随机变量及其分布函数优秀课件

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实例5 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
1 ( 男 , 男 ) ,2 ( 男 , 女 ) ,3 ( 女 , 男 ) ,4 ( 女 , 女 ) .
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
X(1) 0, X(2) 1,
可得随机变量 X(ω),
1，3，5 2，3，5
1，4，5 2，4，5
我们记取出的黑球数为 X， 则 X 的可能取值为1，2，3．因此，X 是一个变量．
但是，X 取什么值依赖于试验结果， 即 X的取值带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量．
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X 的取值情况可由下表给出：
样本点
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5 1， 3， 4 1， 3， 5
红色 白色
X ( )
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X() 1,
0,
红色, 白色.
这样便将非数量的 Ω ={红色，白色} 数量化了.
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实例3 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X() 恒等变换
X ( 1 ) 1 ,X ( 2 ) 2 ,X ( 3 ) 3 ,X ( 4 ) 4 ,X ( 5 ) 5 ,X ( 6 ) 6 ,
且有
P {X i}1, (i1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ). 6
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二、随机变量的概念
1.定义 设E是一个随机试验， Ω是其样本空间． 我们称样本空间上的函数：
XX
为一个随机变量，
ω
随机事件数量化
Ω
X
R
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说明 ⑴随机变量常用大写的文英字母
X 、 Y 、 Z 、
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§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念 三、随机变量的分布函数 四、随机变量的分类
一、随机变量的概念引入
1. 为什么引入随机变量? 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，
为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的 方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就 需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的 随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概 念．
或希腊字母 、 、 、 等来表示．
⑵对于随机变量，常我关们心常的是它的取
⑶我们设立随机要 变用 量随 ，机 是变量的取 描述随机. 事件
即随机事件数量化.
(4)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质 的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是 定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
注意到 X 的分布函数是一个普通函数. 对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
P {x1Xx2} P { X x 2 } P { X x 1 }
o
x1
x2
x
F (x 2)F (x 1).
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2. 例子 例 1 设随机变量 X 的为：
P(X1)14 P(X2)12 P(X3)14 求 X 的分布函数. 解：当 x <-1 时，满足 Xx的X的集 合 ，为
2. 随机变量的引入
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实例1 • 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，
• 观察取出的3只球中的黑球的个数．
• 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别
• 记作4，5号，则该试验的样本空间为
1，2，3 1，2，4 1，2，5
S 1 2 3， ， ，3 4 3， ， ，4 5 4
X ( ) 射 中 目 标 的 次 数 ,
是一个随机变量. 且 X(ω) 的所有可能取值为:
0 ,1 , 2 , 3 , , 3 .0
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三、随机变量的分布函数
1.概念 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F (x ) P {X x }
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x)P {Xx}
黑球数 X 3 2 2 2 2
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X 1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间 Ω上的函数.
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由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间 Ω上的函数：
XX
我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件．
例如
： X 2 X 2
表示取出2个黑球这一事件；
X2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等．
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实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观
察摸出球的颜色.
Ω ={红色、白色} ?
将 Ω 数量化
非数量 可采用下列方法
X( 3) 1, X(4) 2,
0,
X() 1,
1, 2,3,
2, 4.
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实例6 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则
X () 抽 得 的 白 球 数 ,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0 , 1 , 2.
实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
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(5) 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由
于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机 变量的取值也有一定的概率规律. (6) 随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之 内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 ,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.
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2. 例子 实例4 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个结果:
1(反 面 朝 上 ),
2(正 面 朝 上 ),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1(反 面 朝 上 )
X ( )
0 X(1)0
2(正 面 朝 上 )
ห้องสมุดไป่ตู้1 X(2)1
即 X (ω) 是一个随机变量.
随机事件数量化
F ( x ) P { X x } P { } 0 .
X
x -1 0 ２ ３ x
当 1x2时 , 满足 Xx的取值为 X1，