寿险精算学课件 (3)
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一个分数年内死亡服从均匀分布 求 P(4) ( Ax )
解5.7
0.05 0.05 Ax Ax (1 dax ) 1 1.68 0.9428 ln1.05 1.05 i i
2
(
)2
2
1 2 )
0.25
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
2( S -1) 2
]- E (v )
S -1 2
2
2i i i - 2
方差的确定
Var ( L) Var ( Z s ) E ( Z ) E ( Z s ) Var ( Z k )
2 k 2
2i i i 2 i 2 2 - 2 Ax 2 Ax - ( Ax ) 2 2 2 2i i 2 i 2 Ax - 2 ( Ax ) 2
解5.4
常见险种的完全离散净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿 保险
保费公式
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a (M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x n ) n n n
2
da60
2
0.2153 0.4097 2 0.025 10 1.025
2
0.1945
例5.4
一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000
元，此保险有两种缴费方案：
方案一：第一年缴费600元，第二年缴费400元； 方案二：每年缴费 P ；
已知 d =0.05，计算年缴保费 P 。
m
ax , ax:n ,
mn
ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付，
生存受益期末支付）
Ax:n
保费的分类
按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
按保费缴纳的方式分：
一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费
P(m) 2 2 (3)Var ( L) (1 ( m ) ) [ Ax ( Ax ) 2 ] d
函数关系
（） 1 P
(m)
( Ax )
i
P
( m) x
（2）P
(m) x
Px (m) (m)(d Px )
例5.7
ax 1.68 ，被保险人在每 已知 i 0.05 ，
t
Ax E ( L) 0 Ax P ( Ax )ax 0 P( Ax ) ax
方差确定
1 v k 1 1 v k 1 ( k 1) ( s 1) Var ( L) Var[v P( Ax ) ] Var[v P( Ax ) ] d d P ( Ax ) k 1 Var[(v s 1 )v ] d P ( Ax ) 记Z s v s 1 ，Z k v k 1 d 由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
种类
完全连续净均衡保费
• 死亡即刻给付 • 连续缴费
完全离散净均衡保费
• 死亡年末给付 • 离散缴费
半连续净均衡保费
• 死亡即刻给付 • 离散缴费
完全连续年缴净均衡保费的厘定
假定条件
支：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险 收：被保险人从保单生效起按年连续交付保费 P( Ax )
假设条件
支：死亡年末赔付1的 终身寿险 收：每年缴费M次
厘定过程
(m) （） 1 L l (T ) v t P ( m ) ( Ax ) ak 1
(2) E ( L) 0 Ax P
(m)
( Ax )a
(m) x
0 P
(m)
Ax ( Ax ) ( m ) ax
h
x： Px Ax a M x ( N x N xh ) h
h年缴费n年两全保 险 n年生存保险
m年递延终身生存 保险
h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x h ) n n h
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
h
P ( Ax ) Ax ax： h
P ( Ax： ) Ax： ax： n n h
h
n年生存保险
m年递延终身生存保险
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
完全离散纯净均衡保费厘定
假设条件
支：死亡年末给付1单位终身人寿保险 收：被保险人从保单生效起按年期初缴费Px
P( Ax ) Ax ax： h
h
P( Ax： ) Ax： ax： n n h
P( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
每年缴纳数次保费的均衡净保费的厘定
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
半连续净均衡年保费的厘定
假定条件
支：死亡即刻赔付1的终身寿险 收：被保险人从保单生效起按年期初缴费
厘定过程
L v P ( Ax )aK 1
t
所以Z s与Z k 独立,则 Var ( L) Var ( Z s Z k ) E (Z s Z k )2 E (Z s Z k )
2 2 2 2
