圆周角定理及运用课件.ppt
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提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
●O
B A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
9
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
24.1.4 圆周角
..。..
1
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
..。..
2
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
..。..
不是 有一边和圆 不相交。
3
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
..。..
4
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC =
1 ∠AOC.
2
AD C
●O
能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆..。..心角的一半.
8
• 第三种情况：如果圆心不在圆周角
的一边上,结果会怎样?
A
C
• 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
..。..
16
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
..。..
10
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等分
成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。
O.
因为同圆中相等的圆心角所对
的弧相等，所以整个圆也被等分 B
C
成360份。我们把每一份这样的
弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧 的度数相等。
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径.为.。..2。
A ED
O C
C O
B
17
5：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
..。..
18
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
A
O 40° B
C
..。..
22
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
..。..
方法四
O
23
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已 跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
..。..
19
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
..。..
20
如图，在⊙O中，AB为直径，C⌒B = C⌒F,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
..。..
21
如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
如图,
若
⌒
ACห้องสมุดไป่ตู้
=
⌒
BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
..。..
15
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
期望:你可 要理解并 掌握这个
A C
●O
即 ∠ABC = 1∠AOC. 模型.
B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
7
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
O.
X BA
B
A
B
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
..。..
13
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
..。..
14
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A
B
..。..
11
归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论
半圆（或直径）所对的圆周角
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
在同圆或等圆中，相等的圆周 A
角所对的弧相等
..。..
C2
C3
·O
B
12
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
..。..
圆心在角外
5
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大
小有什么关系?
A C
A C
A C
●O
●O
●O B
B B
..。..
6
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑第一种情况：
• 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
分解析考在虑真过正M的、足球N以比赛及中A情、况B中会很的复 杂任，一这点里作仅一用数圆学，方这法里从不两妨点的作静出止 状⊙态B加M以N，考虑显，然如，果A两点个在点⊙到B球M门N的 距置张外离，角，相关大设∠差键小MM不看，AA大这当N交＜，两张圆要个角∠于M确点较CC定分小N，较别时，则好对，而的球则射门球门容MN位易的 被∠对M方CN守=门∠员M拦BN截，.怎样比较A、B两点 对MN张所角以的∠大M小AN呢＜？∠MBN．
●O
B A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
9
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
24.1.4 圆周角
..。..
1
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
..。..
2
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
..。..
不是 有一边和圆 不相交。
3
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
..。..
4
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC =
1 ∠AOC.
2
AD C
●O
能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆..。..心角的一半.
8
• 第三种情况：如果圆心不在圆周角
的一边上,结果会怎样?
A
C
• 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
..。..
16
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
..。..
10
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等分
成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。
O.
因为同圆中相等的圆心角所对
的弧相等，所以整个圆也被等分 B
C
成360份。我们把每一份这样的
弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧 的度数相等。
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径.为.。..2。
A ED
O C
C O
B
17
5：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
..。..
18
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
A
O 40° B
C
..。..
22
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
..。..
方法四
O
23
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已 跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
..。..
19
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
..。..
20
如图，在⊙O中，AB为直径，C⌒B = C⌒F,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
..。..
21
如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
如图,
若
⌒
ACห้องสมุดไป่ตู้
=
⌒
BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
..。..
15
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
期望:你可 要理解并 掌握这个
A C
●O
即 ∠ABC = 1∠AOC. 模型.
B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
7
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
O.
X BA
B
A
B
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
..。..
13
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
..。..
14
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A
B
..。..
11
归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论
半圆（或直径）所对的圆周角
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
在同圆或等圆中，相等的圆周 A
角所对的弧相等
..。..
C2
C3
·O
B
12
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
..。..
圆心在角外
5
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大
小有什么关系?
A C
A C
A C
●O
●O
●O B
B B
..。..
6
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑第一种情况：
• 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
分解析考在虑真过正M的、足球N以比赛及中A情、况B中会很的复 杂任，一这点里作仅一用数圆学，方这法里从不两妨点的作静出止 状⊙态B加M以N，考虑显，然如，果A两点个在点⊙到B球M门N的 距置张外离，角，相关大设∠差键小MM不看，AA大这当N交＜，两张圆要个角∠于M确点较CC定分小N，较别时，则好对，而的球则射门球门容MN位易的 被∠对M方CN守=门∠员M拦BN截，.怎样比较A、B两点 对MN张所角以的∠大M小AN呢＜？∠MBN．