离散数学例题整理
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2 a,b<n.由归纳假设，a,b均可表成素数的乘积，从而n+1也可表成素数的乘积.得证结论对n+1成立.
命题为假的证明一一举反例
例11证明下述命题不成立：
若A B=A C,则B=C.
证明 反例：取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d},有A B=A C = {a,b}
但B C,故命题不成立.
解(p q) r
(p q) r
(pq) r析取范式
(pr) ( qr)合取范式
(p q) r的主析取范式主合取范式
解(1) (p q) r (p q) r
p q (p q) 1同一律
r ( p p) ( q q) r同一律，排中律
(pq r) (p q r)(pqr) (p q r)
mom2m4m6分配律
得证A (BC)(AB)(AC).
类似可证(A B) (A C) A (B C).
⑶A E=E(零律)
证根据并的定义，有E A E.
根据全集的定义，乂有A E E.
⑷A E=A(同一律)
证根据交的定义，有A E A.
乂, x x A,
根据全集E的定义，
x E,从而x A且x E,
x A E得证A A E.
(P q r) ( p q r)
M4M5M6M7
p q r Mi
得B MiM4M5M6M7(1,4,5,6,源自文库)
例3用主析取范式判断公式的类型：
⑴A
(p q) q
⑶
C
(p q) r
A
(p q) q
(p
q)
q 0
矛盾式
⑵B
p (p q)
B
p (p q)
i
momim2m3
x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n,存在大丁n的素数.
令x等丁所有小丁等丁n的素数的乘积加1,则x不能被所有小丁等丁n的素数整除.
丁是,x或者是素数，或者能被大丁n的素数整除.
因此，存在大丁n的素数.
数学归：对所有n 1, 1+3+5+ ••• +(2-1)=n2
归纳基础.当n=1时,1=12,结论成立.
快速求A
(p q) ( p
q r) r的主析取范式
⑴p q
(p q r)(
p q r)m2m3
p
q rmi
r ( p
q r) ( p q
r) (p q r) (p q r)
mi
m3m5m7
得Ami
m2m3m5
m7(i,2,3,5,7)
⑵求B p (p q r)的主合取范式 解p ( p q r) ( p q r)
弟■早
证p (q r)
p ( q r)(蕴涵等值式)
(p q) r(结合律)
(p q) r(德摩根律)
(p q) r(蕴涵等值式)
⑴q (p q)
该式为矛盾式.
⑵(p q) ( qp)
解(p q) ( qp)
(p q) (q p)(蕴涵等值式)
(p q) ( p q)(交换律)
(p q) r的析取范式与合取范式
证x x P(A) x A
x B(已知A B)
x P(B)
例8证明A B=A B-A B.
~B) (~A B)
~A) (A B) (~B ~A) (~B B)
B) (~B ~A)
B) ~(A B)
B-A B
直接法 若n是奇数，则n2也是奇数.假设n是奇数，则存在k N, n=2k+1.于是n2= (2k+1)2= 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.
证(A B) (A C)
=((AB) -(A C))((AC) - (AB))
=((AB)~A ~C)((AC) ~A~B)
=(B~A~C) (C~A~B)
=((B ~C) (C ~B)) ~A
=((B-C) (C-B)) ~A
=(B C) - A
例7设A，B为任意集合，证明:
若A B，则P(A) P(B)
=(A
~C)
(~B
~~C)
（德摩根律）
=(A
~C)
(~B
C)
（双重否定律）
=(A
~C
~B)
(A ~C
C）（分配律）
=(A
~C
~B)
(A )
（矛盾律）
=A
~C
~B
（零伸
［同一律）
=(A
~B)
~C
（交换律，结合律）
=(A - B) - C(补交转换律)例6证明(A B) (A C)= (B C) - A
第一章
定律证明：
⑴A B=B A（交换律）
证x x A B
x A或x B,自然有x B或x A x B A
得证ABBA.
