组合数和组合恒等式.ppt

作业：
1、对于非负整数 n,m,k(n m k ) ，
证明
C
nmC
k m
C Ck m k n n k
。
第一章 小结
一、排列和组合 1、两个基本的计数原理。 2、线状排列、圆排列定义。
3、会计算集合S 的 r 无重排列、
r 圆形排列和 r 无重组的合个数。
二、重集的排列和组合 1、重集、重数、可重排列和可重组
合的定义。
2、会计算重集 S 的 r 可重排列、
n 可重排列和 r 可重组合个数。
三、组合数和组合恒等式
1、二项式系数的四个基本性质及证 明。
2、八个组合恒等式及部分证明。
C r 1 n 1
2、对称关系式
C
r n
C nr n
3、递推关系式
C
r n
n r
C nr11(1
r
n)
4、单调性
1）C
0 2n
C
1 2n
C
2 2n
C 2nn(奇数项)；
2）C
0 2n
1
C1 2n 1
C2 2n 1
C n 1 2n 1
C
n 2n
1(偶数项)。
二、组合恒等式
定义：组合恒等式是指含有组合数 的恒等式。
C
0 n
1 2
C
1 n
Байду номын сангаас
1 3
C
2 n
n
1
1
C
n n
2n 1 1
n 1
1 1
C
0 n
1 2
C
1 n
1 3
C
2 n
(1)n
n
1
1
C
n n
1
n 1
7、范德蒙德（Vandermonde）恒等式
C
n0C
r m
C
n1C
r m
1
C
n2C
r m
2
C nrC
0
m
Cr nm
8、Cm0Cn0 Cm1 Cn1 Cm2Cn2 CmnCnn Cnnm (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cnn )2 C2nn
1、C
0
n
C
1
n
C
2
n
C
n n
2n
2、C
0
n
C
1
n
C
2
n
(1)n
C
n n
0
3、C
0 n
C
2 n
C
4 n
C
1 n
C
3 n
C
5 n
2n 1
4、1
C
1 n
2
C
2 n
n
C
n n
n 2n 1
5、12C
1 n
22C
2 n
n
2C
n n
n(n
1) 2n 2
12C
1 n
22C
2 n
(1)n
1n
2C
n n
0
6、1 1
1.3 组合数和组合恒等式
一、二项式系数的基本性质
（一）二项式定理
（x y）n C n0x ny 0 C n1x n1y 1 C n2x n2y 2
C
r n
x
n
r
y
r
C
n n
x
0y
n
其中， Cni (i 0,1,, n) 称为二项式系数。
（二）基本性质
1、杨辉恒等式
C
r n
Cr n 1