八年级数学函数与变量
八年级数学上人教版《变量与函数》课堂笔记
《变量与函数》课堂笔记
一、知识点梳理
1.
变量与函数的概念
变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量。
函数：对于两个变量x和y，如果x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x是自变量。
函数的表示方法：列表法、解析式法和图象法。
2.
函数的性质
函数的三种性质：单调性、奇偶性和周期性。
单调性：当x增大时，函数值随之增大（减小）的性质。
奇偶性：函数图象关于原点对称（关于y轴对称）的性质。
周期性：函数值呈现周期性变化的性质。
二、重点难点解析
1.
重点
掌握函数的概念和表示方法，理解函数的三种性质及其应用。
通过具体实例，了解常量、变量的意义，掌握函数的定义及函数的表示方法。
2.
难点
如何确定函数的自变量和因变量，如何用函数解决实际问题。
在实际问题中，如何抽象出函数关系式，如何利用函数解决实际问题。
三、典型例题解析
例1：已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值是多少？
解：将x=3代入y=2x+1中，得y=2×3+1=7。
答：当x=3时，y的值为7。
例2：已知函数y=ax+b，当x=1时，y=2；当x=2时，y=5。
求a、b的值。
解：将x=1，y=2和x=2，y=5分别代入y=ax+b中，得方程组\{\begin{matrix} a+b=2, \\ 2a+b=5, \\end{matrix}解得\{\begin{matrix} a=3, \\ b=-1. \\end{matrix}
答：a的值为3，b的值为-1。
八年级上册数学函数知识点
八年级上册数学函数知识点八年级上册数学函数知识点一、变量与函数[变量和常量]在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
[函数]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。
如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。
[自变量取值范围的确定方法]1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
[函数的图像]一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.[描点法画函数图形的一般步骤]第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
[函数的表示方法]列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
[正比例函数]一般地，•形如y=•kx•(k•是常数，•k•≠0•)的函数，•叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数.[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.•当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y反而减小.(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)(2) 必过点：(0，0)、(1，k)(3) 走向：k0时，图像经过一、三象限;k0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k0，y随x的增大而增大;k0，y随x增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k•≠0)2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程3. 解方程，求出系数k4. 将k的值代回解析式二、一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b0时，向上平移;当b0时，向下平移)(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)(2)必过点：(0，b)和(- ，0)(3)走向： k0，图象经过第一、三象限;k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限;b0，图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限(4)增减性： k0，y随x的增大而增大;k0，y随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.(6)图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位;当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系](1)两直线平行：k1=k2且b1 b2(2)两直线相交：k1 k2(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2[确定一次函数解析式的方法](1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：(1)从函数图象的形状判定函数的类型;(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.三、用函数观点看方程(组)与不等式[一元一次方程与一次函数的关系]任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.[一次函数与一元一次不等式的关系]任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.[一次函数与二元一次方程组](1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同.(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点.三个重要的数学思想1.方程的思想。
八年级上册数学培优函数(一)-变量与函数
第十讲 函数【知识梳理】 1、函数的有关定义（1）函数的定义、在一个变化过程中，数值发生变化的量叫 ,数值始终保持不变的量叫做 ，如果有两个变量x 与y ，并且对于每一个x 确定的值，y 都有 值与其对应，则x 是自变量，y 是x 的函数。
如果当x=a 时，y=b ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。
2、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零；（2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数；另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
【自我检测】【知识点1】变量与常量1、2x-3y=4中，变量是____________，常量是__________，把它写成用x 的式子表y 的形式是____________。
球的体积公式可以表示为V= 343r π，其中常量是_________，变量是__________。
2、每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，那么圆珠笔的销售总价y (元)与圆珠笔的支数x （支）之间的函数关系式为____________3、若等腰三角的顶角是x 度，底角是y 度，则y 与x 的关系式是___________，其中常量是_________,变量是____________。
4、有一个边长为15的正方形铁皮，在四个角上分别截取边长为x （x ＜7.5）的小正方形后，就可以做成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 与x 之间的关系是V=________________5、已知变量x,y,m 满足下列关系:y=2m+1,x=122m -+，则y 与x 之间的关系式是y=________ 【知识点2】函数的概念1、下列问题中，具有函数关系的是（ ）A ．x+2与x B. y 与x+3 C. 22y x =(x ≥0)中的y 与x D 224x y +=中的y 与x2、下列二个变量之间存在函数关系的是（ ）○1圆的面积和半径之间的关系。
八年级数学下册第19章一次函数19.1变量与函数19.1.1变量与函数课件(新版)新人教版
例2 下列变量间的关系是函数关系的是
.
①长方形的长与面积;②圆的面积与半径;
③y=± x ;④S= 1 ah中的S与h.