同理可证B A A B.
⑵A (B C)=(A B) (A C)(分配律)
证x x A (B C)
x A或(x B且x C )
(x A或x B)且(x A或x C)
x(AB)(AC)
例4证明A （A B）=A（吸收律）
证 利用例3证明的4条等式证明
A (A B)
=(A E) (A B)(同一律)
=A （E B）（分配律）
=A （B E）（交换律）
=A E（零律）
=A（同一律）
例5证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
证(A-C)-(B-C)
=(A
~C)
~(B
~C)
（补交转换律）
归纳步骤.假设对n(n 1)结论成立，
则考虑n+1的情况有
1+3+5+ …+(2i-1)+(2n+1)=n2+(2n+1) = (n+1)2
得证当n+1时结论也成立.
第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积
证归纳基础.对丁2,结论显然成立.
归纳步骤.假设对所有的k(2 k n)结论成立，要证结论
对n+1也成立.若n+1是素数，则结论成立；否则n+1=ab,
x B且x B，矛盾
构造性对每正整数n，存n个连的正合数.
证令x=(n+1)! +1
考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…,x+n ,
对丁i (i=1,2,3, m) , x+i=(n+1)! +(1+i),
此式含有因子1+i，而1+i不等丁1也不等丁x+i,
因此x+i是合数。所以x+1, x+2,…，
间接法 若n2是奇数，则n也是奇数.只证:若n是偶数，则n2也是偶数.
假设n是偶数，则存在k N, n=2k.于是n2= (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.
归谬法若A-B=A，则A B=
证用归谬法，假设A B，则存在x，使得
x A B x A且x B
x A-B且x B (A-B=A)
(x A且x B)且x B
得(pq) r mom2m4m5m6
(0,2,4,5,6)
⑵(p q) r (p r) ( q r)
同一律
p (q q) r矛盾律
(p q r) (p q r)分配律
MiM3
q r (p p) q r同一律，矛盾律(p q r) ( p q r)分配律M3M7
得(p q) r MiM3M7
可记作(1,3,7)
命题为假的证明一一举反例
例11证明下述命题不成立：
若A B=A C,则B=C.
证明 反例：取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d},有A B=A C = {a,b}
但B C,故命题不成立.
解(p q) r
(p q) r
(pq) r析取范式
(pr) ( qr)合取范式
(p q) r的主析取范式主合取范式
解(1) (p q) r (p q) r
p q (p q) 1同一律
r ( p p) ( q q) r同一律，排中律
(pq r) (p q r)(pqr) (p q r)
mom2m4m6分配律
得证A (BC)(AB)(AC).
类似可证(A B) (A C) A (B C).
⑶A E=E(零律)
证根据并的定义，有E A E.
根据全集的定义，乂有A E E.
⑷A E=A(同一律)
证根据交的定义，有A E A.
乂, x x A,
根据全集E的定义，
x E,从而x A且x E,
x A E得证A A E.
(P q r) ( p q r)
M4M5M6M7
p q r Mi
得B MiM4M5M6M7(1,4,5,6,源自文库)
例3用主析取范式判断公式的类型：
⑴A
(p q) q
⑶
C
(p q) r
A
(p q) q
(p
q)
q 0
矛盾式
⑵B
p (p q)
B
p (p q)
i
momim2m3
x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n,存在大丁n的素数.
令x等丁所有小丁等丁n的素数的乘积加1,则x不能被所有小丁等丁n的素数整除.
丁是,x或者是素数，或者能被大丁n的素数整除.
因此，存在大丁n的素数.
数学归：对所有n 1, 1+3+5+ ••• +(2-1)=n2
归纳基础.当n=1时,1=12,结论成立.