E ( Z s2 ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) E ( Z k )
E ( Z s2 ) E ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z k )
2 2
ax Ax 2 2 2 （ ）[ Ax ( Ax ) ] ax
Ax ( Ax ) 2 2 ( ax )
2
例5.1
假定寿命服从 110 的均匀分布， 常数利息力 ，对于完全连续 0 . 05
的终身寿险 求 1000P( Ax )
解5.1
A40 v fT (t )dt e
期缴保费厘定过程
L l (T ) v P ( Ax )at
t
Ax E ( L) 0 Ax P ( Ax )ax 0 P ( Ax ) ax
损失变量方差的厘定
Var ( L) Var[v (1
t
P
)
P
]
2
(1
P
) [ Ax ( Ax ) ]
2 2 2
例5.5
某人在2006年1月1日买了一份10年定期寿
险，死亡即刻给付10000元，保费为前5年 每年年初缴费500元。假定此人在2008年6 月30日死亡，预定利率为5%，求保险公司 的损失在签单日的现时值 。
解5.5
L 10000 v 10000 v
2.5
500 a3 1 v 500 d
厘定过程：
(1) L v K 1 Px aK 1 ,K 0,1, 2,
Ax (2) E ( L) 0 Ax Px ax 0 Px ax
2 2 Px 2 2 A ( A ) x (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) 2 ] x 2 d (dax )
2
2
Var ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) Var ( Z k )
2
方差的确定
终身寿险场合有 E ( Z ) Ax，Var ( Z k ) Ax - Ax
2 k 2 2 2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有 s -1 P( Ax ) i P( Ax ) E ( Z s ) E v d d s -1 P( Ax ) s -1 Var ( Z s ) Var v Var ( v ) d E[v
期缴保费
中英文单词对照
均衡净保费
level net premium
本章结构点
1
期缴净保费
2
期缴毛保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax ,
1 A , A , m x x:n mn
Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付，
生存年金受益期初支付）
Ax:1 , ax , n
期缴保费的两个特点
期缴净保费的实质是被保险人采用生存年
金的方式缴纳保费 它和趸缴净保费一样，都要满足净均衡原 理，即保险人的潜在亏损均值为零。
记L为保险人潜在亏损变量 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值）
净均衡保费的定义与种类
定义
在寿险实务中，有一种特殊的期缴净保费使用最为广 泛，这就是等时间间隔缴纳的等额净保费，称之为均 衡净保费 。
常见险种的半连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P( Ax ) A ax： ： n x： n n
P( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
h年缴费终身人寿保险
h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
2.5 3
2.5
10000 1.025 7938
1 1.025 500 0.025 /1.025
3
例5.6
已知
i 0.025 A x:n 0.750 n E x 0.500
i 0.025
假定死亡在年内服从均匀分布，求
1000P( Ax:n )
解5.6
t 0 0 70 t 70 0 0
Fra Baidu bibliotek70
70
0.05t
a40 v t p40 dt e0.05t
1 dt 0.2771 70 70 t dt 14.458 70
0.27711000 1000 P A40 19.17 14.458
例5.2
已知利息力为0.06，死亡力为0.04 求
(1) P( Ax ) (2) Var ( L)
解5.2
在常数死亡力和常数利息力下，有 1 2 ax , Ax ， Ax 2
所以 Ax (1) P ( Ax ) 0.04 ax
Ax ( Ax ) 2 2 (2)Var ( L) 2 ( ax ) (
例5.3
假设由某寿险公司的经验生命表可得 ：
A60 0.4097 ， A60 0.2153
2
a60 10 ，i 0.025
求
（） 1 P60 （2）Var ( L)
解5.3
A60 0.4097 P60 0.04097 a60 10
2
Var ( L)
A60 A60
期缴保费产生的原因
在前两章中，我们分别介绍了死亡赔付变量和生
存赔付变量的精算现值厘定。这个精算现值实际 上是以保单生效日为时间坐标，计算保险人对被 保险人未来赔付的期望值。这个精算现值就是该 被保险人的趸缴净保费。 有时由于风险责任大或者受益金额高，会使得趸 缴净保费的数额非常庞大，对于被保险人而言要 一次性缴纳这么多钱会有困难。为了分解被保险 人一次性缴费的压力，保险公司会允许被保险人 分期缴纳这笔保费，这时的保费称为期缴保费。