2
解析 ①因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方
形的长与面积不是函数关系.②因为圆的面积公式为S=πr2,当半径r取一
个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.③当
解析 (1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定 的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变 量是体积. (2)体积增加了(π×102-π×12)×3=297π cm3.
2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y=
x
2
2(
x
2),
则当函数值y=8时,自
答案 B 把h=2代入T=21-6h,得T=21-6×2=9.故选B.
5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为 为10.
,当x=
时,函数值
答案 7;2
解析 当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.
知识点三 自变量的取值范围
6.(2018江苏宿迁中考)函数y= 1 中,自变量x的取值范围是( )
知识点一 常量与变量 1.(2017河北唐山乐亭期中)一辆汽车以50 km/h的速度行驶,行驶的路程 s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t,其中变量是 ( ) A.速度与路程 B.速度与时间 C.路程与时间 D.三者均为变量
答案 C 在s=50t中路程随时间的变化而变化,所以行驶时间是自变 量,行驶路程是因变量,速度为50 km/h,是常量.故选C.
人教八年级数学下册-变量与函数(附习题)
C.p和t是变量
D.数100和t都是常量
2.分别指出下列式子中的变量和常量：
(1)圆的变周量长l=2π常r(其量中l为周长，r为半径)；
(2)式变子量m=(n-常2)量×18变0°量(m为多边形的内角
和，n为边数)；
变量
常量
变量 常量 (3)若矩形的宽为x，面积为36，则这个矩形的
长为y= 36 . 变量
2.能列出函数解析式表示两个变量之间 的关系.
3.能根据函数解析式求函数自变量的取 值范围.
4.能根据问题的实际意义求函数自变量 的取值范围.
推进新课
知识点 1 函数的概念及函数值
思考下面两个问题， 你学到了什么？
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
小圆半径 小圆面积 圆环面积
课堂小结
变量
数值发生变化的量
常量
数值始终不变的量
拓展延伸 心理学家发现，学生对概念的接受能力y
与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如 下关系(其中0≤x≤30)：
提出概念所用的时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
13分钟
第2课时 函数
新课导入
上节课我们学习了变量与常量， 这节课我们进一步学习函数及函数自 变量的取值范围问题.
试判断下面所给的两个例子中两 个变量是否也存在一一对应的关系.
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
第13讲 变量与函数(解析版)-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课(人教版)
第13讲 变量与函数【学习目标】1．了解常量、变量的意义． 2．了解函数的概念． 3．会求自变量的取值范围．【基础知识】1．常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 注意：（1）变量和常量是相对而言的，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”； （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如π不是变量，而是常量；（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如2S r π=中，不能说2r 是变量，只能说r 是变量．2．函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量；（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性，即对自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应． 3．函数的解析式用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法之一．这种式子叫做函数的解析式．4．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特点举例自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 256y x x =+-一切实数 分式型等式右边是关于自变量的分式 12y x =+ 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子5y x =-使根号下的式子大于或等于0的实数 零次幂等式右边是关于自变量的零次幂()01y x =-使底数不为0的实数须使实际问题有意义． 5．函数值对于自变量x 在取值范围内的某个确定的值a ，函数y 所对应的值为b ，即当x a =，y b =时，b 叫做自变量x 的值为a 时的函数值．注意：（1）函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是一个具体值，是对具体数值而言的；（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明是自变量为多少时的函数值；（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可；（4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，相应自变量的值可以有多个．如：29y x =-中，当3x =-时，0y =；而当0y =时，3x =±； （5）当函数与实际问题相联系时，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义．【考点剖析】 考点一：变量与常量例1．列出下列问题中的关系式，并指出变量与常量．