K(三章5讲)不确定性原理
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量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics 李小飞
光电信息学院
第三章：量子力学中的力学量
第五讲： 不确定性原理
引入：
ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF
问题：1. 哪些算符之间是对易，哪些不是？ 问题：2. 对易的物理含义是什么？ 问题：3. 不对易的物理含义是什么？
普朗克
居里
洛伦兹
爱因斯坦 朗之万
德布罗意
玻恩
玻尔
因果论的困境：延迟选择实验 （1979）
实验事实：
相干相消
（1）在2不放半透镜，光子只走一条路，以50%概率分别打在A或B上 （2）在2放置半透镜，光子总是走上、下两条路，干涉后总打在A上 （3）实验某时在2放置半透镜，发现一放置光子就打在A上，
实验分析：
哥本哈根诠释三大核心原理：
海森堡的“不确定性原理” 玻尔的“互补原理” 波恩的“统计解释”
1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限， 而这个极限也就是具有物理意义的一切。 2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法 和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相 排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现 了物体的不同方面。
?
ˆ ] i [ x , p L , x i x [ x , x ] 0 ˆ , p ˆ ] 0 [p 2 L , p i p ˆ ˆ [ L , L ] 0 ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L
3）量子事件在本质上是“随机”的，当我们说“测得电子出 现在某处”时，只描述了这个事件，并不知道它为什么会在这里， 它也并不必然出现在这里，而只是以一定的概率出现在这里。因此， 决定论、因果率不适用，应被概率和统计率所取代。
第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！
狄拉克 德拜 薛定谔 康普顿 泡利 海森堡 布里渊
分析:(1) “不确定”名副其实！
x p x 10 34 2
我们假设△x 和△p 的量级差不多，它们都在10-17量级。
我们知道电子的大小约在10-23 米，现在，我们想测 电子在哪里，测量的误差是10-17 米，这是很严重的事！ 因为位置误差是其实际大小的100 万倍！ 100 万倍的误差意味着什么？假设一小孩的睡高为1 米5，测量误差是150 万米，那是1500 公里； 如果妈妈要找他回来吃饭，要在整条京沪铁路上 去找！ “不确定”变得名副其实！
不确定性关系的哲学意义：
宇宙都可以“无中生有”，作为第一推动力的 “上帝”再也没有存在的必要 上帝已死 －－尼采
唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！ 哲学已死 －－霍金《大设计》
观测不到等于不存在！
你身边站着一只“鬼”
但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！
地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形
ˆ ][ ( F ˆ )*]d ˆ iG ˆ ) * i ( G [F
ˆ )(F ˆ )(F ˆ )* d i (G ˆ )* d 2 (F ˆ )* d (G ˆ )(G ˆ )* d ˆ )(G i (F ˆ 为厄密算符 ˆ , G F
2
称为不确定性关系(uncertainty relation)
1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ (F ) (G ) [ F , G ] 4
2
ˆ ˆ 和 G 由不确定性关系看出：若两个力学量算符 F ˆ 不对易，则一般说来F 与 G 不能同时为零，即 F ˆ 一般不能同时测定（但 [ F , G] 0 的特殊态是可 和G 能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找 出这样的态，使 ΔF=0 和 ΔG=0 同时满足，这就 是它们的共同本征态。
（1）在2放置半透镜之前，总有光子已过1且未到2，即光子正在“某 一条路”上吧；而此光子总打在A上，说明它是走“两条路”来的。 （2）光子走一条还是两条路；由观察者是否在2处放置半透镜决定！
实验结论： 观察者现在的测量，决定光子在过去对路径的选择！
推论：
（1）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹， 而是所有可能路径的总和。 （2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体， 观测不仅对被观测物现在的状态有影响，对它过去的状态也是 一样的。
算符对易的物理意义
一组彼此相互对易的力学量算符，具有共同本征函 数系；当物体处于其共同本征态时，它们同时具有 确定值；构成完全集的一组力学量算符的个数与物 体的自由度数目相同。
算符不对易的物理意义
不确定性关系：两个不对易力学量算符对应的物理 量，一般不同时具有确定值
一：不确定度的定量描述 定义: 1.偏 差: 测量值与平均值之差 ˆ F F F ˆ F F 2.不确定度: 偏差的大小（绝对值） ˆ F ˆ F F F F
1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡 利和海森堡….. 1939年，铀俱乐部，德，海森堡 1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默， 爱因斯坦, 玻尔，费米，康普顿, 古德施密特, ……
54厘米？ 哥本哈根会晤之谜！
说谎者得不了诺贝尔奖！
例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态 Axe x , ( 0) 当x 0 ( x) , 求(x) 2 (px ) 2 ? 当x 0 0
(F ) k (G ) 0
2 2 2
对比方程：
a b c 0
2
2
b 4ac 0
2
b2 ac 4
2
( k ) 2 ˆ ˆ ) ( G ) ( F 4
或
1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ (F ) (G ) [ F , G ] 4
2 2 2
2 2
2
或 （x) （px ) , 2 即：x px 海森堡，德，1901~1976 2 说明： p x 和 x 不能同时为零，坐标 x 的均方差越 小，则与它共轭的动量 px 的均方偏差越大，亦就是说， 坐标测量愈准，动量就愈测不准。所以也称测不准原 理
（３）能量－时间不确定性关系
E t 2
E ~ vp
Et ~ vt p ~ xp
根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能 量不确定度△E也称为能级宽度 . 能级宽度越大，粒子处于这 个态的寿命就越短。
在光谱中，峰宽（自然线度△v）越大，对应的态就衰减 得越快，寿命越短；峰宽越小，态越稳定。
解：归一化
1 ( x ) dx A x e
2 2 2 0 2 x
