列车运行的基本数学模型

空气波传播的定性分析
在重载列车长大下坡周期性制动策略研究中，首先需要解决的难点就是长大下坡速度控制问题。

由于重力的作用，列车会在长大下坡不断加速，为了保证列车的安全行驶必须施以足够的制动力。

在此过程中，如果一直使用空气制动，长时间制动将使闸瓦过热，其次，由于制动缸漏泄制动力会不断衰减。

所以重载列车长大下坡时必须间断使用空气制动，并且掌握好制动与缓解时机。

由于列车管系中气体是不规则变化的，即无法直接预测整个列车管系中各部分压强的压强变化，在此将通过气体流动理论计算制动特性来可避免各种假定压强带来的计算不正确。

当速度过高时采取制动措施可能会出现运行速度超过限速；速度过低开始制动一方面可能运行速度低，线路通过能力没有完全发挥，另一方面可能出现因为缓解时间过短副风缸没有充风完毕，会出现制动力不足问题。

而缓解时，如果速度过高开始缓解，则可能出现需要制动时副风缸还没有充满，此时制动，制动缸将没有足够的制动力，列车可能会出现失控的危险；如果速度过低开始缓解，则通过线路的速度过低。

2.1.1空气制动系统描述
首先对空气制动系统的机械结构和控制过程中的三个过程的认知理解，我们将列车制动机械结构简化抽象，在此基础上对降压制动、充风缓解和控制保压三个过程进行研究。

图1 空气制动系统示意图
2.1.1.1制动单元
车辆制动单元包括以上多个机械和空气组成部件,由于车辆类型和用途的不同,其具体的组成部件也会有所区别,但是大多数车辆制动单元的基本部件是一致的,在此我们主要简化研究控制阀（120三通阀）、副风缸和制动缸之间气压变化机理。

图2 空气制动单元示意图
2.1.1.2制动位
列车运行中准备进站停车或者减速时,通常是施行常用制动。

司机施行常用制动减压后,因副风缸压力空气来不及通过滑阀和滑阀座向列车管逆流,于是在主活塞两侧产生了一定的压力差,此压力差产生的向上作用力克服了节制阀与滑阀背面间的摩擦阻力、橡胶膜板的变形阻力和压缩稳定弹簧的阻力以及主活塞重力等向下作用力的总和,使主活塞先带动节制阀上移,然后再带动滑阀上移,此时,由于120阀的动作,阻止了制动管的空气流向副风缸,同时紧急阀上的放风阀也被阻塞。

空气只能从副风缸流向制动社,推动活塞向左边运动,然后通过基础制动装置作用到车轮上,如图3所示。

（该过程在常用制动和紧急制动时都会发生,它
们的区别就在于常用制动时,列车管的空气即不向车辆制动单元流动也不排向大气,但是紧急制动时,120阀除了有上述动作,还会通过紧急放风阀将列车管中的空气直接排向大气。

换言之,紧急制动过程中,120阀通过紧急放风阀的动作,会大大加快列车管的放风动作。

）
图3 制动位示意图
2.1.1.3缓解位
列车管经过减压,使列车进行制动后,当再次向列车管充气时,由于列车管压力持续增加,破坏了主活塞两侧在制动保压的压力平衡状态,当主活塞两侧的压力差产生的向下作用力与主活塞重力之和,超过了滑阀与滑阀座间的摩擦阻力时,主活塞便带着滑阀一起下移至充气及缓解位。

此时,副风缸得到充气,副风缸持续充气直到压力跟列车管压力一致。

一旦副风缸充满了,就可以进行第二次制动操作了。

滑阀的这次动作同时将副风缸和制动缸的通路阻断,而且制动缸排气孔打幵向外排气。

如图4所示。

此时,制动缸内被压缩的缓解弹黃要恢复原状,其复原力将活塞推回,闹瓦也就与车轮分离了。

一旦整列车的副风缸完成充气,列车管停止供气。

图4 缓解位示意图
2.1.1.4保压位
实施了常用制动后,当压力表显示达到所要求的列车管减压量时,将司机制
动手把移到保压位,使列车管停止继续减压,制动保压状态被激活,此时滑阀处于中间位置。

因为副风缸持续向制动缸供气,副风缸的压力逐渐减小直到跟列车管压力一致,此时滑阀移到保压位如图5所示。

三通阀在该位置时,切断了所有列车管、副风缸和制动缸之间的通路,而且本身还处于制动模式,制动的排气孔也是关闭的,因此,制动缸压力保持恒定,达到了一个持续的制动状态。

图5 保压位示意图
长大列车空气管系二维充气特性模型及算法
长大列车空气管系二维充气特性模型应用了现代计算流体动力学数值方法，从理论上论证了二维模型的合理性及其处理支管的有效性，即它没有使用类似一维模型引进经验公式帮助求解，并提出了一种改进的算子分裂算法求解压力速度耦合方程。

