高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明：

()()

1

212121

7

515

313

11+=

+-+

+⨯+

⨯+

⨯n n n n ．

请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3

13

11=⨯=

，右边3

11

21

=

+=

，左边=右边，等式成立．

②假设n =k 时，等式成立，即：

()()

1

212121

7

515

313

11+=

+-+

+⨯+

⨯+

⨯k k k k ．

那么当n =k +1时，有：

()()()()

32121

12121

7

515

31311+++

+-+

+⨯+

⨯+

⨯k k k k

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=

321121121121

7151513131121k k k k 3

22

221321121++⋅

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

k k k ()1

1213

21+++=

++=

k k k k

这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n =k +1时．

()()()()

32121

12121

7

51531311+++

+-+

+⨯+

⨯+⨯k k k k

()()

32121

1

2+++

+=

k k k k

()()()()

()()

321211232121

322++++=

++++=

k k k k k k k k

()1

1213

21+++=

++=

k k k k

这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：

a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=+=60

3224

26321

211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．

故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]

这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

例3．证明不等式n n

213

12

11<+

++

+

(n ∈N)．

证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n =k 时，不等式成立，即k k

213

12

11<+

++

+

．

那么当n =k +1时，

1

11312

11++

+

++

+

k k

1

1

121

1

2+++=

++

()()121

121

1

1+=++=

++++<

k k k k k k

这就是说，当n =k +1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是

121

11312

11+<++

+

++

+

k k k

，当代入归纳假设后，就是要证明：

121

1

2+<++

k k k ．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ． 求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．

分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除． ②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时， a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3 =a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =3a 4k +2+2a 4k +1

由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除． 因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．