2021届江苏省宝应县高三上学期调研则试数学试题附答案解析

B． p1, p4
C． p2, p4
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂
D． p3, p4
直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一
个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地
球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A
且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面
4
的最小值.
20. （本题满分 12 分） 如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边
三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB
的中点，AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°， AD⊥BC． （1）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （2）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的余弦值．
15. 四棱锥 P-ABCD 的底面是一个正方形，PA⊥平面 ABCD，
PA AB 4 ，E 是棱 PA 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所
成角的余弦值是_________
16. 设 x 0, y 0, x 2 y 3 ，则 (x 1)(2 y 1) 的最小值 xy
为_______．
x
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分）
13.
已知函数
f
(x)
x x
2,
x 1பைடு நூலகம்4 3, x
x
，则
1
f (x) 的值域是________
.
14. 若函数 f (x) ln x ax2 2x 在区间 1,2 上是单调增函
数，则实数 a 的取值范围是 _________ .
22. （本题满分 12 分） 已知函数 f (x) x2 ln x 2x ．
（1）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的 x0 (1, 2) ，使得曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率 为 f (2) f (1) ；
的充分不必要条件. 则下列说法正确的是（ ）
A． p 为真命题
B． p 为假命题
C． q 为真命题
D. q 为假命题
11. 如图，在三棱锥 C－ABD 中，△ABD 与△CBD 是全
等的等腰直角三角形，O 为斜边 BD 的中点，AB＝4，
二面角 A－BD－C 的大小为 60°，以下结论正确的是
（）
A. AC⊥BD
21. （本题满分 12 分）
某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： mm ）
进行测量，得出这批钢管的直径 X 服从正态分布 N(65,4.84)． (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为 73 mm，他立即要求停止生产，
检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)由 f(x2)·f( x)>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令 t＝log2x，因为 x∈[1，4]，所以 t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切 t∈[0，2]恒成立，-------------6 分
①当 t＝0 时，k∈R；-------------------------------------8 分
12．ACD
三、填空题
13.[0，＋∞)
14. a 1 2
10
15.
5
25 2
16.
6
四、17. (本小题 10 分)
解：(1)由 x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，即 A＝(－3,1)． -------1 分
当 a＝3 时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即 B＝(－4，－2)．----2 分
的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
2. 以下四个命题：
p1 : x R,sin x cos x 2 ；
p2 : x R,sin 2x sin x
p3
:
x
2
,
2
,
1 cos 2x cos x ； 2
p4 : x 0, ,sin x cos x
其中，是真命题的为（ ）
A． p2, p3
于 x 的方程 | f (x) | x 3 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（
）
A.
(0,
3] 4
13 16
B. ( 3 ,13] 4 16
C. [
1 4
，3 4
)
13 16
D.
[
1 4
,
3 4
]
13 16
二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，计 15 分。在每小题给出的四个选
B. △AOC 为正三角形
C. 四面体 A-BCD 外接球的表面积为 32π
D. cos∠ADC= 3 4
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应 用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 布劳威尔不动点定理得名于荷兰数 学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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6. 从编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，
则恰有两个小球编号相邻的概率为（ ）
13
A.
25
2
B.
5
1
C.
2
15
D.
的最小值为，当且仅当时取等．------------12 分
20、(本小题 12 分) 【解析】（1）取棱 AC 的中点 N ，连接 MN ， ND ．又因为 M 为棱 AB 的中点，故 MN∥BC ． 所以 DMN （或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角． 在 Rt△DAM 中， AM 1 ，故
(2)如果钢管的直径 X 满足 60.6～69.4 mm 为合格品(合格品的概率精确到 0.01)， 现要从 60 根该种钢管中任意挑选 3 根，求次品数 Y 的分布列和数学期望．
参考数据：若 X～ N (, 2) ，则 P( X ) 0.6826 ； P( 2 X 2 ) 0.9544 ； P( 3 X 3 ) 0.9974 .