解5.7
0.05 0.05 Ax Ax (1 dax ) 1 1.68 0.9428 ln1.05 1.05 i i
2
(
)2
2
1 2 )
0.25
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
2( S -1) 2
]- E (v )
S -1 2
2
2i i i - 2
方差的确定
Var ( L) Var ( Z s ) E ( Z ) E ( Z s ) Var ( Z k )
2 k 2
2i i i 2 i 2 2 - 2 Ax 2 Ax - ( Ax ) 2 2 2 2i i 2 i 2 Ax - 2 ( Ax ) 2
解5.4
常见险种的完全离散净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿 保险
保费公式
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a (M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x n ) n n n
2
da60
2
0.2153 0.4097 2 0.025 10 1.025
2
0.1945
例5.4
一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000
元，此保险有两种缴费方案：
方案一：第一年缴费600元，第二年缴费400元； 方案二：每年缴费 P ；
已知 d =0.05，计算年缴保费 P 。
m
ax , ax:n ,
mn
ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付，
生存受益期末支付）
Ax:n
保费的分类
按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
按保费缴纳的方式分：
一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费
P(m) 2 2 (3)Var ( L) (1 ( m ) ) [ Ax ( Ax ) 2 ] d
函数关系
（） 1 P
(m)
( Ax )
i
P
( m) x
（2）P
(m) x
Px (m) (m)(d Px )
例5.7
ax 1.68 ，被保险人在每 已知 i 0.05 ，
t
Ax E ( L) 0 Ax P ( Ax )ax 0 P( Ax ) ax
方差确定
1 v k 1 1 v k 1 ( k 1) ( s 1) Var ( L) Var[v P( Ax ) ] Var[v P( Ax ) ] d d P ( Ax ) k 1 Var[(v s 1 )v ] d P ( Ax ) 记Z s v s 1 ，Z k v k 1 d 由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
种类
完全连续净均衡保费
• 死亡即刻给付 • 连续缴费
完全离散净均衡保费
• 死亡年末给付 • 离散缴费
半连续净均衡保费
• 死亡即刻给付 • 离散缴费
完全连续年缴净均衡保费的厘定
假定条件
支：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险 收：被保险人从保单生效起按年连续交付保费 P( Ax )
假设条件
支：死亡年末赔付1的 终身寿险 收：每年缴费M次
厘定过程
(m) （） 1 L l (T ) v t P ( m ) ( Ax ) ak 1
(2) E ( L) 0 Ax P
(m)
( Ax )a
(m) x
0 P
(m)
Ax ( Ax ) ( m ) ax
h
x： Px Ax a M x ( N x N xh ) h
h年缴费n年两全保 险 n年生存保险
m年递延终身生存 保险
h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N x h ) n n h
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
h
P ( Ax ) Ax ax： h
P ( Ax： ) Ax： ax： n n h
h
n年生存保险
m年递延终身生存保险
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
完全离散纯净均衡保费厘定
假设条件
支：死亡年末给付1单位终身人寿保险 收：被保险人从保单生效起按年期初缴费Px
P( Ax ) Ax ax： h
h
P( Ax： ) Ax： ax： n n h
P( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
每年缴纳数次保费的均衡净保费的厘定
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
半连续净均衡年保费的厘定
假定条件
支：死亡即刻赔付1的终身寿险 收：被保险人从保单生效起按年期初缴费
厘定过程
L v P ( Ax )aK 1
t
所以Z s与Z k 独立,则 Var ( L) Var ( Z s Z k ) E (Z s Z k )2 E (Z s Z k )
2 2 2 2