在该论文的结尾处，论文编写者将计算结果和国内外长大列车充气特性的有关试验数据进行对比分析，验证了所提出的理论和算法的正确性。

研究了列车编组辆数、管系组成、管系泄漏以及支管长度和直径大小等因素对列车管充气压力的影响。

2.2.1二维数学模型的建立
一般说来，铁道列车空气制动系统可分为两个子系统，即列车制动系统和车辆制动系统。

其中列车制动系统包括安装在机车上的司机制动阀和沿列车长度方向的列车管系。

为能有效地数值模拟充气过程，假设每节车辆的列车管仅由一根主管和一根支管组成，只需要通过调整管内壁的摩擦系数来等效模拟弯管，软管和折角塞门对列车管内空气流动状态的影响。

列车管简化示意图如下图：
图6 列车管简化示意图
管内气体随时间变化十分剧烈，是典型的非定常流动。

在假定管壁是刚性的，主管无逆流，并不计空气重力的条件下，二维模型的控制方程可由以下状态方程，连续性方程和动量方程组成。

()()14= 02n
L c T c k p U UU p F t
f F u u ρρρ⎧⎪⋅⎪⎪∂+∇•=-∇-⎨∂⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩
上式中，,∇∇•分别表示梯度算子和散度算子，在本模型中可以表示为：
,T
x y x y ⎛⎫∂∂∂∂∇=∇•=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 上述方程(),,,,L p t p U u v ρ=分别为密度、压力、时间、泄漏量和速度。

假定管内空气为满足相同状态方程的理想气体，则1=k RT
,R T ，分别为气体常数和绝地温度；n 为多变过程指数；4=c f f μ⋅，为管壁摩擦系数与等效阻尼系数的
乘积，
,c f μ分别指管壁摩擦系数和弯管、软管、支管和折角塞门的等效阻尼。

2.2.2二维数学合理性论证
在实际生活中，列车管的空气流动模型应当是一个三维模型，其轴向几何尺寸比径向尺寸大得多，可以假定在主管的横截面上的压力场和速度场相等，将二维模型看成三维方形横截面模型的纵截面模型。

首先所在圆柱型的控制容积上进行积分，再利用散度定理将部分体积分转化为面积分后可得：
()+c S S U dV UU ndS p ndS F dV t ρρΩΩ∂⋅=-⋅-∂⎰⎰⎰⎰r r
由于控制容积的长度相同，控制容积所导致的误差由横截面的面积差决定，示意图如下：
图7 列车管横截面改变示意图
D 表示主管直径，由两个横截面的周长相等可以得到()22
D dy π-⋅=，计算可得两个横截面积之差为2414
S D π-∆==。

b D 表示支管的接口宽度，类似的我们可以将支管的圆形横截面等效成方形横截面，在保证宽度一致的条件下修正支管直径为：
()0/2b b D D D D π=-⋅-
在该论文中取定0.0375 ,D m =00.025 ,b D m ==0.0179 b D m 可以得到
2.2.3基于算子分裂法的改进算法
该论文所使用的改进算法与传统算子分裂法的不同之处是将压力与速度耦合的双曲型方程变换成关于压力的抛物型方程，保证了算法的稳定性和强健性。

改进的算法中假定了相变指数,01L n p ==泄漏量。

在每个时间步压力场和速度场的求解分两步进行，但不需要进行交替迭代。

第一步：假定密度和质量流已知，并不考虑压力算子，求解速度场如下：
()()()()()
()1
114 02N N N N c T N N c U U U F t f F u u ρρ+++⎧∂⎪+∇•=-⎪∂⎨⎪⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩ 第二步：求解新的压力和速度场，不考虑对流和速度场的源项： 考虑了泄露的连续性方程：()110N N p k U t ρ++∂+∇•=∂
动量方程： ()
11
N N U p t ρ++∂=-∇∂
对动量方程向后欧拉差分离散得到：
()()()11*1N N N U U p dt ρρ+++=-∇
再将差分处理前后的两个方程进行代入整理可得：
()()11*10N N N p k U p dt t ρ+++∂+∇•-∆=∂
计算过程中先使用此方程求解压力，在利用初始状态方程修正密度，最后使
用差分处理之后的方程修正质量流和速度。

2.2.4基于有限体积法的离散方程
求解方程上述方程时，首先需要对其进行离散，包括时间离散和空间离散，因此该论文选择有限体积法，因为有限体积法推广到任意非规则的区域时比其他几种方法更容易。

此处不再对过程进行赘述，仅给出有用的信息与结论。

列车管初始端的压力可由试验数据按如下的指数函数形式拟合得到：
()()
,11ct r i f i p p p p e -=+-- 本文利用初始端压力给定，列车管终端的速度为，0并在初始端压力控制容
积上对连续性方程积分可得：
()1100000N N N N P p p kV u S u S dt ρρ++--+= 由于计算能力和相应数据的欠缺，我们暂时无法做出相应的仿真数据和图像。

