具有某些特殊性的函数

a x (a 1)
a x1 a x2 ,
o
x
即要证
sup{a r | r为有理数} sup{a r | r为有理数}
r x1
r x2
由有理数的稠密性,可取到有理数 r1 , r2 , 使 所以
r x1
x1 r1 r2 x2 ,
sup{a r | r为有理数} a r1 , a r2 sup{a r | r为有理数}
a x (a 1)
a a ,
x1 x2
o
x
定义2 给定实数 a 0, a 1, 当x为无理数时,规定
严格单调递增,当a<1时严格单调递减. 分析: 要证当 x1 x2 时,有
sup{a r | r为有理数},当a 1时, a x (a 1) y rx x a r inf{ a | r为有理数},当0 a 1时. r x x 例7 证明函数 y a (a 0, a 1)当a>时
(2) y sin x 在 , 上严格递增; 2 2 (3) y cos x 在 [0, ] 上严格递减.
4.判别下列函数的奇偶性:
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1 4 (1) f ( x) x x 2 1; (2) f ( x) x sin x; 2 2 x2 (4) f ( x) lg( x x2 1). (3) f ( x) x e ;
定理1.2 设 y f ( x), x D 为严格增函数, 则 f 必有反函数 f 且 f 1 在其定义域f(D)上严格递增.
证明分析: (1) y f ( D), 存在唯一 x D, 使得 f ( x) y. (2)
y
1
,
f 1在f(D)上严格增.
证: y f ( D), 设 y f ( x), x D. 对D中任意 x1 x, 当 x1 x 时, f ( x1 ) f ( x); 当 x1 x 时, f ( x1 ) f ( x), 故对任意 y f ( D), 有且只有唯一 x D, 使得 f ( x) y, 即函数 y f ( x), x D 存在反函数 x f
f ( x) x 2 在[-3,5]上是否有界?
注: 函数的有界性是相对一定的区域而言的 . 如何给出无界的定义? 定义2 设f在D上有定义.若存在数M>0,使得
| f ( x) | M , x D,
则称f为D上的有界的函数. 定义2-1设f在D上有定义.若对任意M>0,总存在 x0 D, 使得
为偶函数.
四 周期函数 定义 设 f 为定义在数集D上的函数. 若存在 0, 使得对任意 x D, 有 f ( x ) f ( x ), 则称f为周期函数, 为f的一个周期. 若 为f的一个周期, 则 (n为正整数)也是f的周期.
若f存在最小周期,则称此周期为f的基本周期,简称周期.
x 1.证明 f ( x ) 2 是R上的有界函数. x 1
2.（1）叙述无界函数的定义; （2）证明函数
1 f ( x) 2 为(0,1) 上的无界函数. x （3）举出函数 f 的例子，使 f 为[0,1]上的无界函数.
3.证明下列函数有指定区间上的单调性: (1) y 3x 1 在 (, ) 上严格递增;
例4 证明 f ( x) x 3 在R上严格增加. 证: x1 , x2 D, 当 x x 时,
1 2
3 2 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x13 ( x2 x1 )( x2 x2 x1 x12 ) 2 x1 2 x ( x2 x1 )[( x2 ) ( x12 1 )] 0, 2 4 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 故 f ( x) x 3 在R上严格增加.
5.求下列函数的周期:
2
x x (1) cos x; (2) tan 3x; (3) cos 2sin . 2 3 6.设函数 f 定义在 [a, a] 上.证明:
(1) F ( x) f ( x) f ( x), x [a, a] 为偶函数; (2) G( x) f ( x) f ( x), x [a, a] 为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与偶函数之和.
y y
o o x
x
y x2 y x3
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
例9 设 f 定义在 [a , a ] 上,证明 为偶函数. 证: x [a, a], 所以
F ( x ) f ( x ) f ( x ), x [a, a]
F ( x ) f ( x ) f ( x ) F ( x ), F ( x ) f ( x ) f ( x ), x [a, a]
y y
o
x
o
x
f ( x) x 3 在 R 单调递增
g ( x) x 2在 (,0)单调递减 在 (0, )单调递增
定义3 设f在D上有定义.若 x1 , x2 D, 当 x1 x2 总有
(i ) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f为D上的增函数; f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f为D上的严格增函数; (ii ) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f为D上的减函数; f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f为D上的严格减函数.
| f ( x0 ) | M ,
则称f为D上的无界.