dx
1 4 3
A 2 ∴ A 2 3 / 2
利用 x n e 2x dx
0
n! 有 n 1 (2 )
2 3 2 x 3
3 x xdx A x e dx 4 4 0 0 2 8 3 3 2 4 2 x 3 2 * 2 x x dx A x e dx 4 5 2 0 0 4 2 3 9 3 2 2 所以 (x) x x 2 2 2 4 4
３.均方差:
偏差平方的平均值
(F ) F F
2 2
2
推导：
(F ) ( F - F )
2
2
F 2 FF F
2
2
F 2 FF F
2
2
F 2F F F
2
2
F 2F F
2 2
2
(F ) F F
2 2
2
二、不确定性原理的严格证明
是算符或数
（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测 方法和手段。 （4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。应以概率论 取代
三、海森堡不确定性关系（1927)
坐标和动量的不确定性关系
1932年诺贝尔物理学奖
ˆ x ] i [ x，p
1 h （x) （px ) [ x, px ] 4 4
方型的地球它观测不到，说明是不存在的！
电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现 出粒子性要么显现出波动性
这种 ”混合体”观测不到，说明它是不存在的！
维尔纳〃海森堡
维尔纳· 海森堡（Werner Heisenberg，1901
年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家， 量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代 表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学 以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣 获诺贝尔物理学奖。 主要贡献：（1） 创立矩阵力学（量子力学的 矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又 称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S） 矩阵。
f N (v 0 )
1 f N (v 0 ) 2
E1
不确定性关系的在宇宙学中的意义：ห้องสมุดไป่ตู้
在极小的空间和极短的时间里 什么都有可能发生
时间非常确定，能量就非常不确定；空间很确定，动量 就很不确定。根据不确定性原理，物质可以逃脱物理定律的 束缚，以某种方式突然出现或消亡！ 或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有 时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它 指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！ 大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”-“白 矮星” -“中子星” -“黑洞” ----“黑洞”理论！ 量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负 粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射粒子。 而反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍金 蒸发”理论！
令
ˆ ˆ ˆ [F ˆ ] ik ˆ ˆ GF ˆ,G FG
对任意波函数，引入实参量的辅助积分：
ˆ ) |2 d ˆ iG I ( ) | ( F
0
ˆ ][F ˆ ]* d ˆ iG ˆ iG [F
ˆ ][ (F ˆ )*]d ˆ iG ˆ ) * i ( G [F
(2) “不确定”是原理性的与仪器精度无关 假设我们有一种设备能精确测定电子动量p，其误差 △p 的量级为10-34，那么△x的量级为100。 电子大小为10-23 米，测量电子位置的误差是其大小的 1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河 系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是 “原理”性的！
2
2 ˆ ) d ˆ ˆ G *(F ) d i *(F
ˆ F ˆ ) 2 d ˆ ) d *(G i *(G
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ *(F ) d i *(F G GF ) d *(G ) d 2
宇宙起源理论
实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K 的黑体相当，表明宇宙温度存在并且是在不断下降（1978年诺 奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比近的要稍红些！根据多普勒效应， 宇宙在加速膨胀 (3)加速的源于什么？暗物质量能量！
黑洞吃恒星
Gorgeous destruction when a black hole shreds a star 2015 Science Flows of X-ray gas reveal the disruption of a star by massive black hole, 2015 Nature
2 F 2 i [F , G ] G 2
F i [F , G ] G
2 2
2
(F ) k (G )
2 2
2
ˆ ] F ˆ G ˆ F ˆ，G ˆ G ˆ 注： [F
ˆ G ) (G ˆ G )( F ˆ F )(G ˆ F) (F ˆ ˆ ˆ ˆ GF FG ˆ ˆ ] ik ˆ，G [F
Quantum mechanics and statistical physics 李小飞
光电信息学院
第三章：量子力学中的力学量
第五讲： 不确定性原理
引入：
ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF
问题：1. 哪些算符之间是对易，哪些不是？ 问题：2. 对易的物理含义是什么？ 问题：3. 不对易的物理含义是什么？
普朗克
居里
洛伦兹
爱因斯坦 朗之万
德布罗意
玻恩
玻尔
因果论的困境：延迟选择实验 （1979）
实验事实：
相干相消
（1）在2不放半透镜，光子只走一条路，以50%概率分别打在A或B上 （2）在2放置半透镜，光子总是走上、下两条路，干涉后总打在A上 （3）实验某时在2放置半透镜，发现一放置光子就打在A上，
实验分析：
哥本哈根诠释三大核心原理：
海森堡的“不确定性原理” 玻尔的“互补原理” 波恩的“统计解释”
1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限， 而这个极限也就是具有物理意义的一切。 2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法 和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相 排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现 了物体的不同方面。
?