E ( Z s2 ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) E ( Z k )
E ( Z s2 ) E ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z k )
2 2
ax Ax 2 2 2 （ ）[ Ax ( Ax ) ] ax
Ax ( Ax ) 2 2 ( ax )
2
例5.1
假定寿命服从 110 的均匀分布， 常数利息力 ，对于完全连续 0 . 05
的终身寿险 求 1000P( Ax )
解5.1
A40 v fT (t )dt e
期缴保费厘定过程
L l (T ) v P ( Ax )at
t
Ax E ( L) 0 Ax P ( Ax )ax 0 P ( Ax ) ax
损失变量方差的厘定
Var ( L) Var[v (1
t
P
)
P
]
2
(1
P
) [ Ax ( Ax ) ]
2 2 2
例5.5
某人在2006年1月1日买了一份10年定期寿
险，死亡即刻给付10000元，保费为前5年 每年年初缴费500元。假定此人在2008年6 月30日死亡，预定利率为5%，求保险公司 的损失在签单日的现时值 。
解5.5
L 10000 v 10000 v
2.5
500 a3 1 v 500 d
厘定过程：
(1) L v K 1 Px aK 1 ,K 0,1, 2,
Ax (2) E ( L) 0 Ax Px ax 0 Px ax
2 2 Px 2 2 A ( A ) x (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) 2 ] x 2 d (dax )
2
2
Var ( Z s ) E ( Z k2 ) E ( Z s ) Var ( Z k )
2
方差的确定
终身寿险场合有 E ( Z ) Ax，Var ( Z k ) Ax - Ax
2 k 2 2 2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有 s -1 P( Ax ) i P( Ax ) E ( Z s ) E v d d s -1 P( Ax ) s -1 Var ( Z s ) Var v Var ( v ) d E[v
期缴保费
中英文单词对照
均衡净保费
level net premium
本章结构点
1
期缴净保费
2
期缴毛保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax ,
1 A , A , m x x:n mn
Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付，
生存年金受益期初支付）
Ax:1 , ax , n
期缴保费的两个特点
期缴净保费的实质是被保险人采用生存年
金的方式缴纳保费 它和趸缴净保费一样，都要满足净均衡原 理，即保险人的潜在亏损均值为零。
记L为保险人潜在亏损变量 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值）
净均衡保费的定义与种类
定义
在寿险实务中，有一种特殊的期缴净保费使用最为广 泛，这就是等时间间隔缴纳的等额净保费，称之为均 衡净保费 。
常见险种的半连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P( Ax ) A ax： ： n x： n n
P( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
h年缴费终身人寿保险
h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
2.5 3
2.5
10000 1.025 7938
1 1.025 500 0.025 /1.025
3
例5.6
已知
i 0.025 A x:n 0.750 n E x 0.500
i 0.025
假定死亡在年内服从均匀分布，求
1000P( Ax:n )
解5.6
t 0 0 70 t 70 0 0
Fra Baidu bibliotek70
70
0.05t
a40 v t p40 dt e0.05t
1 dt 0.2771 70 70 t dt 14.458 70
0.27711000 1000 P A40 19.17 14.458
例5.2
已知利息力为0.06，死亡力为0.04 求
(1) P( Ax ) (2) Var ( L)
解5.2
在常数死亡力和常数利息力下，有 1 2 ax , Ax ， Ax 2
所以 Ax (1) P ( Ax ) 0.04 ax
Ax ( Ax ) 2 2 (2)Var ( L) 2 ( ax ) (
例5.3
假设由某寿险公司的经验生命表可得 ：
A60 0.4097 ， A60 0.2153
2
a60 10 ，i 0.025
求
（） 1 P60 （2）Var ( L)
解5.3
A60 0.4097 P60 0.04097 a60 10
2
Var ( L)
A60 A60
期缴保费产生的原因
在前两章中，我们分别介绍了死亡赔付变量和生
存赔付变量的精算现值厘定。这个精算现值实际 上是以保单生效日为时间坐标，计算保险人对被 保险人未来赔付的期望值。这个精算现值就是该 被保险人的趸缴净保费。 有时由于风险责任大或者受益金额高，会使得趸 缴净保费的数额非常庞大，对于被保险人而言要 一次性缴纳这么多钱会有困难。为了分解被保险 人一次性缴费的压力，保险公司会允许被保险人 分期缴纳这笔保费，这时的保费称为期缴保费。