第二章平面力系1

BC杆为二力杆，受力如图 FB
FA
40
AB 杆受力如图
思考题：
1.两个力三角形中三个力的关系是否一样？
2.图（a）（b）（c）的约束力有何不同？
41
在刚体的A、B、C、D四点作用有四个大小相 等的力，此四个力沿四边组成封闭的力多边形 ，此刚体是否平衡？
若F1、F1，都改变方向，此刚体是否平衡？
42
（2）力偶矩：
是力偶使物体转动的效应的度量。
A
C
平面力偶 用 M ( F , F ) 表示，
简记为 M
F’
F
d
M ( F , F ) Fd


B
平面力偶是代数量，有正负号规定： 逆时针为正；顺时针为负
●
平面力偶 对物体的作用效应取决于力偶的力偶矩，
即：力偶矩的大小与力偶的转向。
不计各构件的重量与接触处的摩擦。 试求工件 H 所受的压紧力。
1、B点受力如图 FNB
B
F FBC
38
2、C 点:求FCE FBC
C
FCD
FCE 3、E 点:求FH
E
FNE
FH
FCE
FH 16.58kN
39
思考题 在图示结构中， 各构件的自重略去不计，在 构件AB上作用一力偶矩为M 的力偶，求支座 A 和 C 的 约束力。
16
合力矩定理
M o (FR ) M o (F1 ) M o (F2 ) M o (Fn ) M o (Fi )
合力矩定理应用 1. 当合力对某点之矩不方便求时，利用分力求；
2. 利用合力矩定理求合力作用线也很方便；
3. 合力矩定理适用于有合力存在的任何力系。
M1 FA 8 kN r sin 30
34
再取摇杆为研究对象，受力如图所示。
M 0
r M 2 FA 0 sin
M 2 4 M1 8
M1 FO FB FA 8kN r sin 30
35
思考题
直角弯杆ABCD与直杆DE及EC铰接如图,作用在杆 DE上力偶的力偶矩 M=40kN.m,不计杆件自重,不计 摩擦,尺寸如图.求：支座A、B处的约束力及杆EC的 受力。 1、系统整体受力分析
求: 画出AB和BDC杆的受
力图;并求A, C处的约束力.
解：
1. 取AB杆为研究对象; AB杆为二力杆，受 力如图。 2. 取BDC杆， B 处受力的方位可 以判断出。
32
问题：能否确定C处受力的方位？ 3. 计算
M 0
力偶臂EC为：
M FB EC 0
EC EH HC r cos 45 2r cos 45
已知：P =10 kN，AC = CB， 角度如图，各杆自重不计。 求：A处反力和CD杆受力。 解： 取AB为研究对象， 建立坐标如图。 y A E
X 0
FA cos FC cos 45 0

C FC
P
45 o
FA F FAx x Ay
B
Y 0
FA sin FC sin 45 P 0
M o (F ) 0
F 0 无意义 h0 力的作用线通过矩心
15
3. 合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一 点的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。
即：若
FR F1 F2 Fn
则： M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 ) M o ( Fn ) M o (Fi )
4
平衡的几何条件： 力多边形自行封闭
几何法的优点：直观； 缺点：求解需作图，不准确且麻烦。
5
3.平面汇交力系合成与平衡的解析法
(1)力在正交坐标轴上的投影
X F cos Y F cos F sin

力在坐标轴上的投影是代数量； 投影的正负号。
已知投影求力的大小和方向：
即： 受平面汇交力系作用的刚体，平衡
平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可解两 个未知量。
10
X 0 Y 0 X 0 Y 0
用平衡方程解题的一般步骤：
1、确定研究对象，画出研究对象的受力图；
2、建立坐标系（默认为从左到右，从下到上）；
3、列出平衡方程； 4、解出未知量。
11
例题1
18
3. 力偶和力偶矩
（1）力偶的概念
力 偶 : 由大小相等,方向相反,不共线(平行) 的两个力所组成的力系。
用 ( F , F ) 表示。

A
力偶臂： 二力作用线之间的距离 d . 力偶作用面：
d F
B
F’

