第一章统计学原理

2 2 1 2
X ,Y
F
X / n1 Y / n2
1,
2
1, 2


如果 t ~ t (n),则t 2 ~ F (1, n) 如果 F ~ F (n , n ) ，则 F分布在回归方程的显著性检验中具有很重 要的作用。
1 2
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
2 n 2 i 1 i
n 2 i 1 i
1.1.3 变异系数



如果两组数据的计量单位相同，均值一样， 可以用标准差来比较两组数据的离散程度。 当两组数据的计量单位不同或均值不同时， 不能直接利用两组数据的标准差来分析两 组数据的离散程度。 变异系数 V S ，分析离散程度 x
1.1.4 偏度和峰度
通过抽样或者查阅统计年鉴得到的原始数 据，一般是杂乱无章的，很难从中直接看 出有价值的东西。需要对原始数据进行整 理，提取出感兴趣的东西。散点图、饼图 直方图等方法是直观表达数据的常见方法。 统计学中最主要的提取信息的方法：对原 始数据进行一定的运算，得到某些代表性 的数字，足以反映出数据某些方面的特征， 这种数字称为统计量。
10,50 10,10 10,4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1.2.6 自由度



自由度：可以自由取值的数据的个数，或 者指不收任何约束，可以自由变动的变量 的个数。 一共有 n 个数据，有 n 个自由度。用 S 估 计总体方差 2 ，自由度本应该为n，但是总 体均值也未知，则用 x 去估计，用掉一个 自由读，故只有 n 1 自由度。 自由度是对随机变量的二次型而言的，自 由度就是二次型矩阵的秩。
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2


加法原理：设 X1, X 2 ,, X k 是相互独立的随机 变量，且 X ~ 2 (n ),i 1,2,, k i i k 则 2
X
i 1
i
~ (n1 n2 nk )

设 X1, X 2 ,, X n 是相互独立的随机变量，并且
1.1 统计数据的整理与描述



统计学是研究数据规律的方法论学科，统 计数据是统计学研究的主要内容。 借助统计学方法研究任何实际问题，首先 就是收集数据，其一般方法有：查阅各种 统计年鉴和报表，运用某种调查方法获取 欲研究问题的有关数据（抽样调查）。 抽样调查的方法多，专业性强，相关研究 者需要学习有关知识。
1.2.2 用EXCEL绘图



验证数据的正态性 例：（数据见p6） 步骤： 1、对销售额升序排列,记为 X ( j) 2、计算(j-0.5)/24 3、根据公式(j-0.5)/24=P( )= ( z ) ,求出正 态分位数
Z zi
i


在D2单元格输入”=normsinv(C2)”,回车，在 单击D2单元格，鼠标指向单元格下角填充 控点，按住鼠标左键往下拖至DC25单元格， 这样，计算出C2：C25区域中概率值对应的 标准正态分位数 4、数据---数据分析—分析工具-回归-确定， 以zi为纵轴，X(j)为横轴。（ X(j)，zi )在一条 直线附近，可以说该组数据基本遵从正态 分布。
1 2 n 1 2 n
1.3.2 区间估计


仅靠点估计难以评价待估计值与真值之间 的接近程度，即无法通过点估计来度量估 计值的可信程度，于是引出区间估计。 给出一个区间（置信区间）并预测真正的 参数以一定概率存在于这一区间的方法称 为区间估计。覆盖真值的概率称为置信水 平。



2 、假设检验的一些基本概念
1.原假设和备择假设 原假设：用H0表示，即虚无假设、零假设、无差异假设； 备择假设：用H1表示，是原假设被拒绝后替换的假设。

若证明为H0为真，则H1为假； H0为假，则H1为真。

对于任何一个假设检验问题所有可能的结果都应包含在两个 假设之内，非此即彼。
2.检验统计量 用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。
1 2 n



估计量是样本 X1, X 2 ,, X n 的函数，它不包含 未知参数，也就是说T是一个作估计用的统 计量，当样本获得样本观测值 ( x , x ,, x ) ， 就用 T ( x , x ,, x ) 作为未知参数的估计值。 对于不同的样本观测值，所得的估计值是 不同的。 估计方法在后面结合实例介绍。
1.2 几种重要的概率分布