1 在(0,1]无界. 例2 证明: f ( x) x 1 (0,1],有 证: 对任意M>0, 取 x0 1 M
1 在(0,1]无界. 例2 x 1 (0,1],有 证: 对任意M>0, 取 x0 1 M 1 1 M M | f ( x0 ) | 1 1 M 1 在(0,1]无界. 所以 f ( x) x
xD xD xD
(ii) sup{ f ( x) g ( x)} sup f ( x) sup g ( x)
xD xD xD
证:
(ii) x D, 有
f ( x) sup f ( x), g ( x) sup g ( x),
所以
xD xD
f ( x) g ( x) sup f ( x) sup g ( x),
定义2
设f在D上有定义.若存在数M>0,使得
| f ( x) | M , x D,
则称f为D上的有界的函数.
使得 例1 存在 M ,
2 | arcsin x | M , x [1,1],
故函数 f ( x) arcsin x 在[-1,1]上有界.
| arccot x | M , x (, ), 故函数 f ( x) arccos x 在 (, ) 上有界.
命题: f在D上有界 f在D上既有上界,也有下界. 函数 f ( x) sin x 在R上是否有界? 函数 f ( x) x 2 在R上是否有上界?在R上是否有下界? 函数 f ( x) x 2 在[-3,5]上是否有界?
存在 M , 使得
问题:
问题: 函数 f ( x) sin x 在R上是否有界? 函数 f ( x) x 2 在R上是否有上界?在R上是否有下界? 函数
r x2
注意到 a r1 a r2 即可证.
三
有
奇函数和偶函数 定义 设D为对称于原点的数集.f为定义在D上的函数.若 x D,
f ( x ) f ( x ) ( f ( x ) f ( x ))
则称f为D上的奇函数 (偶函数). 2 例8 函数 y x 为区间 ( , ) 上的偶函数. 函数 y x 3 为区间 ( , ) 上的奇函数.
例5 设 f ( x) [ x]. f(x)在R上单调增加. 事实上, 当 x1 x2 时, 有
y
o
f ( x1 ) [ x1 ] [ x2 ] f ( x2 ).
但 f ( x) [ x] 在R上不严格单调,
x
1 因为若取 x1 0, x2 , 则有 x1 x2 , 但 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 2
例10 函数 f ( x ) sin x 的周期为 2 ; 函数 f ( x ) tan x 的周期为 .
y
o x o x
y
y
o
x
函数 f ( x ) x [ x] 的周期为1.
问题
周期函数是否一定存在最小周期?
. 考察常量函数: f ( x ) c,(c是常数)
习题研讨
1
例6 函数 y x 2 在 (,0) 严格单调递少,故存在反函数
y x , x (0, ),
在 (0, ) 严格单调递增,故存在反函数 但在 (, ) 不存在反函数.
y x , x (0, ),
定义2 给定实数 a 0, a 1, 当x为无理数时,规定
证明: f ( x) 例3 设 f , g 为D上的有界函数.证明:
(i ) inf f ( x) inf g ( x) inf{ f ( x) g ( x)}
xD xD xD
(ii) sup{ f ( x) g ( x)} sup f ( x) sup g ( x)
o
x
( y ). 1 1 任取 y1 , y2 f ( D), y1 y2 , 设 x1 f ( y1 ), x2 f ( y2 ), 则 y1 f ( x1 ), y2 f ( x2 ). 由 y f ( x), x D 严格增性及 y1 y2 ,
可得 x1 x2 , 即 f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ), 故 f 1在f(D)上严格递增.
xD xD xD
即 sup f ( x) sup g ( x) 是 f ( x) g ( x) 在D上的一个上界,从而
xD
sup{ f ( x) g ( x)} sup f ( x) sup g ( x).
xD xD xD
大学的数学,概念很重要!!
二
单调函数 2 3 考察函数 f ( x) x 与 g ( x) x 的图象.
xD xD xD
证:
(ii) x D, 有
f ( x) sup f ( x), g ( x) sup g ( x),
所以
xD xD
例3 设 f , g 为D上的有界函数.证明:
(i ) inf f ( x) inf g ( x) inf{ f ( x) g ( x)}
严格单调递增,当a<1时严格单调递减. 分析: 要证当 x1 x2 时,有
sup{a r | r为有理数},当a 1时, a x (a 1) y a x rx r inf{ a | r为有理数},当0 a 1时. rx x 例7 证明函数 y a (a 0, a 1)当a>时