（1）运动员在400米一圈的跑道上训练，该运动员跑一圈所用的时间t （s ）与跑步速度v （m/s ）之间的关系；（2）将一根长60厘米的铁丝折成一个矩形框架，矩形的长y 与宽x 的之间的关系； （3）一支蜡烛长20cm ，每分钟燃烧的长度为0.1cm ，燃烧t 分钟后剩下的长度为l cm ，剩余长度l 与燃烧时间t 之间的关系；（4）粮店以2.4元/千克的价格出售一种大米．在售米的过程中，出售大米的质量记为m （千克），获得的米款记为W （元），米款W 与出售大米的质量m （千克）之间的关系； （5）分针旋转一周内，旋转的角度n （度）与旋转所需要的时间t （分）之间的关系． 【答案】见解析 【解析】解：（1）时间t 用关于速度v 的代数式表示为400t v=，常量是400，变量是v ，t ； （2）矩形的长y 用关于宽x 的代数式表示为()16022y x =-，常量是12，60，2， 变量是x ，y ；（3）200.1l t =-；20，0.1是常量，剩余长度l ，燃烧时间t 是变量； （4） 2.4W m =，2.4为常量，m 和W 为变量； （5）6n t =，6为常量；t ，n 为变量． 考点二：函数的概念及函数值例2．（1）判断下面各量之间的关系是不是函数关系？①已知圆的半径2r =cm ，圆的面积2S r π=与半径r ； ②长方形的宽一定时，其长与周长； ③小明的年龄与他的身高； ④2y x =； ⑤2y x =； ⑥y x =； ⑦y x =．【答案】见解析 【解析】解：①任意一个r ，则会有一个S 与之对应，故圆的面积S 与半径r 是函数关系； ②设长方形的宽为a ，长为x ，周长为C ，则22C a x =+，故该长方形的长与其周长是函数关系；③设小明的年龄为x ，他的身高为y ，对任意一个年龄值，总有一个身高值与之对应，故小明的年龄与他的身高是函数关系；④任意一个x ，则会有一个y 与之对应，故2y x =是函数关系； ⑤当1x =时，1y =或1-，故y 不是x 的函数；⑥任意一个x ，则会有一个y 与之对应，故y x =是函数关系； ⑦当1x =时，1y =或1-，故y 不是x 的函数．（2）如图，长方形ABCD 是小丽家的部分结构示意图，现准备用一堵隔墙EF （点E 、F 分别在边AD 、BC 上）将长方形ABCD 分成两个小长方形，分别作为客厅和餐厅．已知12AD =米，6CD =米，随着AE 长度的变化，餐厅的面积也在不断变化．①在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？②若AE 的长为x ，餐厅（长方形CDEF ）的面积为y ，求y 与x 的关系式； ③当AE AB =时，求餐厅的面积．【答案】①自变量是AE 的长，因变量是餐厅的面积；②672y x =-+；③36 【解析】解：①由题意可得，在这个变化过程中，自变量是AE 的长，因变量是餐厅的面积； ②由题意得，长方形CDEF 的面积为：()AD AE CD -⨯()612x =- 672x =-+，∴y 与x 的关系式是672y x =-+； ③当AE AB =， 即6x =时，667236y =-⨯+=，即此时餐厅的面积为36平方米．考点三：自变量的取值范围例3．求下列函数中自变量的取值范围．（1）21y x =-； （2）12y x =-； （3）2y x =+（4）35y x x =--；（5）42y x=-（6）123y x x =--； （7）()012x y -=．【答案】见解析 【解析】解：（1）21y x =-中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由12y x =-有意义，得20x -≠，解得2x ≠； （3）由2y x =+有意义，得20x +≥，解得2x ≥-；（4）由题意得：30x -≥且50x -≥，解得：35x ≤≤； （5）由题意得：420x -＞，解得：2x ＜； （6）由题意得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：2x ≥且3x ≠；（7）由题意得：10x -≠，解得：1x ≠．【真题演练】1．球的体积是V ，球的半径为R ，则343V R π=，其中变量和常量分别是（ ） A ．变量是V ，R ；常量是43，π B ．变量是R ，π；常量是43C ．变量是V ，R ，π；常量是43D ．变量是V ，3R ；常量是π【答案】A 【解析】解：球的体积是V ，球的半径为R ，则343V R π=， 其中变量是V ，R ；常量是43，π 故选：A ．2．近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数y （人）与 时间t （年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人5080100150200270350则下列说法不正确的是（ ）A ．表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系B ．y （人）随时间t （年）的推移逐渐增大C ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人）D ．自变量是留守儿童的人数y （人），因变量是时间t （年） 【答案】D 【解析】解：A ．表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，正确，不合题意； B ．y （人）随时间t （年）的推移逐渐增大，正确，不合题意；C ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），正确，不合题意；D ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），原题说法不正确，符合题意； 故选：D ．3．下列式子中，y 不是x 的函数的是（ ） A ．223y x x =+- B ．21y x =- C ．3y x=D ．y x =【答案】D 【解析】解：A 、223y x x =+-，y 是x 的函数，故此选项不符合题意； B 、21y x =-，y 是x 的函数，故此选项不符合题意；C 、3y x=，y 是x 的函数，故此选项不符合题意； D 、y x =，y 不是x 的函数，故此选项符合题意； 故选：D ．4．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 的值为1-和5时，输出的y 的值相等， 则b 等于（ ）A ．4B ．4-C ．2-D ．2【答案】A 【解析】解：当1x =-时，3y b =-+，当5x =时，651y =-=， 由题意得：31b -+=， 解得：4b =， 故选：A ． 5．函数15y x x=+的定义域是 ． 【答案】5x ≥-且0x ≠ 【解析】解：由题意得：50x +≥且0x ≠， 解得：5x ≥-且0x ≠， 故答案为：5x ≥-且0x ≠．6．在一周内，若欧阳同学饭卡原有208元．