1.2.1 正态分布 1.2.2 用EXCEL绘图 1.2.3 分布 1.2.4 t 分布 1.2.5 F分布 1.2.6 自由度
2
1.2.1 正态分布

正态随机变量的概率密度函数
f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
, xR

与参数估计相同，需要考虑： 总体是否正态分布； 大样本还是小样本； 总体方差已知还是未知。
3.显著性水平 用样本推断H0是否正确，必有犯错误的可能。 原假设H0正确，而被我们拒绝，犯这种错误的概率用表示。 把称为假设检验中的显著性水平( Significant level), 即决策 中的风险。


当 当 n 30，分散程度比标准正态分布大，随 着n的增大，逐渐接近标准正态分布，当 n ，接近标准正态分布。
n2
E (t ) 0 Var (t )
n n2
0.4 1 4 10
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1.2.3

2
分布
n i 1 2 i

如果从标准正态分布 N (0,1) 的总体中得到n 个独立的随机变量 X1, X 2 ,, X n ，则 X 得到 2 自由度为n的 分布，记为 X ~ 2 (n) 数学期望 E( X ) n ,方差 Var( X ) 2n
1.4 1 2 3 1.2 1



为了推断总体的某些特征，需要从总体中 按一定的抽样技术抽取若干个体，将这一 抽取过程称为抽样。 所抽取的部分个体称为样本，样本中所含 个体的数量称为样本容量。 例如在研究居民家庭收入时，随机抽取 1000户来进行调查，这1000户就是一个样 本，样本容量就是1000。
1.1.2 统计量


当给定常数 ,0 1 若有 P(ˆ1 ˆ2 ) 1 称 ˆ ~ ˆ 覆盖真值的概率为 1 1 为置信水平或者置信系数 为显著性水平 ˆ , ˆ ) 置信区间 ( ˆ , ˆ 称为置信区间下限和上限
1 2
1
2
1Hale Waihona Puke 21.3.3 估计量的评价标准




统计量是样本的函数---它不依赖于任何未知 参数。 最重要的常用统计量：样本均值和样本方 差。 n 设 x1, x2 ,, x 是一组独立的随机样本，样本 n 1 xi 均值 x n i 1 1 S ( x x) n 1 样本方差 1 S 样本标准差 分散（离散） ( x x) n 1 程度的度量
X i ~ N (0,1),i 1,2,, n

则
2 2 X ~ (n) i i 1
n
1.2.4 t分布

设随机变量 则随机变量 布，记为
t
X ~ N (0,1)
t
， ， 相互独立 X n 的 t分 遵从自由度为 Y /n
Y ~ 2 (n)
X ,Y
X ~ t ( n) Y /n
实用回归分析
柳成林





参考教材：《实用回归分析》（第二版） 何晓群 闵素芹 高等教育出版社 计划学时：54 考查课 成绩评定：平时成绩（课后作业，点名）+ 大作业+期末随堂测试（开卷） 没安排上机课，所涉及的excel和spss软件 自学，并在大作业时应用
第一章 统计学基础


1.1 统计数据的整理与描述 1.2 几种重要的概率分布 1.3 参数估计 1.4 假设检验



1.1.1 总体与样本 1.1.2 统计量 1.1.3 变异系数 1.1.4 偏度与峰度 1.1.5 累积频数分布
1.1.1 总体与样本


通常把所要调查研究的事物或现象的全体 称为总体，而把组成总体的每个元素（成 员）称为个体，一个总体中所含的个体的 数量称为总体的容量。 例如：研究某城市居民的家庭收入情况， 那么这个城市所有家庭的首日状况就是我 们研究的总体，而每个家庭的收入状况就 是个体。
1.4.1假设检验中的基本问题
1、假设检验中的小概率原理 2、假设检验的一些基本概念 3、假设检验的步骤
1、 假设检验中的小概率原理

小概率原理:指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎 不可能发生的。小概率指p<5%。

假设检验的基本思想是应用小概率原理。
例如:某厂产品合格率为99%,从一批(100件)产品中随机抽取 一件,恰好是次品的概率为1%。随机抽取一件是次品几乎是 不可能的, 但是这种情况发生了,我们有理由怀疑该厂的合格 率为99%.这时我们犯错误的概率是1%。