运筹学 网络最优化问题

[例]求从点S(发点)到点T(收点)的最 短路线.
2 A
2
0 S 1 4 2 C 3 E 1 4 4
2
4 B 3 D 7 6 1 5 T
Dijkstra标号算法计算步骤: (1)给发点标号Lss=0,记在该点旁边; (2)将标号的点与未标号的点分成两 个集合 V , V , r V , p V 在与V有直接 连线的各点中找出min{Lsr+drp},对 于p点标号,Lsp=Lsr+drp记在该点旁 边; (3) V V p , V V \ p , ,回到第(2) 步,重复进行一直到目的地标号为止.
图的存储结构
邻接矩阵：
简单图 G ( N , E ) 的邻接矩阵：n 阶方阵 A ( a ij ) n n 其中
1, 0, 当 点 i与 点 j 邻 接 否则 i , j 1, 2 , , n
a ij
简单有向图 G ( N , A ) 的邻接矩阵：n 阶方阵 A ( a ij ) n n ， 其中
C D E F T
(2)
0 2 4 4 6 1 6 5
计算步骤: (1)构造邻接矩阵A (2)依次求最多k个中间点的可达矩阵A(k), (k=1,2,…,n)
A
A
所以A(2)即得到了最短路矩阵.
最短路问题的数学描述 给定网络 G ( N , A, W ) ，对 G 的每一条弧 a i A ,给定权 w i w ( a i ) ， 设 P 为 G 中的一条路,定义 P 的权（或长） W ( P ) ：
1 0
2 1 0
3 2 1 0
4 3 2 0
6 5 4 3 6 0
A
(4)
0
6 5 4 ( 5) ( 6) A A 3 6 0
a 16 6 表示从 v 1到 v 6的最短有向路的长度为 a 35 2 表示从 v 3到 v 5的最短有向路的长度为 a 42 表示从 v 4 到 v 2 没有有向路。
a SS a SA a SB d SC m in d SD d SE d SF d ST a SD a AD a BD d CD m in d DD d ED d FD d TD 0 2 4 3 4 6 0 1 7
6； 2；
2 Floyd算法
[例]求各点间最短路线.
从ij不一定是最短路,可能是ikj,也可能是 ikmj.如从S到D先考虑只有一个中间点,有如下方 案: B 3 D 7 6 1 SSD; SAD; SBD; SCD; T SDD; SED; SFD; STD;
ik
简单有向图 G ( N , A ) 的关联矩阵：一个 | N | | A | 阶矩阵 B (b ) ， 其中
1, 1, 0, 当弧 a ik 以点 i 为尾 当弧 a ik 以点 i 为头 否则
b ik
5.2 最短路问题
1 两点间最短路及Dijkstra标号算法
17.完全图：对无向图的任意两点之间都有边相连，对有向图的任意两点之间都有方向相反的弧 相连。 18.子图：设G={V,E}，G′={V′,E′},若V′ V,E′ E,则称G′是G的子图。 19.道路（或称链）:点、边的交错序列. 如图a中(v1,e2,v2,e3,v3)即为一条链. 20.回路 (或称圈):封闭的道路.如图a中(v1,e2,v2,e4,v4,e5,v1)即为一个回路. 21.连通图:对无向图任两点至少存在一条道路.如图b为连通图,而图a存在孤立点v5,为非连通图. 22.强连通图:对有向图的任意两点之间都有一条有向道路。 23.基础图:有向图去掉箭头就变成了无向图,此无向图称为该有向图的基础图.
1 0
2 1 0 1 0
3 2 1 0 2 1 0
4 3 2 0 3 2 1 0
8 6 4 3 6 0 4 3 2 0
1
1 V 1 2 1
V 4 6
2 V 3 V
A
( 3)
0
1, 0, 当 有 弧 从 点 i连 上 点 j 否则 i , j 1, 2 , , n
a ij
关联矩阵
简单图 G ( N , E ) 的关联矩阵：一个 | N | | E | 阶矩阵 B (b ) ，
ik
其中
b ik 1, 当点 i 与边 k 关联 0 , 否则
已知n阶加权简单图D, 设A ( aij ) nn 是D的边权的邻接矩阵即：aij wi , j , aii 0, 如果顶点i到j没有边 ( 弧 ) 相连，则d ij 然后用递推公式aij 阵A
( 2) (k )
min{ aij
(n)
( k 1)
, aik
( k 1)
a kj
x ij ( 或
A
2 2 S 1 邻接矩阵:
S S 0 A 2 B AC D E 1 F T A 2 0 2 2 4 B 2 0 3 1 C 2 0 4 3
2 4 4 5
C 3 E
AS D
(1 )
F
E 1 3 0 5 F 7 5 0 6 T 1 6 0
11.阶和度:图G的顶点个数称为它的阶数， 与某顶点关联边的数称为该顶点的度(也称 为次)(degree）,如图a的阶为5，其中 d(v1)=3.d(v4)=4(环包括入次与出次) 12.孤立点:度为“0”的点,如图a中v5;
13.悬挂点:度为“1”的点,如图a中v3; 14.悬挂边:与悬挂点相连的边,如图a中 e3. 15.奇点:度为奇数的点,如图a中v1和v3 16.偶点:度为偶数的点;
v3 e3 v2 e1 e2 e4 v4 e5
v5 v1 e1 v2
e6
e3
v3
e2
v1
(a)
(b)
定理:图中所有点的次之和是边数的2倍. 如图a中所有点的次之和 ∑d(v)=d(v1)+d(v2)+d(v3)+d(v4)+d(v5) =3+4+1+4+0=12 边数=6 定理:图中奇点的个数为偶数. 如图a中奇点为v1,v3.
第5章 网络最优化问题
课时：12学时
5.1图的基本概念 5.2最短路问题 5.3最大流问题 5.4最小生成树问题 5.5 旅行商问题 5.6最小费用流——运输问题
5.1 图的基本概念
[例6.1]1734年,七桥问题
(德国哥尼斯堡)
[例6.2]19世纪,四色问题
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就 能使有共同边界的国家着上不同的颜色。” 1852年，英国搞地图着色工作的格思里，首先提出 了四色问题。 1872年，英国数学家凯利正式向伦敦数学学会提出 这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问 题。 美国数学教授哈肯和阿佩尔于1976年6月,使用伊利 诺斯大学的电子计算机计算了1200个小时，作了 100亿个判断，终于完成了四色定理的证明。 不过不少数学家认为应该有一种简捷明快的书面证 明方法。
ai P
W (a
)
问题：寻求有网络中自某一指定点 v s 到另一指定点 v t 间的最短有向 路。
最短路问题的数学模型
设 x ij 0 ,1 表示节点 v i 到节点 v j 是否走， d ( d ij ) n n 是 G 的边权的邻接矩阵
min
，则
d
i 1 j 1
n
n
ij
(1) (1) (1)
S S A B A
(2)
A 2 0 2 2 4 3 8 3
( 3)
B 4 2 0 4 3 5 7 1
C 4 2 4 0 4 3 8 5
D 6 4 3 4 0 7 7 4
E 1 3 5 3 7 0 5 6 6 8 7 8 7 5 0 6
F
T 5 3 1 5 4 6 6 0
D 4 3 4 0 7
(1) 一般地有: a ij m in{a ij , a ir a rj }
S S 0 A 2 B 4 C 4 D 6 E 1 F 6 T
A 2 0 2 2 4 3 11 3
B 4 2 0 4 3 7 1
C 4 2 4 0 4 3 8
( k 1)
}, A
(k )
( d ij ) nn 算出矩
(k )
,A
( 3)
, , A ， 而aij
(n)
是从顶点i到j的所有路中长度最短者。

