微分方程积分因子的研究

吉首大学学报（自然科学版） JOURNAL OF JISHOU UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 2007，28(5) 0次
定理３ 若方程（１）为齐次方程，则积分因子为ｐ＝五—丽，其中肘（石，ｙ），Ⅳ（并，，，）是ｍ次齐次
函数．
证明 作变换ｚ＝孝，有ｄｙ＝菇ｄｚ＋ｚｄ菇．由于
Ｍ（菇，Ｙ）＝Ｍ（茗，愆）＝戈“·Ｍ（１，ｚ），Ｎ（ｚ，Ｙ）＝Ｎ（戈，舷）＝髫“·Ｎ（１，：）， 将其代入方程（１），得到变量分离方程
菇“［Ｍ（１，名）＋Ｎ（１，ｚ）］ｄｘ＋戈“＋１·Ｎ（１，ｚ）ｄｚ＝０，
由定理主可知∥（ｚ，ｙ）＝小枷＃吖ａ（Ｙ）ｄＹ，于是罄＝朋菇），丝ａｙ＝昭（ｙ），所以
又因为 所以
警＝ｍｔｔｘ ｙ‘［ｇ（Ｙ）Ｙ＋¨１］ａａＮ石＝ｎ，ｕｘ＂ｙＳ Ｅｆ（石）菇＋ｅ＋１］．
Ｕｇ（ｙ）＝ｍ１．ｔｘ＂ｙ８＋１９（ｙ），彤（石）＝ｎｌｚｘ＂”／ｙ（ｘ）， Ｎｆ（菇）一坳（），）＝ｔｚｘ＂，［ｎｆ（菇）菇一ｍｇ（ｙ）ｙ］，
１ 预备知识 ， 定义１【ｌ】 若方程
Ｍ（茗，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ＝０
的左端恰好是某个二元函数ｕ（石，Ｙ）的全微分，则称（１）式为恰当方程． 定义２… 若存在连续可微的函数户＝产（髫，Ｙ）≠Ｏ，使得
卢（菇，Ｙ）Ｍ（髫，ｙ）ｄｘ＋∥（菇，Ｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
为一恰当方程，则称岸（ｚ，Ｙ）为方程（１）的积分因子．
ｚ’，（ｍｙｄｘ＋ｎｘｄｙ）：０有积分因子口：髫一“１广。～，方程扩，（ｂｄｘ＋ｌｘｄｙ）：０有积分因子肛：
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ｘｋｂ－纠Ｙｎ”１．选择ａ，卢使这２个积分因子重合，即
｛ｍ阳。ａ一－。ｒ一－。１：＝。ｋ６ｂ一－口ｐ一－。１』爱’
则ａ，ｐ需满足条件：当ｎｋ≠ｍｌ时，
一（筹一掣）（警＋扩２＝八》 、ａ，，
ａ茄７、搿 ’戈７
一Ｊ、髫７’
积分因子为弘：ｅ『（詈）ｄ（詈）． 推论５ 方程（１）具有特殊积分因子Ｐ＝Ｐ（ｚ４，）的充要条件为
南矿（，碧、一筹ａ，）（，警一一趔ａ菇）～，：、以ｚ扩广一），Ｙ ７ 一．，、“了７’
积分因子为卢：小，，）ｄ（，＾．
注 推论５中ａ，ｐ可用待定系数法确定． 定理２ 假设（１）式中肘（菇，Ｙ）和Ⅳ（省，Ｙ）存在以下关系：
筹一筹＝∥广｛耐ｇ（，，）ｙ＋艿＋１］一凡Ｉｆ（茹）茹＋ｅ＋１］｝，
晋一掣＝瞅名）一ｕｓ（ｙ）．
因此
２丛苎２篓±兰±：！一２９（ｚ２ｚ±查±！
ｍ’’
‘
／＇ｔ
令丝巫坠ｍ旦盟陬：枷纽龙∽：型掣以』ｌ，ｌ省ｎ丛戈：）＋＝｜ｃ｜掣ｌ｝，，，ｆ则ｇｇ（，（，，），ｄ，）＝，掣：，掣ｌｎ戈＋ｃ１．
所以五：施盘２甲，，盘学．令∥：∥－－２，则产（菇，ｙ）：石ｈ—ｚ广小ｔ（｜｜｝∈ｃ）是原方程的积分因子．故方程
摘要：对微分方程的积分因子进行了研究，找到了几类微分方程的积分因子
关键词：微分另程；积分因子；通解
中图分类号：０１７５．１４
文献标识码：Ａ
Ｖ０１．２８ Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．２００７
恰当方程可以通过公式法求出它的通解，因此如何通过积分因子将一个非恰当方程化为恰当方程就 显得尤其重要．文献［１—１５］对恰当方程Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０仅给出了关于菇和ｙ的积分因子的 充要条件，介绍了用熟记简单的二元函数全微分公式、用分项组合的方法求解微分方程的解通，但尚未对 微分方程积分因子作深入的研究．笔者在此基础上，对微分方程的积分因子进行深入研究，找到了几类微 分方程的积分因子的求法，以弥补这一工作．