ˆ ] i [ x , p L , x i x [ x , x ] 0 ˆ , p ˆ ] 0 [p 2 L , p i p ˆ ˆ [ L , L ] 0 ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L
3）量子事件在本质上是“随机”的，当我们说“测得电子出 现在某处”时，只描述了这个事件，并不知道它为什么会在这里， 它也并不必然出现在这里，而只是以一定的概率出现在这里。因此， 决定论、因果率不适用，应被概率和统计率所取代。
第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！
狄拉克 德拜 薛定谔 康普顿 泡利 海森堡 布里渊
分析:(1) “不确定”名副其实！
x p x 10 34 2
我们假设△x 和△p 的量级差不多，它们都在10-17量级。
我们知道电子的大小约在10-23 米，现在，我们想测 电子在哪里，测量的误差是10-17 米，这是很严重的事！ 因为位置误差是其实际大小的100 万倍！ 100 万倍的误差意味着什么？假设一小孩的睡高为1 米5，测量误差是150 万米，那是1500 公里； 如果妈妈要找他回来吃饭，要在整条京沪铁路上 去找！ “不确定”变得名副其实！
不确定性关系的哲学意义：
宇宙都可以“无中生有”，作为第一推动力的 “上帝”再也没有存在的必要 上帝已死 －－尼采
唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！ 哲学已死 －－霍金《大设计》
观测不到等于不存在！
你身边站着一只“鬼”
但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！
地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形
ˆ ][ ( F ˆ )*]d ˆ iG ˆ ) * i ( G [F
ˆ )(F ˆ )(F ˆ )* d i (G ˆ )* d 2 (F ˆ )* d (G ˆ )(G ˆ )* d ˆ )(G i (F ˆ 为厄密算符 ˆ , G F
2
称为不确定性关系(uncertainty relation)
1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ (F ) (G ) [ F , G ] 4
2
ˆ ˆ 和 G 由不确定性关系看出：若两个力学量算符 F ˆ 不对易，则一般说来F 与 G 不能同时为零，即 F ˆ 一般不能同时测定（但 [ F , G] 0 的特殊态是可 和G 能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找 出这样的态，使 ΔF=0 和 ΔG=0 同时满足，这就 是它们的共同本征态。
（1）在2放置半透镜之前，总有光子已过1且未到2，即光子正在“某 一条路”上吧；而此光子总打在A上，说明它是走“两条路”来的。 （2）光子走一条还是两条路；由观察者是否在2处放置半透镜决定！
实验结论： 观察者现在的测量，决定光子在过去对路径的选择！
推论：
（1）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹， 而是所有可能路径的总和。 （2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体， 观测不仅对被观测物现在的状态有影响，对它过去的状态也是 一样的。
算符对易的物理意义
一组彼此相互对易的力学量算符，具有共同本征函 数系；当物体处于其共同本征态时，它们同时具有 确定值；构成完全集的一组力学量算符的个数与物 体的自由度数目相同。
算符不对易的物理意义
不确定性关系：两个不对易力学量算符对应的物理 量，一般不同时具有确定值
一：不确定度的定量描述 定义: 1.偏 差: 测量值与平均值之差 ˆ F F F ˆ F F 2.不确定度: 偏差的大小（绝对值） ˆ F ˆ F F F F
1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡 利和海森堡….. 1939年，铀俱乐部，德，海森堡 1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默， 爱因斯坦, 玻尔，费米，康普顿, 古德施密特, ……
54厘米？ 哥本哈根会晤之谜！
说谎者得不了诺贝尔奖！
例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态 Axe x , ( 0) 当x 0 ( x) , 求(x) 2 (px ) 2 ? 当x 0 0
(F ) k (G ) 0
2 2 2
对比方程：
a b c 0
2
2
b 4ac 0
2
b2 ac 4
2
( k ) 2 ˆ ˆ ) ( G ) ( F 4
或
1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ (F ) (G ) [ F , G ] 4
2 2 2
2 2
2
或 （x) （px ) , 2 即：x px 海森堡，德，1901~1976 2 说明： p x 和 x 不能同时为零，坐标 x 的均方差越 小，则与它共轭的动量 px 的均方偏差越大，亦就是说， 坐标测量愈准，动量就愈测不准。所以也称测不准原 理
（３）能量－时间不确定性关系
E t 2
E ~ vp
Et ~ vt p ~ xp
根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能 量不确定度△E也称为能级宽度 . 能级宽度越大，粒子处于这 个态的寿命就越短。
在光谱中，峰宽（自然线度△v）越大，对应的态就衰减 得越快，寿命越短；峰宽越小，态越稳定。
解：归一化
1 ( x ) dx A x e
2 2 2 0 2 x
dx
1 4 3
A 2 ∴ A 2 3 / 2
利用 x n e 2x dx