因此我们暂时先对论文结果进行分析。

现有论文结果
1、随着泄漏量的增加，列车管的增压速度减慢，而且沿列车管长度方向离入口处越远的车辆其增压速度减慢得越多。

图8 泄漏量不同时的充气特性曲线
2、随主管长度增加，主管增压速度变慢，在同样充气时间下，充气压力随编组辆数的增加而减少。

图9 编组不同时的充气特性曲线
3、管内壁的粗糙度对充气特性的影响较大，随管内壁摩擦系数的增大，主管 的增压速度变慢。

图10 管壁粗糙度不同时的充气特性曲线
4、越长或支管的直径越大，充气时间会有所延长，但它们的影响不是很大。

图11 支管长度和直径不同时的充气特性曲线
牵引计算系统模型
根据牵引计算采用的列车模型,一般分为两类:一类是单质点模型,另一类是多质点模型。

两者的区别在于,单质点把整列车看成一个没有尺寸、大小的质点,所有的受力都作用在一个点上，这样的好处在于受力分析比较简单,牵引计算容易实现。

《牵规》就是以单质点模型为编写依据的，而多质点模型把整列车看成一条有长度的质点链,由于有了长度,一所以每个机车和车厢的受力情况不是时刻处于同一线路段中,由于位置的不同,各个机车和车厢的受力情况也不同,所以进行受力分析就更复杂。

与单质点相比,多质点模型描述的牵引情况
更接近实际,在有计算机辅助的情况下,越来越被人们采用。

单质点模型
传统牵引计算模型采用单质点列车模型,将列车简化为单个无尺寸的质点,考虑列车的受力变化时,将列车的受力变化放到质点上进行计算,而不考虑列车内部车辆与车辆之间的受力情况。

单质点的列车模型如图所示:
列车单质点模型
列车受到外力全部作用在质点上,主要包括:牵引力qy W 基本阻力jb W 由于曲线和坡道等产生的附加阻力ij W 制动力zd W 列车自身的重力mg 以及线路对列车的支持力N 等。

牵引计算中,前四种力是影响列车运行的基本力,由他们矢量叠加产生的合力,即列车的合力是推动列车运动状态不断变化的根源。

列车的重力的一部分构成了坡道附加阻力,另一部分通过轮轨之间的形变转化为列车的基本阻力,而线路支持力则与列车重力以及列车运行时的竖向冲击力构成一对力的平衡,使列车在水平面上运动的同时,在竖直方向上,以很小的幅度震动。

列车竖向的力量变化不是单质点牵引计算的研究范围,但列车的重力仍然是验证牵引重量的必要参数,这是牵引计算的目标之一。

单质点模型以手工计算的分析算法为基础进行构造,将列车简化成一个刚性质点,受力分析计算简便,编程实现比较容易,相比手工计算,无论从精度还是速度都要好得多。

但是,单质点的牵引电算模型也有其固有的缺点,首先,由于忽略了列车长度,也不考虑列车车辆与车辆之间的相互作用力,当列车跨越换坡点或变曲率点,列车受力时瞬间变化，这种简化较大偏离了列车实体属性,不能正确反映出列车间的纵向力(如车钩力)的变化,其次,当列车经过变坡点或变曲率点时,模型计算的受力分析与实际差距较大,成为计算误差的重要原因。

第三,中间过程描述不够准确,将列车中间运行过程假设为匀速运动形式,这与列车车辆实际的调速和运行情况不尽相符。

另外,即使将中间过程描述为牵引、惰行两种工况交替的情况,由于固定了工况转换条件,对实际的描述仍然欠佳。

最后，工况之间的转换没有时间间隔。

在实际的列车运行过程中,牵引工况转换到制动工况以前,需要先惰行一段时间,制动工况转牵引工况亦然。

这一方面是由制动缸冲压时间限制,另一方面是考虑司机操作的滞后性。

多质点模型
多质点模型对列车的建模比单质点模型更复杂,通常将列车的每一个车厢简化成一个质点,构成质点链,能够反映出列车编组对受力和牵引运行的影响,并对列车长度有所反映。

多质点列车模型如下图所示。

多质点的牵引计算仍然以分析法为计算基础,但是可以单独计算车辆间的纵向力(车钩力),并在列车经过变坡点和变曲率点时使其受力变化成渐进过程。

因此多质点相比单质点的牵引计算模型更能反映列车受力和运行情况,解算更为精确。

列车多质点模型
采用该模型进行列车牵引计算具有以下的几个优点:
l)可以按实际列车的编组情况进行逐辆编组的详细计算,包括对不同车型!制动机和缓冲装置，空中车辆的混编均可模拟。

2)对线路断面包括坡道和曲线均可精确模拟,而不需要简化计算;可考虑多个变量函数并进行实时模拟,如对制动机!缓冲装置的性能和列车管压力梯度均可仿真,而受假设条件和限制少。

3)有相当完善的人机接口功能,可随时观察和研究列车的运行过程,并便于今后进一步开发自动操纵和列车纵向动力学的计算功能。

由于多质点电算方法具有上述特点,把它作为牵引计算的发展方向犷己经被国内外所广泛采用。

综上所述,多质点数学模型要比单质点模型多考虑了列车长度,以及列车车辆与车辆之间的相互作用力,以及当列车跨越换坡点或变曲率点,列车受力时瞬间变化,在解算时更加精确。

但是多质点数学模型比较复杂,计算量大,编程比较困难。

此次研究我们采用单质点模型进行求解。