第２８卷
参考文献： ［１］王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６． ［２］［德］ｗ．瓦尔特（著）．邹应（译）．常微分方程导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８． ［３］［美］Ｒ．布朗森（著）．王祖城，沈功（译）．现代微分方程的理论和习题［Ｍ］．北京：中国铁道出版社，１９８４． ［４］ 王兴涛．常微分方程［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，２００３． ［５］ 丁同仁．常微分方程基础［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，２００３． ［６］ 东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．
即
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第２８卷
鱼（ｄ！：！竺：』！！竺：丝）一鱼— （ｄ！：！！：：』！！：！竺：盟２
ａｙ
ａ戈
。
则
（办枷＊＋胁ｍ．Ｍ）ｄ菇：（出枷＊＋如ｍ．Ｎ）ｄｙ：０
为恰当方程．所以卢（石，），）：小枷＊＋』ｓ（，）ｄ，为方程Ｍ（龙，ｙ）ｄ菇＋Ⅳ（搿，，，）ｄ，，：０的积分因子．
鱼（拦：丝）一鱼（笆！盟２
ａ，，
一
ａ算
’
所以，ｕ２Ｍｄｘ＋ｐ２Ｎｄｙ＝０为恰当方程．
（２）再证：形如矿广（ｍｙｄｘ＋ｎｘｄｙ）＝０的一阶微分方程的积分因子为产（算，Ｙ）＝少。。１广。一．令 Ｍ（ｘ，Ｙ）＝产（髫，，，）眦‘广“，Ⅳ（并，Ｙ）＝产（戈，，，）／１Ｓｔ；ｚ“广．因为
警＝臌。ｙ．Ｅ警ｙ），＋产（艿＋１）］，筹＝∥广［静＋产（ｅ＋１）］，
推论２ 方程（１）具有积分因子ｐ＝产（戈２±Ｙ２）的充要条件为
（警一掣）（眠干嘶）～＝，（戈２。ｙ２），
积分因子为口：ｅ『（ｘ２ｔｙ２）ｄ（ｚ２ｔ＾．
推论３ 方程（１）具有积分因子∥＝产（形）的充要条件为
（票一ｍ。Ｎ菇）（Ｍ一胝）～＝ｆ（ｘｙ），
积分因子为卢：Ｊ（枷（圳．
推论４ 方程（１）具有积分因子Ｐ＝∥（詈）的充要条件为
ｇ（形）］）～．
定理６ 若ｒ，ｓ，ｍ，ｎ，ｒ，ｓ，ｋ，ｌ是任意常数，且ｍｌ—ｋｎ≠０，则方程
ｘｒｙｓ（ｍｙｄｘ＋ｎｘｄｙ）＋扩厂（．砂ｄｘ＋Ｉｘｄｙ）＝０
：南石。＋ｒ１广＋；＋１南ａ＋ｐ１ 有积分因子卢＝矿广（口，ｐ是常数），且通解为 。 口＋ｒ＋
口＋ｐ＋ １广＋口。 ＋１＝ｃ，’
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第５期
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆａｃｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
（责任编辑向阳洁）
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微分方程积分因子的研究
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
刘俊， 汤文娟， LIU Jun， TANG Wen-juan 曲靖师范学院数学系,云南,曲靖,655011
第２８卷第５期 ２００７年９月
吉首大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
文章编号：１００７—２９８５（２００７）０５一Ｏ００６—０５