求图中任意两点间的最短有向路的长度？
V 7 2 33 3 V
解：图G的边权矩阵A为： 0 A 1 0 2 1 0 3 1 0 2 0 0 7 (2) A 3 6 0
v1
(a)
(b)
1.图(Groph):点(vertex)和连线的集合. 不带箭头的连线称为边(edge).带箭头的连线 称为弧(Arc). 2.无向图：连线不带箭头的图,用为:G={V,E} 式中：V={v1,v2,…}，E={e1,e2,…} 表示.（如 图a） e=（vx,vy）. 3.有向图(Divected graph)：连线带箭头的 图,用D={V,A}表示,（如图b） a=< vx,vy > 4.起点、终点、弧头、弧尾：弧的端点。 5.点的关联：若点vx,vy之间有 边相连，则 称这两点是关联的。
5
F
在所有弧的权都非负的
[例]单线程最短路问题.求v1到各点的最短路.
情况下，目前公认最好的 求最短路的方法是 Dijkstra标号法。用实例 介绍如下：
6 v2 7 3 0 v1
2
8 v6
3 7
11 v8
4 v9 15
3 2
v3 3 2
8Fra Baidu bibliotek
6 5 10 3 v7 14 4
11
v4
2
v5
13
2.Floyd算法 某些问题中，要求网络上任意两点间的最短路。这类问题可以用 Dijkstra算法一次改变起点的办法计算，但比较繁琐。这里介绍 的Floyd方法（1962）可直接求出网络中任意两点间的最短路。 算法基本步骤为：
v5 v1 e6 a3 v3 a1 a2 v2
6. 边相邻:两条边有公共的顶点,如图a中 e1,e2,e3,e4有公共顶点v2.
7.环:起点和终点相重的边.如图a中e6. 8.多重边:两条以上边所连的顶点相重,如图 a中e1,e2. 9.简单图:无环、无多重边的图(如图b). 10.赋权图(也称为网络)：给图G的每一条 边(vi,vj),相应地赋予一个数cij,则称这样的 图G为赋权图或网络,cij称为(vi,vj)的权.
A
C
D
B
民间流传难题: 一个人如何一次 走遍七座桥且每 座桥只走一次?

1736年数 学家欧拉证 明了鉴别准 则:一笔划 问题(欧拉 定理)
B

其他例子.
电路图、管道图等。
C

D
20世纪,与优化问题结合起来.
最短路问题、最大流问题、最小支撑树问题等等。
A
v3 e3 v2 e1 e2 e4 v4 e5
D 6 4 3 4 0 7 7 4
E 1 3 3 7 0 5 11
F 6 11 7 8 7 5 0 6
T 3 1 4 1 1 6 0
A
(1 )
再构造由两个中间点的矩阵:
a ij
(2)
m in{ a ij , a i 2 a 2 j },