0
n! 有 n 1 (2 )
2 3 2 x 3
3 x xdx A x e dx 4 4 0 0 2 8 3 3 2 4 2 x 3 2 * 2 x x dx A x e dx 4 5 2 0 0 4 2 3 9 3 2 2 所以 (x) x x 2 2 2 4 4
３.均方差:
偏差平方的平均值
(F ) F F
2 2
2
推导：
(F ) ( F - F )
2
2
F 2 FF F
2
2
F 2 FF F
2
2
F 2F F F
2
2
F 2F F
2 2
2
(F ) F F
2 2
2
二、不确定性原理的严格证明
是算符或数
（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测 方法和手段。 （4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。应以概率论 取代
三、海森堡不确定性关系（1927)
坐标和动量的不确定性关系
1932年诺贝尔物理学奖
ˆ x ] i [ x，p
1 h （x) （px ) [ x, px ] 4 4
方型的地球它观测不到，说明是不存在的！
电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现 出粒子性要么显现出波动性
这种 ”混合体”观测不到，说明它是不存在的！
维尔纳〃海森堡
维尔纳· 海森堡（Werner Heisenberg，1901
年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家， 量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代 表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学 以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣 获诺贝尔物理学奖。 主要贡献：（1） 创立矩阵力学（量子力学的 矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又 称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S） 矩阵。
f N (v 0 )
1 f N (v 0 ) 2
E1
不确定性关系的在宇宙学中的意义：ห้องสมุดไป่ตู้
在极小的空间和极短的时间里 什么都有可能发生
时间非常确定，能量就非常不确定；空间很确定，动量 就很不确定。根据不确定性原理，物质可以逃脱物理定律的 束缚，以某种方式突然出现或消亡！ 或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有 时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它 指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！ 大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”-“白 矮星” -“中子星” -“黑洞” ----“黑洞”理论！ 量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负 粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射粒子。 而反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍金 蒸发”理论！
令
ˆ ˆ ˆ [F ˆ ] ik ˆ ˆ GF ˆ,G FG
对任意波函数，引入实参量的辅助积分：
ˆ ) |2 d ˆ iG I ( ) | ( F
0
ˆ ][F ˆ ]* d ˆ iG ˆ iG [F
ˆ ][ (F ˆ )*]d ˆ iG ˆ ) * i ( G [F
(2) “不确定”是原理性的与仪器精度无关 假设我们有一种设备能精确测定电子动量p，其误差 △p 的量级为10-34，那么△x的量级为100。 电子大小为10-23 米，测量电子位置的误差是其大小的 1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河 系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是 “原理”性的！
2
2 ˆ ) d ˆ ˆ G *(F ) d i *(F
ˆ F ˆ ) 2 d ˆ ) d *(G i *(G
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ *(F ) d i *(F G GF ) d *(G ) d 2
宇宙起源理论
实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K 的黑体相当，表明宇宙温度存在并且是在不断下降（1978年诺 奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比近的要稍红些！根据多普勒效应， 宇宙在加速膨胀 (3)加速的源于什么？暗物质量能量！
黑洞吃恒星
Gorgeous destruction when a black hole shreds a star 2015 Science Flows of X-ray gas reveal the disruption of a star by massive black hole, 2015 Nature
2 F 2 i [F , G ] G 2
F i [F , G ] G
2 2
2
(F ) k (G )
2 2
2
ˆ ] F ˆ G ˆ F ˆ，G ˆ G ˆ 注： [F
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