小学人教四年级数学参数方程
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第二节
参数方程
陆义周
1．参数方程和普通方程的互化
(1) 曲 线 的 参 数 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 线 方 程 的 不 同 形 式．一般地，可以通过消去参数 而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝
f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，
解： (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2＋y2＝16. 因为直线 l 过点 P(2,2)，倾斜角 α＝π3，所以直线 l 的参数
方程为xy＝＝22＋＋ttscionsπ3π3，，
即x＝2＋12t，
y＝2＋
3 2t
源自文库
(t 为参数)．
(2)把直线
l
的参数方程x＝2＋12t，
y＝2＋
3 2t
x＝acos φ y＝bsin φ
(φ为参数)
以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是
x＝a＋rcos α， y＝b＋rsin α. ，其中 α 是参数，α∈[0,2π)．
x＝rcos α， 当圆心在(0,0)时，方程为 y＝rsin α.
椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是
对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所
对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0＝t1＋2 t2；
(2)|PM|＝|t0|＝
t1＋t2 2
；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
1.求曲线xy＝＝32
3cos θ 2sin θ
代入圆 C：x2＋y2
＝16 中，得2＋12t2＋2＋ 23t2＝16，t2＋2 3＋1t－8＝0， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t2＝－8，即 PA·PB＝8.
[典例] (2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原
点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的
(θ为参数)中两焦点间的距离．
解：曲线化为普通方程为
y2 18
＋
x2 12
＝1，∴c＝
6，
故焦距为2 6.
2．若直线
3x＋4y＋m＝0
与圆
x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ
(θ为参数)相
切，求实数 m 的值．
解：圆
x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ
消去参数θ，化为普通方程是(x
－1)2＋(y＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－
那么，xy＝＝gftt 就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 直线 圆 椭圆
普通方程 y－y0＝tan α(x－x0)
x2＋y2＝r2 xa22＋by22＝1(a>b>0)
参数方程
yx＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数)
x＝rcos θ y＝rsin θ
(θ为参数)
极坐标为
2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点
A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为
x＝1＋cos y＝sin α
α，
(α为参数)，试判断
直线l与圆C的位置关系．
[解]
(1)由点A
2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，
可得a＝ 2.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
x＝bcos y＝asin
φ，，其中 φ.
φ是参数．
1．化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，
消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘
除消元法；④三角恒等式消元法．
2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其
2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0. (2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝
1＝ 2
22<1，
所以直线l与圆C相交．
2)到直线的距离等于半径，即
|3＋4×－2＋m| 5
＝1，解
得m＝0或m＝10.
直线的参数方程
[例] 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程
为
x＝4cos y＝4sin
θ， θ
(θ为参数)，直线 l 经过点 P(2,2)，倾斜
角α＝π. 3
(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设l与圆C相交于A、B两点，求PA·PB的值．
参数方程
陆义周
1．参数方程和普通方程的互化
(1) 曲 线 的 参 数 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 线 方 程 的 不 同 形 式．一般地，可以通过消去参数 而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝
f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，
解： (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2＋y2＝16. 因为直线 l 过点 P(2,2)，倾斜角 α＝π3，所以直线 l 的参数
方程为xy＝＝22＋＋ttscionsπ3π3，，
即x＝2＋12t，
y＝2＋
3 2t
源自文库
(t 为参数)．
(2)把直线
l
的参数方程x＝2＋12t，
y＝2＋
3 2t
x＝acos φ y＝bsin φ
(φ为参数)
以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是
x＝a＋rcos α， y＝b＋rsin α. ，其中 α 是参数，α∈[0,2π)．
x＝rcos α， 当圆心在(0,0)时，方程为 y＝rsin α.
椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是
对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所
对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0＝t1＋2 t2；
(2)|PM|＝|t0|＝
t1＋t2 2
；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
1.求曲线xy＝＝32
3cos θ 2sin θ
代入圆 C：x2＋y2
＝16 中，得2＋12t2＋2＋ 23t2＝16，t2＋2 3＋1t－8＝0， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t2＝－8，即 PA·PB＝8.
[典例] (2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原
点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的
(θ为参数)中两焦点间的距离．
解：曲线化为普通方程为
y2 18
＋
x2 12
＝1，∴c＝
6，
故焦距为2 6.
2．若直线
3x＋4y＋m＝0
与圆
x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ
(θ为参数)相
切，求实数 m 的值．
解：圆
x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ
消去参数θ，化为普通方程是(x
－1)2＋(y＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－
那么，xy＝＝gftt 就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 直线 圆 椭圆
普通方程 y－y0＝tan α(x－x0)
x2＋y2＝r2 xa22＋by22＝1(a>b>0)
参数方程
yx＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数)
x＝rcos θ y＝rsin θ
(θ为参数)
极坐标为
2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点
A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为
x＝1＋cos y＝sin α
α，
(α为参数)，试判断
直线l与圆C的位置关系．
[解]
(1)由点A
2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，
可得a＝ 2.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
x＝bcos y＝asin
φ，，其中 φ.
φ是参数．
1．化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，
消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘
除消元法；④三角恒等式消元法．
2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其
2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0. (2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝
1＝ 2
22<1，
所以直线l与圆C相交．
2)到直线的距离等于半径，即
|3＋4×－2＋m| 5
＝1，解
得m＝0或m＝10.
直线的参数方程
[例] 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程
为
x＝4cos y＝4sin
θ， θ
(θ为参数)，直线 l 经过点 P(2,2)，倾斜
角α＝π. 3
(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设l与圆C相交于A、B两点，求PA·PB的值．