兴起的数学学派。意大利有着悠久的数学传统，中世纪有斐波那契，文艺复兴时期有帕乔利、卡尔达诺、塔尔塔利亚、邦贝利等数学名家，17世纪有卡瓦列里，还诞生了拉格朗日这样的大数学家。19世纪意大利统一后数学研究集中在几个方向，其中代数几何学派的成果最为突出。

代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线以及三维欧氏空间中的代数曲线及曲面，后来推广到高维欧氏空间中的代数方程组所定义

的代数簇．从几何上来看，它是解析几何学的延长，在解析几何学中对

于二次代数曲线和曲面已有相当完整的结果，从牛顿起着手对三次代数

曲线进行分类．

18世纪，代数几何学的基本问题是曲线和曲面的交截问题，这在代数学上是消去法问题．随着18世纪末射影几何学的兴起，开始了射影几

何方法的研究．这时引进无穷远点及虚点，考虑问题也从实数扩张到复

数．

黎曼的函数论方法对代数几何学以极大促进，他把代数曲线作为黎曼面上的函数论来研究，黎曼更引进第一个双有理变换不变量——亏格，开辟了代数几何学新的一章，他和他的学生洛赫(G．Roch，1839—1866)得出黎曼—洛赫定理是代数曲线的基本定理，也是各种推广的出发点．黎曼去世之后，他的成就为各种流派所继承．

他的学生M．诺特(M．Noether，1844—1921)则是代数几何方向的首创者．他在1871年首次证明平面代数曲线的奇点解消定理，1874年和

布瑞尔(A．Von Brill，1842—1935)合作，引进线性系的概念，给黎曼—洛赫定理一个代数的证明．1882年M．诺特和哈尔芬(G．Halphen，1844—1889)把他们的工作推广到空间代数曲线上．同年，诺特给出三维射影空间内代数曲线分类的表，戴德金和韦伯开辟了以理想为基础的代数方向，而克罗内克则是以除子为基础．

到19世纪中叶，代数曲面只有零散的特殊结果．从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M．诺特的几何思想，开始对代数几

何学、尤其是代数曲面进行研究．其主要代表人物是卡斯泰努沃

(G．Castelnuo-vo，1865—1952)、恩瑞克斯(F．Enriques，1871—1946)

和稍晚的塞梵利(F．Severi，1879—1961)，他们主要的结果是代数曲面的分类．头一个结果是贝尔蒂尼(E．Bertini，1846—1933)在1877年给出的

平面对合变换的分类，1893年，卡斯泰努沃解决了吕略特(J.Lüroth，1844—1910)问题，1896年他提出并解决用数值不变量刻划有理曲面的问题，曲线只有唯一数值双有理不变量——亏格，亏格为0是曲线是有理曲线的

充分且必要条件，对于曲面则有多种不变量：除了P

g ，P

a

，P(1)之外还有

恩瑞克斯引进的多亏格P

k

(k≥2)与曲线的情形不同，P g＝P a＝0还不足以

保证代数曲面是有理曲面，要保证这点的充分必要条件是Pg＝P

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=0．恩瑞克斯给出曲面是直纹曲面(直线与一个亏格为g的曲线的乘积)的充分必

要条件是P

4＝P

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＝0．另外还发现一些特殊的曲面，最主要的是恩瑞克斯

六阶曲面和K．曲面．K

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曲面的一个特殊情形是库默尔于19世纪60年代引进的具有16个二重点的四阶库默尔曲面．这一切都导致恩瑞克斯在20世

纪初一系列论文中对于曲面的分类．1914年，由P

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的不同分成四大类．意大利学派这方面的成果总结在1949年出版的恩瑞克斯《代数曲面》(Le

superficie algeb- iche)一书中．

意大利代数几何学派的奠基人是克雷莫纳，他毕业于帕维亚大学，执教于欧洲最早建立的大学波伦亚大学。他发展了任意维射影空间的射影平面与有理平面的双有理变换理论，被称为克雷莫纳变换，并因一篇阐述三次曲面的论文获1866年柏林科学院的施泰纳奖。著作有《平面曲线几何理论导引》（1862）、《平面图形的几何变换》（1863）和《射影几何原理》（1873）等。他同时是一位优秀的教师，写了几本有影响的几何教科书，培养了一批有成就的学生。

其中贝尔蒂尼（E. Bertini,1846—1933）将克雷莫纳变换用于曲线和曲面的简化奇点，给出射影平面所有对合变换的分类，成为该学派关于代数曲面分类理论研究的首批成果。韦罗内塞（G.Veronese,1854—1917）最先研究曲线或曲面映射到多维射影空间时的克雷莫纳变换。

19世纪90年代后，该学派的第二代代表人物是毕业于都灵大学的塞格雷等人。塞格雷与贝尔蒂尼于1894年分别发表从不同角度扩展应用曲线族的线性系的思想，成为新一代学派研究的起点。卡斯泰尔诺沃(G. Castelnuovo, 1865—1952)和恩里克斯

(F.Enrigues,1871—1946)共同合作，以线性系为中心概念进行研究，利用克雷莫纳变换奠定了代数曲面中的曲线的线性系理论，在建立代数曲面的内蕴理论方面迈出第一步。

该学派培养的著名学者有扎里斯基等，扎里斯基于20世纪30年代在美国哈佛大学建立了以他为中心的代数几何研究集体，又培养了广中平枯、芒福德等数学家，使该学派的传统绵延几十年。