快速求A
(p q) ( p
q r) r的主析取范式
⑴p q
(p q r)(
p q r)m2m3
p
q rmi
r ( p
q r) ( p q
r) (p q r) (p q r)
mi
m3m5m7
得Ami
m2m3m5
m7(i,2,3,5,7)
⑵求B p (p q r)的主合取范式 解p ( p q r) ( p q r)
弟■早
证p (q r)
p ( q r)(蕴涵等值式)
(p q) r(结合律)
(p q) r(德摩根律)
(p q) r(蕴涵等值式)
⑴q (p q)
该式为矛盾式.
⑵(p q) ( qp)
解(p q) ( qp)
(p q) (q p)(蕴涵等值式)
(p q) ( p q)(交换律)
(p q) r的析取范式与合取范式
证x x P(A) x A
x B(已知A B)
x P(B)
例8证明A B=A B-A B.
~B) (~A B)
~A) (A B) (~B ~A) (~B B)
B) (~B ~A)
B) ~(A B)
B-A B
直接法 若n是奇数，则n2也是奇数.假设n是奇数，则存在k N, n=2k+1.于是n2= (2k+1)2= 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.
证(A B) (A C)
=((AB) -(A C))((AC) - (AB))
=((AB)~A ~C)((AC) ~A~B)
=(B~A~C) (C~A~B)
=((B ~C) (C ~B)) ~A
=((B-C) (C-B)) ~A
=(B C) - A
例7设A，B为任意集合，证明:
若A B，则P(A) P(B)
=(A
~C)
(~B
~~C)
（德摩根律）
=(A
~C)
(~B
C)
（双重否定律）
=(A
~C
~B)
(A ~C
C）（分配律）
=(A
~C
~B)
(A )
（矛盾律）
=A
~C
~B
（零伸
［同一律）
=(A
~B)
~C
（交换律，结合律）
=(A - B) - C(补交转换律)例6证明(A B) (A C)= (B C) - A
第一章
定律证明：
⑴A B=B A（交换律）
证x x A B
x A或x B,自然有x B或x A x B A
得证ABBA.
同理可证B A A B.
⑵A (B C)=(A B) (A C)(分配律)
证x x A (B C)
x A或(x B且x C )
(x A或x B)且(x A或x C)
x(AB)(AC)
例4证明A （A B）=A（吸收律）
证 利用例3证明的4条等式证明
A (A B)
=(A E) (A B)(同一律)
=A （E B）（分配律）
=A （B E）（交换律）
=A E（零律）
=A（同一律）
例5证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
证(A-C)-(B-C)
=(A
~C)
~(B
~C)
（补交转换律）
归纳步骤.假设对n(n 1)结论成立，
则考虑n+1的情况有
1+3+5+ …+(2i-1)+(2n+1)=n2+(2n+1) = (n+1)2
得证当n+1时结论也成立.
第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积
证归纳基础.对丁2,结论显然成立.
归纳步骤.假设对所有的k(2 k n)结论成立，要证结论
对n+1也成立.若n+1是素数，则结论成立；否则n+1=ab,
x B且x B，矛盾
构造性对每正整数n，存n个连的正合数.
证令x=(n+1)! +1
考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…,x+n ,
对丁i (i=1,2,3, m) , x+i=(n+1)! +(1+i),
此式含有因子1+i，而1+i不等丁1也不等丁x+i,
因此x+i是合数。所以x+1, x+2,…，
间接法 若n2是奇数，则n也是奇数.只证:若n是偶数，则n2也是偶数.
假设n是偶数，则存在k N, n=2k.于是n2= (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.
归谬法若A-B=A，则A B=
证用归谬法，假设A B，则存在x，使得
x A B x A且x B
x A-B且x B (A-B=A)
(x A且x B)且x B
得(pq) r mom2m4m5m6
(0,2,4,5,6)
⑵(p q) r (p r) ( q r)
同一律
p (q q) r矛盾律
(p q r) (p q r)分配律
MiM3
q r (p p) q r同一律，矛盾律(p q r) ( p q r)分配律M3M7
得(p q) r MiM3M7
可记作(1,3,7)