微分方程积分因子的研究
刘俊，汤文娟
（曲靖师范学院数学系，云南曲靖６５５０１１）
［７］ 周义仓，靳祯，秦军林．常微分方程及其应用一方法、理论、建模、计算机［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３
［８］都长清，焦宝聪，焦炳照．常微分方程［Ｍ］．北京：北京师范学院出版社，１９９３． ［９］王奎实，杨德全，陈锡华．常微分方程［Ｍ］．长春：吉林教育出版社，１９８７． ［１０］ 温耀华．常微分方程［Ｍ］．重庆：西南师范大学出版社，１９８９． ［１１］ 刘志汉．常微分方程［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，１９８７． ［１２］蔡燧林．常微分方程［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２００２． ［１３］ 高素志，马遵路，曾昭．常微分方程［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０００． ［１４］庄万，黄启宇，丛树凡．常微分方程［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９９８． ［１５］王光发，吴克乾，邓宗琦．常微分方程［Ｍ］．长沙：湖南教育出版社，１９８８．
引理１… 函数ｐ（龙，，，）为（１）式的积分因享的充要条件是丛ｇ盟：丛筻堕，即
。
’
ａＶ
ａ并
Ⅳｏ警Ｚ 一Ｍ警ｄＶ＝（筹一ｄ’，警）ｄ产髫’ ．
２ 主要结论
定理１ 方程Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ十Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０具有形如户＝Ｐ［≯（菇，Ｙ）］的积分因子的充要条件为
（筹一掣）（Ⅳ墓一肘器）－１刊№∽］．
证明 方程Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０有积分因子的充要条件为
警一瓦ＤＮ＝Ｎｆ（菇）一ｕｇ（ｙ），
其中以菇），ｇ（ｙ）分别为菇，ｙ的连续函数．则方程（１）的积分因子为ｐ（茹，ｙ）：小枷；小（，）打．
证明 由Ｍ（菇，Ｙ）和Ｎ（菇，Ｙ）存在的关系得到
碧＋魄（ｙ）＝碧＋Ｎｆ（菇）．
两边同乘以出枷＊＋ｆｓ（，）“，得
小枷小Ⅲ，［警＋坛（ｙ）］＝办枷小棚７［掣＋Ｎｆ（菇）］，
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Ⅳｄ誊并 一Ｍ警ｄ＇＝，（警Ｙｏ 一筹）ａ产茗。．
令ｐ＝卢［５＆（菇，Ｙ）］，贝０有
Ⅳ嚣·譬一Ｍ嚣·琴＝（筹一ＤａＮ髫）Ｐ（≯），警＝（ＤａＭｙ一掣）（Ⅳ髦一Ｍ ｄＤｙｅ）．１ ｄｊ５．
这就证明了卢＝∥［声（菇，ｙ）］为方程的积分因子的充要条件为
（ＤａＭ，，一謦）（Ⅳ蓑一Ｍ磬）－１＝∥㈠ｙ）］．
定理５ 设函数八ｘｙ）＋ｇ（ｘｙ）连续可微且以ｘｙ）≠ｇ（ｘｙ），则方程
２万Ｄ巧习之硼· 有积分因子Ｐ
ｘｆ（ｘｙ）ｄｘ＋ 令ｘｙ＝“，则原方程可！生化［为．￡生些立＿掣ｄ菇＋ｇ（Ｍ）ｄⅡ：ｏ．
两边乘以可蕊百产硼，得
显然，这是一个恰当方程·故（２）警髫 式有一一积面Ｍ欧分毋因ｕ）兰子一可ｇ（翮Ｍ灭）ｄｉ］饷Ｍ叫＝，ｏ２叭 ．因而原方程有积分因子（拶［八夥）一
『ｎ（口＋ｒ＋１）＝ｍ（ｐ＋ｓ＋１），
【Ｚ（ａ＋ＩＤ＋１）＝ｋ（卢＋盯＋１）．‘
用菇。，，乘原方程两端，得
（ｍ，ｘ”ｒ／”“ｄｘ＋ｒｔｘ””１广”ｄｙ）＋（础＋９广”“ｄ茹＋舻＋Ｐ＋１广”ｄｙ）＝０．
积分后，有
ａ＋ｒ＋１广＋Ｊ＋１＋南戈 ———ｍ———１算
４＋９＋１，＋４＋１＝ｃ，