线性代数性质公式整理

线性代数

第一章 行列式

一、相关概念 1.行列式——n 阶行列式|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a n1a n2···a nn |是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 a 1j 1a 2j 2···a nj n

的代数和，这里j 1j 2···j n 是1，2，···n 的一个排列。当j 1j 2···j n 是偶排列时，该项的前面带正号；当j 1j 2···j n 是奇排列时，该项的前面带负号，即 |a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a n1a n2···a nn

|=∑(−1)

τj 1j 2···j n j 1j 2···j n a 1j 1a 2j 2···a nj n (1.1) 这里∑ j 1j 2···j n 表示对所有n 阶排列求和。式(1.1)称为n 阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj 1j 2···j n 表示排列j 1j 2···j n 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开——|a b c d

|=ad −bc ， |a 11

a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33

|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 13a 22a 31−a 12a 21a 33−a 11a 23a 32 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a n1a n2···a nn

|中划去a ij 所在的第i 行，第j

列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式||a 11···a 1,j−1a 1,j+1···a 1n ··················a i−1,1···a i−1,j−1a i−1,j+1···a i−1,n a i+1,1···a i+1,j−1a i+1,j+1···a i+1,n ··················a n1···a n,j−1a n,j+1···a nn

||称为a ij 的余子式，记为M ij ；称(−1)i+j M ij 为a ij 的代数余子式，记为A ij ，即A ij =(−1)i+j M ij 。

6.伴随矩阵——由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如[A 11A 21···A n1A 12A 22···A n2············A 1n

A 2n ···A nn

]，称为A 的伴随矩阵，记作A ∗。 二、行列式的性质

1.经过转置行列式的值不变，即|A T |=|A |→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.

3.某行如有公因子k ，则可把k 提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：|a 1+b 1a 2+b 2a 3+b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3

|=|a 1a 2a 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3|+|b 1b 2b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3| 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变： |a 1

a 2a 3

b 1b 2b 3

c 1c 2c 3|=|a 1a 2a 3b 1+ka 1b 2+ka 2b 3+ka 3c 1c 2

c 3| 6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0

三、行列式展开公式

n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A |=a i1A i1+a i2A i2+···+a in A in =∑a ik A ik n k=1 |A|按i 行展开的展开式

|A |=a 1j A 1j +a 2j A 2j +···+a nj A nj =∑a kj A kj n k=1 |A|按j 列展开的展开式

四、行列式的公式

1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；

2.关于副对角线的n 阶行列式的值|A |=(−1)n(n−1)2a 1n a 2,n−1···a n1

3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A 和B 分别是m 阶和n 阶矩阵，则

|A ∗O B |=|A O ∗B

|=|A |·|B | |O A B ∗|=|O A B ∗

|=(−1)mn |A |·|B | 4.范德蒙行列式 |11···1x 1x 2···x n x 12x 22···x n 2······ ···x 1n−1x 2n−1···x n

n−1|=∏(x i −x j )1≤j≤i≤n 5.抽象n 阶方阵行列式公式 (矩阵)

若A 、B 都是n 阶矩阵，A ∗是A 的伴随矩阵，若A 可逆，λi (i =1,2…,n)是A 的特征值： |A T |=|A |； |kA |=k n |A |； |AB|=|A||B|； |A 2|=|A |2； |A ∗|=|A |n−1 |A −1|=1

|A |； |A |=∏λi n i=1； 若A~B ，则|A |=|B |，且特征值相同。

AA ∗=A ∗A =|A |E

一般情况下：|A ±B|≠|A|±|B| 五、行列式的计算

1.数字型行列式

将行列式化为上下三角，再按行或列展开；

化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i 倍都加到同一列(行)。

②逐行(或逐列)相加

③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式

数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 ②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n

2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k 、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。