高等数学第四章不定积分习题

第四章 不 定 积 分

§ 4 – 1 不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为

dx

x x d 2

11)(arcsin -=

,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3

x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。 二．是非判断题

1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

()()()⎰⎰'='

dx x f dx x f . [ ]

4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]

三．单项选择题

1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是|

|sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={

;0,2cos ,

0,cos <-≥-x x x x (D) y={

.

0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。

4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2

)()(x x xf x F +=，则f(x)=______. (A) 12--x (B)12+-x (C)12+-x (D)12

--x 5.设x x f 2

2cos )(sin ='，则f(x)=________.

(A);sin 21sin 2c x x +- (B);2

12c x x +- (C);sin 21sin 42c x x +- (D);2142c x x +-

6.设a 是正数，函数则,log )(,)(e a x a x f a x

x ==ϕ______.

(A)的导数；是)()(x x f ϕ (B)的导数；是)()(x f x ϕ (C)的原函数；是)()(x x f ϕ (D)的不定积分。

是)()(x f x ϕ 四．计算题

⎰dx

x m n .1

⎰

是常数）

g gh

dh (2.2

3．⎰

-+dx x x )1)(13

（ 4.

dx x

x ⎰

-3

2

)1(

5.⎰

--

dx x

e e x x

)1( 6.⎰dx e x x 323

7.

dx x x x ⎰

-+-2

2222 8.⎰-dx x

x 2

3sin 1

sin 4

9.dx x x 2

)2

sin 2(cos -⎰ 10.⎰++dx x x 2cos 1cos 12

11.⎰dx x

x x

2

2cos sin 2cos 12.⎰++-dx x x x 3322332

13.dx x

x )12

13(

22⎰

--+ 14.⎰-dx x x x )tan (sec sec

15.⎰

-

dx x x x )1

1(2

16.dx x

x

⎰

-+11 五．应用题

1．一曲线通过点(2

e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程.

2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32

t (米/秒),问:

(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间

§4-2 换元积分法

一、填空题

1.)(______ax d dx = ()0(≠a )

2.)37(______-=x d dx

3.)(_______2x d xdx =

4.)5(______2

x d xdx = 5.)1(______2x d xdx -= 6.)32(_______3

2x d dx x -= 7.)(______22x

x e d dx e = 8.)1(______2

2

x x e d dx e

-

-

+=

9.(_______)2

2d dx xe x =- 10.(______))13

cos(d dx x =- 11.

)ln 5(______x d x dx = 12.)ln 53(______x d x

dx -= 13.(______))sin(d dt t =+ϕω 14.)arcsin 1(______12

x d x

dx -=-

15．

=

-⎰

dx x x 1

12

=

-⎰

dx x

x 2

2

)1

(11=-⎰

2

)1(11x x d

_________ 16.若

⎰⎰≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则

二．是非判断题

1． ⎰⎰+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x d x dx x x 212111ln . [ ]

2．

()⎰+=+c x arctg dx x x 211. [ ] 3．设()⎰

+=c x dx x f sin ，则()⎰+=-c x dx x x f 2

1arcsin . [ ]

4．已知()=

'x f ln {

,

10,1,1,≤<+∞<

=≤<-∞+∞

<<-,0,0,1x x x e x f x . [ ]

5．⎰+=c x xdx 32sin 31sin . [ ]

6．若()()c x F dx x f +=⎰，则()[]()[]c x g F dx x g f +=⎰. [ ] 三．单项选择题 1.⎰='dx x f )3(_____. (A)

;)(31c x f + (B);)3(3

1

c x f + (C);)(3c x f + (D);)3(3c x f +