在校消费时间为周一到周五，平均每天在校消 费35元，则他卡内余额y （单位：元）与在校天数x （05x ≤≤）（单位：天）之间的关 系式为 ． 【答案】20835y x =- 【解析】解：根据题意，得20835y x =-，故答案为：20835y x =-．7．已知一个梯形的面积为60，上底长是高的2倍，设高为x ，下底为y ，则y 关于x 的函 数解析式为 ． 【答案】1202y xx=- 【解析】 解：设高为x ， ∵上底长是高的2倍， ∴上底长为2x ， ∵一个梯形的面积为60， ∴()2602x y x +=，∴1202y x x=-， 故答案为：1202y x x=-． 8．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，18AB =，36BC =，动点M 从点A 开始沿边AB 向 终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点N 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度 的速度向终点C 移动，如果点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，那么MBN 的面积S 随 出发时间t （s ）如何变化？写出S 关于t 的函数关系式及t 的取值范围．【答案】2436S t t=-+，09t ＜＜【解析】解：由题意出发时间为t （s ）， 则182BM t =-，4BN t =，∴MBN 的面积S 随出发时间t （s ）的解析式为：()2118244362S t t t t =-⋅=-+，09t ＜＜．9．泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距 为3米．（1）根据如图，将表格补充完整． 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度（米）0.23.49.8…（2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（3）设有x 根立柱，护栏总长度为y 米，则y 与x 之间的关系式是什么？ （4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？【答案】（1）6.6，13；（2）自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度；（3） 3.23y x =-；（4）20 【解析】解：（1）根据题意可以计算：当立柱根数为3时，护栏总长度为3.233 6.6⨯-=（米）， 当立柱根数为5时，护栏总长度为3.25313⨯-=（米）， 故答案为：6.6，13．（2）在这个变化过程中，护栏总长度随立柱根数的变化而变化， ∴自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度．（3）由题意得y 与x 之间的关系式为()0.233 3.23y x x =+-=-． 故答案为： 3.23y x =-．（4）当61y =时，3.2361x -=， 解得20x =，答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20．10．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y （元），用水量为x （立方米）．用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米超过的部分每立方米3.5元（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过10立方米时，y = ；②每月用水量超过10立方米时，y = ；（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1）① 2.5y x =；②3.510x -；（2）15；（3）12 【解析】解：（1）①当010x ≤≤时， 2.5y x =； 故答案为： 2.5y x =；②当10x ＞时，()2.510 3.510 3.510y x x =⨯+-=-； 故答案为：3.510x -；（2）当6x =时， 2.56=15y =⨯（元）， 答：应交水费15元；（3）2.510=25⨯（元），3225＞， 即可得出该户居民月用水量超出10立方米， 当32y =时，3.51032x -=，12x =答：该户居民用水12立方米．【过关检测】1．太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量 是（ ） A ．热水器里的水温 B ．太阳照射时间C ．太阳光强弱D ．热水器的容积【答案】B 【解析】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，太阳照射时间为自变量． 故选：B ．2．下列所述不属于函数关系的是（ ） A ．长方形的面积一定，它的长和宽的关系B ．2x +与x 的关系C ．匀速运动的火车，时间与路程的关系D ．某人的身高和体重的关系 【答案】D解：A 、∵S ab =，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； B 、∵2x +中随x 的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；C 、∵S vt =，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；D 、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：D ．3．根据下面的列表，y 关于x 的函数表达式正确的是（ ）x…… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y……﹣3﹣1135……A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．1y x =-D ．21y x =+【答案】A 【解析】解：A ．对应的数值都满足21y x =+，故此选项符合题意；B ．对应的数值中，只有0x =，1y =满足21y x =-+，故此选项符合题意；C ．对应的数值中，只有2x =-，3y =-满足1y x =-，故此选项不符合题意；D ．对应的数值中，只有0x =，1y =和2x =，5y =满足21y x =+，故此选项符合题意； 故选：A ．4．按照如图所示的运算程序计算函数y 的值，若输入x 的值是5，则输出y 的值是14，若 输入x 的值是4-，则输出y 的值是（ ）A ．14-B ．13-C ．6-D ．4-【答案】C 【解析】解：把5x =，14y =代入32y x b =-中得：14152b =-，∴12b =， 把4x =-，12b =，代入24y x b =+中可得： 826y =-+=-，5．