一维双原子链的晶格振动

22 //N aa N
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注意:
• 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时 ，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振 能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光 谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这 种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把
式（3－23）代入（3－22）可得
A2 A1
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1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2。
（3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。
当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
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声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波
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允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
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(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2
（1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
A＝
21
m
1
2
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
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A2 A1
1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
2
• 可得
• 对光学支 A2＝－A1 eiqd 当d＜＜a , A2≈－A1
对声学支 A2＝A1 eiqd 当d＜＜a , A2≈A1
ωO2 =（β1＋β2）/m +(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q＝0, ω0≠0的特征。
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二、关于声学波和光学波的讨论
（一）格波数
与一维单原子链类似，可得：
－π/a ＜q≤π/a
(3-24)
q＝2πm/Na m：整数 (3-25)
在第一布里渊区内，可取的q点数为
12
＝ 2m 2020/4/1
A
12 1
2
qa(3-28)
0＝21m212 (3-29)
由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的 线性色散关系：ωA＝υ0 q, 而且它的频率很低，可 以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在q＝0 的附近ω0几乎与q无关，在q＝0处有极大值。
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U1(na)＝A1ei(qna－ωt) U2(na)＝A2ei[q(na+d)－ωt]
(3-21) 将其代入方程（3－20），并消去公因子ei(qna-ωt) 得到
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[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0
2
(3-30)自推
• 正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时
A2＝A1
声学支
A2＝－A1
光学支
在长波极限情况下，
声学格波描写原胞内原子的同相运动，
光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
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参见FD动画
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பைடு நூலகம்
（三）. q趋近第一布里渊区边界
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• 设U1（na）表示平衡位置为na的A原子 的绝对位移，U2（na）表示平衡位置 为（na+d）的B原子的绝对位移。
• 仍采用简谐近似和近邻作用近似，则 运动方程为
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••
mU （1 na）＝－β2[U1(na)－U2(na)]－β1[U1(na)－U2（(n-1）a）]
当q→π/a时， 因 β2 >β1， 由式（3－23）
ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波
0＝
22
m
1
2
(3-32)
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对于声学支格波,由(3-23)式
ωA2=（β1＋β2）/m -
(β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m
m
••
U
2 (na)＝－β2
[U2(na)－U1(na)
]－β1[U2(na)－U1((n+1)a)]
(3-20)
该
方程组有2N个方程，应有2N个解，
此时该晶体的总自由度数也为2N。
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• 与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方 法类似，而前者有式（3－8）解的形式，它启发我们 作类似的试探解：
由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动
光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。
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三 、三维晶格振动
设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基
原 胞 数 分 别 为 N1、N2、N3， 即 晶 体 由 N＝ N1· N2· N3初基原胞组成，每个初基原胞内 含s个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢q和原子振动方向相同， 所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
（3－22）
注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零：
mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2)
解得
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ω2 = （β1＋β2）/m± (β12＋β22＋
2β1β2cosqa)1/2 /m