二力所决定的平面
19
由实践知, 力偶对物体产生转动效应。
力偶实例
F1 F2
20
F3d F1d1 , F4d F2d 2 合成： F F F , F F F 3 4 3 4
合力偶的力偶矩为：
F’
F
30
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4d F1d1 F2d 2 M1 M 2
多个力偶的合成
M M1 M 2 M n M
研究方法 ：
1 几何法（矢量法） 2 解析法（投影法)
2
1.平面汇交力系合的几何法
一、合成
1、两个力的合成
用平行四边形法则即可
FR F1 F2
2、多个力的合成 以四个力的情况为例
戥
F2 F1 F3 F4
FR FR
力多边形； 合力FR 为力多边形 的封闭边。
作用线通过汇交点A。
28
5.平面力偶系的合成与平衡条件
（1）平面力偶系的合成
两力偶的合成
设有两个力偶 M1 和 M2，则它们的合成结果
为一合力偶，合力偶矩为：M = M1 + M2
即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的 代数和。
29
证明：
M1 F1d1
M 2 F2d 2
取：AB = d
F4
F3’
F3
F4’
FR F1 F2 F3 F4
3
合成的结论 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的 作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的 封闭边表示。 n FR F1 F2 Fn Fi F
i 1
2. 平衡的几何条件 受平面汇交力系作用的刚体，平衡 无合力存在
即：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶 的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和。 （2）平面力偶系的平衡条件
受平面力偶系作用的刚体平衡的 充分必要条件是各力偶的力偶矩的代数和为零。 平面力偶系 平衡
M 0
31
平面力偶系只有此方程可解一个未知量。
例题
已知: 结构受力如图所示, 图中M, r均为已知,且 l = 2r.
17
例题 如图所示，刚架上 作用有力F， 试分别计算力对点A和B的矩。 Fx
Fy
M A(F) M A(Fx ) M A(Fy ) Fx b Fy 0 Fb cos α
M B (F) M B (Fx ) M B (Fy ) Fx b F y a Fb cos α Fa sin α
图(a)、(b)、(c)中，A处的约束力是否相同？
（杆件的自重不计）
600
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44
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45
本章作业:
第1次
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由合力投影定理，合力的投影为：
(2)合成
FR x X , FR y Y
合力的大小和方向为： F
F F , tan
2 Rx 2 Ry
FR y F 9 Rx
4.平面汇交力系平衡方程
受平面汇交力系作用的刚体，平衡
FR 0
而
FR F
2 Rx
F
2 Ry
FR 0
FR x 0 FR y 0
FA F FAx x Ay
C C
B B
说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反。
解题要求:(1)对象；（2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇
交）；(3)坐标；（4）平衡方程；
（5）求解 。
13
§2 - 2 平面力对点之矩 * 平面力偶
1. 力对点的矩（力矩） 力矩：是力使物体绕一点 转动的效应的度量。 定义：
21
力偶的基本性质:
1. 力偶没有合力，不能与一个力等效，也不 能用一个力来平衡。
(力偶不能用一个力来平衡。)
2. 力偶本身不平衡,力偶只能用力偶来平衡。 (由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡)
22
讨论 是否与力偶只能用力偶来 平衡矛盾?
23
4.同平面内力偶的等效定理 作用在同一平面内的两个力偶， 等效 两力偶的力偶矩相等
M 0
M FA AB cos 30 0
0
20 3 FA FB kN 3
FA
FB
36
2、DE杆受力分析如图
FD
M 0
M FEC DE sin 45 0
0
450
FEC 10 2kN
（ 杆 EC 受压）
FEC
37
思考题 液压夹紧机构，若作用在活塞A上 的力F =1kN， 10,
力系分类：
平面汇交力系 平面力系 平面力偶系 平面任意力系 空间汇交力系 空间力系 空间平行力系(空间力偶系) 空间任意力系 专门问题 考虑摩擦时的平衡问题 第 2 章
第 3章
第 4章
1
§2-1平面汇交力系(合成与平衡) 几何法 解析法 讨论平面汇交力系两个问题: 1 合成（简化） 2 平衡
由力偶等效定理可得两个很有用的推论：
24
力偶可以在其作用面内任意移动和转动， 推论1 而不改变力偶对刚体的作用效应。
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内 任意移动，其对刚体的作用效应不变。
25
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面 内任意转动，其对刚体的作用效应不变。
*力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。

M o ( F ) Fh
o 力矩中心，简称矩心； h 力臂； 正负号规定：逆时针为正；顺时针为负； 平面内力对点的矩是代数量；

力矩的单位：N ·m ，或 kN ·m 。
14
M o ( F ) Fh
●力矩的几何表示： Mo ( F ) = ±2 OAB面积 ●讨论：力矩为零时？
12
X 0 Y 0
由几何关系：
FA cos FC cos 45 0 FA sin FC sin 45 P 0
E
1 5 , sin
cos
2 5
y A A
解出：

FC F C
P P
45 o
FA 5 P 22.3 (kN) ,
FC 2 2 P 28.28 (kN)
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推论2 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可
以同时改变力偶中力和力偶臂的大小， 而不改变力偶对刚体的作用效应。
F
F´
F/2
F´/ 2
此两推论只对同一个刚体成立. 注意：
27
由此可知:
力偶中力的大小、力偶臂的长短， 不是力偶的特征量
只有力偶矩(大小和转向)才是力偶作用的唯一度量。
或
在习题中，一般用M表示力偶矩的大小（不加正 负号）用箭头表示力偶的转向。
即：
Fx X , Fy Y
Y
X
8
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的 代数和。 即： 若 则
FR F1 F2 Fn FR x X 1 X 2 X n FR y Y1 Y2 Yn Y
F
X Y ,
2 2
X cos , F Y cos F
6
F Fx Fy
X i Y j

注意 1、分力与投影的区别与联系。
*分力是矢量，
投影是代数量。 *当坐标轴正交时，大小相等。
7

注意分力与投影的区别与联系。
* 当坐标轴非正交时，大小也不相等。

解出：
3 2
H 45º
2r
2M FB FC FA 3r
45º
求出的值为正，说明实际方向与所设方向相同。
33
例题
M1 2kNm
OA r 0.5m 30
求作用于摇杆上力偶的矩 及铰链O、B处的约束力。
解：取圆轮为研究对象， 受力如图所示。
M 0
M1 FAr sin 0