已知函数2x y +=x 的取值范围是 ，若10x =，则y 的值 是 ．【答案】2x ≥-且2x ≠3【解析】解：由已知得2020x x -≠⎧⎨+≥⎩，∴2x ≥-且2x ≠； 当10x =时，1023y +=．故答案为：2x ≥-且2x ≠，34． 6．某市倡导低碳生活，节约用电节能环保，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月 用电量不超过150度时，按0.5元/度计费；月用电量超过150度时，其中的150度仍按0.5 元/度计费，超过部分按0.65元/度计费．设每户家庭月用电量为x （150x ＞）度时，则应 交电费y 与x 之间的关系式为 ． 【答案】0.6522.5y x =- 【解析】解：由题意得，()1500.50.65150y x =⨯+-0.6522.5x =-，故答案为：0.6522.5y x =-．7．甲、乙两人准备在一段长为1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和6m/s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m 处，两人同时同向起跑． （1）两人出发后 s 乙追上甲；（2）从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y （m ）与时间t （s ）的函数关系为 ． 【答案】（1）50；（2）()12100050y t t =-+≤≤，()2210050200y t t =-≤＜【解析】解：（1）设出发t s 乙追上甲，据题意得，64100t t -=，解方程得：50t =． （2）141006y t t =+-()2100050t t =-+≤≤， ()()2650450y t t =---()210050200t t =-≤＜．8．声音在空气中传播的速度y （m/s ）（简称音速）与气温x （℃）的关系式为33315y x =+． （1）根据所给关系式填写下表： 气温x （℃） 0 5 10 15 20 25 音速y （m/s ）343346（2）随气温x （℃）的升高，音速变 ；（填“快”或“慢”）（3）气温25x =℃时，小红看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么小红和燃放烟花的所在地相距多远？【答案】（1）331，334，337，340；（2）快；（3）1730米 【解析】解：（1）当0x =时，331y =； 当5x =时，334y =； 当10x =时，337y =； 当15x =时，340y =；故答案为：331，334，337，340；（2）观察表格，随气温x （℃）的升高，音速变快， 故答案为：快；（3）当25x =时，346y =，3465=1730⨯（米），答：小红和燃放烟花的所在地相距1730米．9．将长为40cm ，宽为15cm 的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽均为 5cm ．（1）6张白纸粘合后的总长度为 cm ．（2）设x 张白纸粘合后的总长度为y cm ，求y 与x 之间的表达式． （3）你认为白纸粘合起来总长度可能为2022cm 吗？请说明理由．【答案】（1）215；（2）355y x =+；（3）不能，理由见解析【解析】解：（1）()()4040561+-⨯-40355=+⨯ 40175=+ 215=（cm ），故答案为：215；（2）()40351355y x x =+-=+； （3）不能，理由如下：3552022x +=，解得：201735x =， ∵x 是整数， ∴不能．10．某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张4A 大小 的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分 组成．制版费与印数无关，价格为：彩色页200元/张，黑白页50元/张； 印刷费与印数的关系见下表印数a （单位：册） 15000a ≤＜ 500010000a ≤＜ 彩色（单位：元/张） 2.2 2.0 黑白（单位：元/张）0.60.5（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元； （2）若印制6000册，那么共需多少费用？（3）若印制x （110000x ≤＜）册，所需费用为y 元，请写出y 与x 之间的关系式． 【答案】（1）1100元；（2）67100元；（3）见解析 【解析】解：（1）20045061100⨯+⨯=（元），（2）()6000240.56110067100⨯⨯+⨯+=（元）， ∴共需费用67100元．（3）当15000x ≤＜时，1100 2.240.6612.41100y x x x =+⨯+⨯=+， 当500010000x ≤＜时，1100240.56111100y x x x =+⨯+⨯=+。
人教版八年级数学下册19.1.1 变量与函数(第1课时)
行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
像这样在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更深刻地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
变量
数值始终不变的量
常量
上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
s = 60t
y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
2（x+y)=10
S=πr2
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
B
B
元/升
数量、金额
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4;
(2) y=x;
(3) y= x2＋2x－8;
(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
1. 结合实例，了解变量、常量的意义，并能正确区分常量与变量.
2. 体会运动变化过程中的数量变化.
学习目标
3. 能确定两个量之间的关系式.
t /h
1
2
3
4
5
s /km
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？ (1)请同学们根据题意填写上表：(2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的量是_____.(3)试用含t的式子表示s 是_______.