四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
17. （本题满分 10 分）
已知集合 A x | x2 2x 3 0 ， B x || x a | 1 ．
（1）当 a 3 时，求 A B； （2）设 p : x A ， q : x B ，若 q 是 p 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范
所以 A B ＝(－3,-2)．
---------------------4 分
(2)q 是 p 成立的充分不必要条件，所以集合 B 是集合 A 的真子集．--6 分
又集合 A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
a 1 3 a 1 3 所以 a 1 1 或 a 1 1
----------------------8 分
（3－4t）（3－t）
9
②当 t∈(0，2]时，k<
恒成立，即 k<4t＋ －15 恒成立，
t
t
9
9
因为 4t＋ ≥12，当且仅当 4t＝ ，
t
t
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3 即 t＝ 时取等号，
2
9 所以 4t＋ －15 的最小值为－3，即 k∈(－∞，－3)．--------12 分
（3）比较 f (1.18) 与 2.18 的大小，并加以证明．
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2020- 2021 学年度第一学期期初检测试题
高三数学答案
一、单项选择题
1. B． 2. A 3. C 4．A 5.B 6.D 7.B 8.D
二、多项选择题
9.AB 10.BC 11.ABC
t
19(本小题 12 分) 解不等式或或，解得，-----------------------------3 分
故原不等式的解集为；---------------------------4 分
，，，--------6 分
，，，， ，
p2
2
p
2
1
2q 2
4
2 1
p2
q
p2 q
---------------------10 分
宝应县 2020-2021 学年度第一学期期初调研测试试题
高三数学
（全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
考生注意：请在答题纸上作答，否则无效。
一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，计 45 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合 A (x, y) | x2 y 2 1 ，B x, y y 2x 1 ，则集合 A B 中元素
DM AD2 AM 2 = 13 ．----------2 分 因为可证 AD 平面 ABC ， 故 AD AC ．在 Rt△DAN 中， AN 1 ，故
DN AD2 AN 2 = 13 ．------------------4 分
1 MN 在等腰三角形 DMN 中， MN 1 ，可得 cos DMN 2
围．
18. （本题满分 12 分）
已知函数 f (x) 3 2log 2 x ， g(x) log2 x . （1）当 x [1, 4] 时，求函数 h(x) [ f (x) 1] g(x) 的值域；
（2）如果对任意的 x [1, 4] ，不等式 f (x2) f ( x ) k g(x) 恒成立，求实数 k 的
f (x) ，存在一个点 x0 ，使得 f x0 x0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数. 下列函
数中是“不动点”函数的有（ ）
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A. g x x2 x 3
B. f x 2x x
C.
f
x
2x2 1, x
|
2
x
|,
x
1 1
D. f x 1 x
28
7.
已知函数
f (x) x2 2ax a 在区间 ,1 上有最小值，则函数 g(x)
f (x)
在
x
区间 1, 上一定（
）
A．是减函数
B．是增函数
C．有最小值
D．有最大值
8.
已知函数
f
(
x)
x2 1
4a, loga |
x x
0 1 |,
x 0 （ a 0 且 a 1）在 R 上单调递增，且关
13 ．----------5 分
DM 26
所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 13 26
．--------------------6 分
（2）连接 CM ，因为 △ABC 为等边三角形， M 为边 AB 的中点，故 CM AB ，
CM 3 ．又因为平面 ABC ⊥平面 ABD ，而 CM 平面 ABC ，故 CM 平面 ABD ． 所以， CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角．------------------8 分
与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 43°，则晷
针与点 A 处的水平面所成角为（
A. 137° B. 47°
C. 43°
） D. 21.5°
4．函数 y ln | x | x2 的图象大致为（ ）
5. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从此诗句中
你认为“破楼兰”是“还家乡”的（ ）
取值范围．
19. （本题满分 12 分）
设函数 f (x) |1 x | | x 3 | ．
（1）求不等式 f (x) 1的解集； （2）若函数 f (x) 的最大值为 m ，正实数 p, q 满足 p 2q m ，求
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p2
2p p2
2
1 2q2 q
解得 0≤a≤2，即实数 a 的取值范围是[0,2]．
----------------10 分
18. (本小题 12 分) 解析：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为 x∈[1，4]，所以 log2x∈[0，2]． 故函数 h(x)的值域为[0，2]．------------------------------------4 分
项中有多项符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
9. 设集合 M y y ex 4 ， N x y lg x 23 x ，则下列关系正确
的是（ ）
A. 痧R M R N
B. N M
C. M N
D. ðR N M
10. 已知两个命题 p ：对任意 x R ，总有 2x x2 ； q ：“ ab 1 ”是“ a 1,b 1 ”