圆周角定理及其运用.ppt

A来自AE BC D
E
⌒
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
●O
∠ ADC的大小有什么关系？
C
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C2 C1
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB 是 180° 。
拓展练习：如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
归纳：
定
理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推
论
半圆（或直径）所对的圆周
C2
角是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
在同圆或等圆中，相等的圆周 A 角所对的弧相等
·O
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
B
A
B
∠CAD=_5_0__°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎 样的关系？为什么？
A
Qp O
B
⌒⌒
●O
●O
●O B
B B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑第一种情况： • 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
期望:你 可要理解 并掌握这
和∠BAD的大小。
A
O
D
B
C
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
A
B E
O DC
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等
分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。
O.
因为同圆中相等的圆心角所
对的弧相等，所以整个圆也被 B
C
等分成360份。我们把每一份这
样的弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
实践活动
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
24.1.4 圆周角
西闫一中
张军超
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC =
1 ∠AOC.
2
AD C
●O
能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
• 第三种情况：如果圆心不在圆周角
的一边上,结果会怎样?
A
C
• 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
A C
●O
即 ∠ABC = 1∠AOC. 个模型. B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A ED
O
C
C
O
B
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°=
90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什 么关系？为什么？
C
O
B
A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类
三角形，并说明理由。
A
解：（1）AB=AC。
证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O· F
又∵DC=BD，∴AB=AC。
BDC
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 2、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠BOC=84°， 求∠ A的度数。 ∠A=21°
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
A
O
B 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不