人教初中数学八下 19.1.1 变量与函数课件4 【经典初中数学课件汇编】
汽车行驶里程随行驶时间而变化
问题一
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程 为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
60 120 180 240 300 说说你是如何得到的：路程 = 速度×时间
S = 60t 试用含t的 式子表示 s
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张， 日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房 收入各多少元？
A HE B
O DF
C
说一说
•这节课我的收获是……
1、用一个变量表示另一个变量。 2、变量、常量和函数的概念。 3、自变量的取值范围和函数值。
教学反思：
• 用一个变量表示另一个变量。 自变量的取值范围和函数值。
19.1.1 变量与函数
人教实验版
行星在宇宙中的位置随时间而变化
气温随海拔而变化
例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与 之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时 也称y是x的函数．
300000
（1） 解析法 如问题3中的f = ，
问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的
关系式．
（2） 列表法
波长l(m) 300 500 600 1000 1500
频率 1000 600 500 300 200 f(khz)
时，重叠部分的面积是多少?
解 ：设重叠部分面积为
y cm2，MA长为x cm
y与x之间的函数关系式为
当x＝y1=时12，yx=21 12 1
2
2
1 答:MA＝1cm时，重叠部分的面积是2 cm2
1.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取 值范围： (1).某市民用电费标准为每度0.50元，求电费
八年级数学变量与函数
目 录
• 变量与函数的定义 • 函数的表示方法 • 函数的性质 • 一次函数 • 二次函数 • 反比例函数
01 变量与函数的定义
变量的概念
变量是可以取不同值 的量，通常用字母表 示，如x、y等。
变量的值可以是确定 的，也可以是不确定 的，取决于具体的情 境和问题。
在数学中，变量可以 表示数量、距离、角 度等可以变化的量。
02
03
变量可以独立存在，而函 数则必须依赖于自变量和 因变量的对应关系。
函数可以用来描述和解 决实际问题，如计算成 本、预测未来等。
04
理解和掌握变量的概念 和函数的关系是解决数 学问题的基础。
02 函数的表示方法
解析式表示法
01
解析式表示法是通过数学公式来 表示函数关系的一种方法。它能 够精确地表达函数的变化规律， 适用于已知函数关系的情况。
一次函数可以用于解决实际问 题，如预测、优化、决策等问 题。
一次函数也是学习其他更复杂 函数的基础，如二次函数、指 数函数等。
05 二次函数
二次函数的定义
二次函数的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、 $b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数的定义域为全体实数， 即$x in R$。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
图象表示法是通过绘制函数图像来展示函数关系的一种方法。它适用于需要直观 地了解函数变化趋势和规律的情况。
图象表示法具有形象、直观的特点，能够清晰地展示函数的变化趋势和规律，有 助于理解函数的性质和特点。
03 函数的性质
单调性
单调递增
函数值随着自变量的增加而增加。
19.1.1 变量与函数 课件(共16张PPT) 人教版初中数学八年级下册
当堂检测
指出下列问题中的变量和常量： （1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔 的数量为x支，应付的总价为y元；关系式为 y=0.2x 。 其中的变量是 x、y ，常量是 0.2 。
例3、根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件 ）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表：
每天的销售价 x（元/件） 200 190 180 170 160 150 140 …
每天的销售量 y（件） 80 90 100 110 120 130 140 …
（1）在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随 哪一个量的变化而变化？并指出其中的常量. 变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件）， 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
t/h s/km
1 2345 60 120 180 240 300
在这个变化的过程中，行驶的 速度 60km/h 是固
定不变的，行驶的 路程s和时间t
是不断变化的.
路程s 着 时间t 的变化而变化.
试用含t的式子表示s 是__s_=6_0_t____
探究 (2)电影票售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205 张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场 电影售出x张票，票房收入y元. y的值随x的值的变化而变化吗？
x
a
图1
图2
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数 y与层数x之间的关系式.
x1 2 3 …
x
y 1 1+2 1+2+3 … 1+2+3+ …+x
人教版八年级下册数学第十九章《 19.1变量与函数》优课件(共28张PPT)
在问题三中，是否各有两个变量？同一 个问题中的变量之 间有什么联系？
问题三
在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量， 观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如 果弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，
怎样用含重物质量x（单位：kg）的式子表示受力后的
弹簧长度 L(单位：cm)?
八年级 数学
第十九章 一次函数
19.1.1变量与函数
解:∵花盆图案形如三角形,每边花有n个,总共有3n个, 其中重复了算3个。
∴ s 与 n 的函数关系式为: s = 3n－3
八年级 数学
第十九章 一次函数
19.1.1变量与函数 课堂练习(备用)
4、节约资源是当前最热门的话题,我市居民每月用电 不超过100度时,按0.57元/度计算；超过100度电时,其中不 超过100度部分按0.57元/度计算,超过部分按0.8元/度计算.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
请指出上面各个变化过程中的常量、变量。
八年级 数学
第十九章 一次函数
19.1 .1 变量与函数
探究：指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6
6
(2) y= x
(3) y= 4x2＋5x－7 (4) S = Лr2
巩固练习
• 填空：
• 1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数
2.圆的周长公式C2r，这里的变量是 r和C ，常量
是 2 。
3．下列表格是王辉从4岁到10岁的体重情况
年龄（岁） 4 5 6 7 8 9
10 …
体重（千克）15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25.2 …
人教版数学八年级下册19.1.1变量与函数课件(共22张PPT)
归纳概 念
函数的定义：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ， y是x的函数。
指出前面 三个问题的关系式中的自变量与自 变量的函数
问题一：S=90t
问题二：L=10+0.5m
问题三： y=5-x
生活中哪些变化过程中存在 具有函数关系的量？
（1）下图是体检时的心电图．其中图上点的横 坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物
思 电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的 考 每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
y
o
x
（2）在下面的我国人口数统计表中，年份 与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表 中每一个确定的年份（x），都对应着一个 确定的人口数（y）吗？
C.y x
D. y x
2、下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数?试写 出用自变量表示函数的式子。
（1）改变正方形的边长X，正方形的面积S随之改变。
__x_____是自变量，__s___是__x____的函数，
关系式是 S=x2
（2）秀水村的耕地面积是106m2 ,这个村人均占有耕地
思考题：下面是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请 问蚂蚁离地面的高度h是离起点的水平距离t的函数吗？ 为什么？
第十九章一次函数
19.1函数 19.1.1变量与函数
19.1.1变量与函数
（第一课时）
一辆汽车以90km/h的速度行驶在高速公路上， 用 t 表示它行驶的时间（h），用 S 表示它行驶的 路程（km），填下面的表：
t/h 1 2 3 4 5
S/km 90 180 270 360 450
八年级数学下册《变量与函数》教案、教学设计
5. **分层教学**：针对学生个体差异，我会设计不同难度的练习题，既保证基础知识的巩固，又提供挑战性的问题，激发学有余力学生的学习兴趣。
4.部分学生对数学学习缺乏兴趣，教师应结合生活实际，设计有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣和积极性。
5.学生在团队合作中沟通与协作能力有待加强，教师应注重引导学生在讨论、交流中相互学习，共同提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握函数的定义，特别是函数的单值性、对应关系等核心概念。
3.挑战练习：针对学有余力的学生，设计一些具有挑战性的题目，激发他们的学习兴趣，提高他们的数学素养。
（五）总结归纳
在这一环节中，我将引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们形成完整的知识体系。
1.学生自评：让学生回顾本节课的学习过程，反思自己的学习方法和效果，找出不足之处。
2.教师总结：我会对本节课的重点知识进行梳理，强调函数的定义、表示方法和性质等方面的要点。
2.结合实际问题，引导学生运用数学建模方法，将问题转化为数学问题，培养学生解决问题的能力。
3.通过小组合作学习，让学生在讨论、交流中互相启发，共同提高，培养团队合作意识。
4.利用现代教育技术手段，如几何画板、数学软件等，帮助学生直观地理解函数的性质，提高数学思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
八年级数学下册《变量与函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解变量的概念，能够识别实际问题中的变量，并描述变量之间的关系。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》说课稿
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，属于初中数学的函数单元。
本节内容主要介绍了变量的概念，函数的定义及其表示方法，旨在让学生理解变量之间的关系，掌握函数的基本概念和表示方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数基础知识，对代数表达式有一定的理解，但对于变量的概念和函数的定义可能还比较陌生。
因此，在教学过程中需要引导学生理解变量之间的关系，逐步引入函数的概念，并通过实例让学生掌握函数的表示方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解变量之间的关系，掌握函数的定义及其表示方法，能够识别和表示简单的函数关系。
2.过程与方法目标：通过观察、分析实例，培养学生的抽象思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：函数的定义及其表示方法。
2.教学难点：理解变量之间的关系，掌握函数的表示方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的实例，引导学生观察和分析变量之间的关系，引出函数的概念。
2.探究新知：让学生通过小组合作，探讨函数的定义及其表示方法，教师进行引导和讲解。
3.巩固新知：通过练习题让学生巩固函数的概念和表示方法，教师进行点评和指导。
4.应用拓展：让学生运用函数的知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数的概念和表示方法。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出函数的概念和表示方法。
主要包括以下几个部分：1.变量与函数的定义2.函数的表示方法3.函数的性质八. 说教学评价教学评价主要包括学生的学习效果评价和教师的教学评价两个方面。
人教版八年级数学下册课件：19.1.1《变量与函数》(共18张ppt)
1775年数学家欧拉又给出一个新的函数定义：如果一个变量依
赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，
那么称第一个量是第二个量的函数。
函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间，经历了由不全
面到全面，不严密到严密的发展过程，才逐步形成了今天的函数概
念。
1859年我国清代数学家李善兰翻译《代数学》一书
反 • 谈谈本节课的收获……
思
课尾检测
巩 固
提 • 课本81页3，4，5，7。
升
• 用数学的眼光观察世界 • 用数学的思维分析世界 • 用数学的语言表达世界
时首先用“函数”一词翻译“function”一词，他解释
说：“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古
代用天、地、人、物表示未知数。李善兰译《代数学》
中有“凡式中含天，为天之函数”这样的语句。函数思
想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和 解决问题。
李善兰
练一练:
1.下列问题中的变量y是不是x的函数？
那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
结合例3，说明什么是唯一确定？
如何判断一个变量是否为另一个变量的函数？
追根溯源
课 外 延 伸
最早给出函数概念明确定义的是詹姆斯·格雷戈里。1667年， 他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得 到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”
这些量满足什么关系式？ s=80t
变量是什么？
两个变量之间有什么关系？
例1：阳泉曲到太原的火车以80km/h
的速度在轨道上匀速行驶，行驶路程
形 成
为s km，行驶时间为t h。
概 念
s=80t
八年级数学上册第12章一次函数12.1函数变量与函数
第七页，共二十二页。
思考
在问题1中，热气球在上升的过程中是一个不断变化的过程， 在这个(zhè ge)过程中有哪些量是不断变化的？哪些量始终保持不变？
Image
12/13/2021
第二十二页，共二十二页。
上述判断正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
第十八页，共二十二页。
4.寄一封质量在20g以内的市内平信(píngxìn)，需邮资0.80元，则寄x封这 样的信所需邮资y(元).试用含x的式子表示y，并指出其中的常量和 变量. 解：根据题意，得y=0.8x，所以(suǒyǐ)0.8是常量，x、y是变量.
第十六页，共二十二页。
2.半径是R的圆周长C=2πR，下列说法正确(zhèngquè)的是（D ）
A. π、R是变量，2是常量 B. C是变量，2，π，R是常量 C. R是变量，2，π ，C是常量 D. C，R是变量，2，π是常量
第十七页，共二十二页。
3.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个(zhège)问题中： ①a是常量时，y是变量； ②a是变量时，y是常量； ③a是变量时，y也是变量；
第12章 一次函数
12.1 函数(hánshù)
第1课时 变量与函数
第一页，共二十二页。
新课导入
行星在宇宙(yǔzhòu)中的位置随时间而变化
第二页，共二十二页。
气温(qìwēn)随海拔而变化
第三页，共二十二页。
汽车行驶(xíngshǐ)路程随行驶时间而变化
第四页，共二十二页。
人教版八年级数学下册19.1.1变量与函数(2) 课件
等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值
范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数，例如：
= − 3.
④.零次型
等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂，
自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数，例如：
= 0.
新知探究
例5 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的
油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，
的函数. 例如，问题1中的s=3t，问题2中的S=x(5-x)
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时
的函数值.
新知小结
2.判断一个关系是否是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
3个条件
缺一不可
③看每当变量确定一个值时，另外一个变量是否都有唯一
确定的值与之相对应.
平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
叫做函数的解析式
解:函数关系式为: y = 50－0.1x.
0.1x表示的意义是什么？
新知探究
（2）指出自变量x的取值范围；
解: 由x≥0及50－0.1x ≥0得
0 ≤ x ≤ 500.
汽车行驶里程，油箱中
的油量均不能为负数！
∴自变量的取值范围是
化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．
新知探究
奥运会火炬手以3米／秒的速度
跑步前进传递火炬，传递路程为s
米，传递时间为t秒，怎样用含t的
式子表示 s？
新知探究
知识点 1
函数的有关概念
问题1 全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，传
递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：
人教版八年级数学下册19章19.1.1变量与函数(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.在小组讨论中，要注意问题的设置，引导学生正确地思考和解决问题。
4.课后要加强作业和练习的布置，帮助学生巩固所学知识。
在今后的教学中，我会根据这节课的反思，不断调整和优化教学方法，以提高学生的学习效果。
在总结回顾环节，我强调了对函数概念和三要素的掌握，希望学生们能够在日常生活中运用所学知识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，还需要在课后布置一些相关的作业和练习，以巩固所学知识。
1.在理论讲解时，要尽量用简单明了的语言，结合实际案例，让学生更好地理解抽象的概念。
2.在实践活动前，要进行充分的讲解和演示，确保学生能够顺利地进行实验操作。
-举例：在函数y = 2x + 3中，2和3是常量，x和y是变量。
2.教学难点
-函数关系式的建立：学生需要学会从实际问题中பைடு நூலகம்象出函数关系，并用数学符号进行表达。
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