管理运筹学讲义 第11章 库存管理
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第11章 库存管理
学习要点 Sub title
正确理解库存系统、库存策略和库存费用 经济订货批量和经济生产批量的适用前提 允许缺货或价格折扣的经济订货批量问题 报童模型与多周期库存模型的应用前提 需求不确定下设置安全库存的目的和方法
1
OR:SM
第一节
一、库存系统
库存的相关概念
2 DS 2 2000 320 Q 894 件 H 1.6 由于894位于500～999的区间，此时的售价是9元而不是8元。
* 8
* 不是可行解。 Q8 894
19
OR:SM
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
第二步，取次低价格9元， H 9 0.2 1.8 元
库存
I m ax
P
D
PD
11
0
时间 T t 2t
OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
库存水平的最大值为
I max
Q D ( P D) Q(1 ) P P
1 Q D C ( Q ) ( P D ) H K cD 年总库存费用为 2 P Q
2D K 2 1000 60 Q 200 把， H 3 最优订货次数 N * D 1000 5 次 Q* 200
*
10
OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
假设： ① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数；
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
Q
供给是已知而连续均匀的，供给率均匀且为常数； 每次生产批量相同； 每次生产准备费用不变，与批量大小无关； 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变； 无价格折扣，单位产品生产成本为； 不允许缺货，缺货费用为无穷大。
Cu (Q) u (Q r ) P(r )
r Q
当产品供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货而导致 少பைடு நூலகம்售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
Cv (Q) v (r Q) P(r )
总损失的期望值为 C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r ) P(r ) v (r Q) P(r )
哈里斯（F.W.Harris）1915年提出 假设： ① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数； ② 订货提前期为固定常量； ③ 补货时间为零，即当库存降为零时，立即补充至定额水平； ④ 每次订货批量相同； ⑤ 每次订购费(或装配费)不变，与批量大小无关； ⑥ 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变； ⑦ 无价格折扣，货物单价为不随批量而变化； ⑧ 不允许缺货，缺货费用为无穷大。
r Q r Q r Q
21
OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需求量， 每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每件亏损u元。产品 销售需求量的概率P(r) 可以根据历史销售记录统计而得。如果 订货过多而供过于求，因过剩致使资金积压，会造成滞销损失； 如果订货过少而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成 机会损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？ 最优订货量应按下列不等式确定：
取次低价格代入基本ECQ模型并求出相应的Q* 。如果 Q*可行，计算订货量为Q*时的总费用和所有大于Q*的数量 折扣点所对应的总费用，取其中最小费用对应的数量，该数 量即为最优订货批量，停止步骤。
若Q*不可行，则重复步骤（2），直至找到一个可行的最 优订货批量为止。
18 OR:SM
第二节
确定性库存模型
库存状态
即存储物的库存数量水平，反映存储物随时间推移而发生的 数量变化，库存量随需求过程而减少，又随供应过程而增加
需求过程
需求是不可控制的外生变量，表现形式：有的需求是连续 的，有的是间断的；有的需求是确定的，有的是随机的
补充过程
补充(供应)是库存的输入，补充的形式可以是对外订货，也 可以是自行生产。从提出订货到货物进入库存状态所需的时 间称为进货延迟。
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
费 用 库存总费用
订货费用
存储费用
0
Q1
Q
*
Q2
采购量
两个折扣点的价格与费用变化关系
17 OR:SM
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
计算步骤
取最低点价格代入基本ECQ模型，求出Q*。如果Q* 位 于其价格区间，则即为最优订货批量。否则转步骤（ 2）
周 转 库 存
订货点 安全库存 时间 订货间隔期 订货提 前期
库存控制参数
4 OR:SM
第一节
三、库存策略
1. (s,Q) 策略
库存的相关概念
(s,Q)策略是指事先设定订货点，连续性检查库存量，在每次出库时， 均盘点剩余量，检查库存量是否低于预先设定的订货点。 这是定量订货控制策略(Perpetual Inventory Control)
ri v P( r ) P( r ) v u r 0 r 0 ri1
22
OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
例：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利 60元。如果 当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价处理后全部售完， 此时每一筐损失40元。根据历史销售经验，市场每天需求的概率 如下表所示。试求最优进货量。
由一阶偏导数求得：
最大库存量：
2D K L S H H L
* *
2D K H L 经济订货批量： Q H L
15 OR:SM
第二节
确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把， 每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元， 每把滚刀的年库存费用是3元，若每把刀的年缺货损失费为1 元，试求最大库存量和最大缺货量？ 解：最大库存量：
2 OR:SM
第一节
二、库存类型
库存的相关概念
独立需求与相关需求库存
• 相关需求库存是指物品的需求之间具有内在的相关性。 • 独立需求库存是指物品的需求不依赖于其它物品，而是直 接来源于企业外部的需求。
确定性库存与随机性库存
• 确定性库存是指供应过程和需求过程都是确定性的 • 随机性库存是指供应过程的交货提前期或者需求过程 的需求数量是不确定性的，服从于一定的概率分布。
为订购货物所付出的手续费、旅差费、电信费等商务交易业 务的费用支出。
3. 缺货费
这是指库存未能完全满足需求，出现供不应求时所引起的损 失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合同 而支付的违约金以及商誉下降所造成的无形损失等。
6 OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型（Economic Order Quantity，EOQ）
2D K L 2 1000 60 1 =100 S H H L 3 3 1
*
经济订货批量：
2D K H L 2 1000 60 3 1 =400 Q H L 3 1
*
最大缺货量 Q* S * =400-100=300
16 OR:SM
需求量 r （筐） P(r ) 概率 累积概率 F ( r ) ≤5 6 7 8 9 ≥10
0.05
0.05
0.15
0.2
0.25
0.45
0.35
0.8
0.15
0.95
0.05
1
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 v 60 =0.6 v u 60 40 由表中的数据可知 F (7) 0.45, F (8) 0.8 ，最优进货量为8筐。
库存 Q -D 时间
7
0
t
2t
OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
令 N 为年订货次数， D 为全年总需求量， 易知 N D / Q ，则年总费用为
1 D C (Q) Q H K c D 2 Q
为求 C (Q ) 的极小值， 由一阶条件： dC 1 H D K 0 dQ 2 Q2 解得经济订货批量
2D K Q H
*
8
OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
C (Q )
总费用费
存储费
订购费
Q
经济订货批量
库存费用与库存量之间的关系
9 OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把， 每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元， 每把刀的单价为50元，每把滚刀的年库存费用是3元，试计 算其经济订货批量。若每年按250个工作日计算，最优订货 次数？ 解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量
2. (t,S) 策略
(t,s)策略是指补充过程是每隔时间补充一次，每次补充到目标库 存水平。这是定期库存控制策略(Periodic Inventory Control)。
3. (s,S) 策略
事先设定最低（订货点s）和最高（目标库存水平S）库存标准， 随时检查库存量。这是最大最小系统。
4. (t,s,S) 策略
此策略是策略2和策略3的结合，即每隔时间检查库存量一次， 当库存量小于等于订货点时就发出订货。
5 OR:SM
第一节
四、库存费用
1. 存储费
库存的相关概念
指货物在库存期间因储存和保管而发生的有关费用。 具体包括仓库管理费、保险费、存货占用资金的利息，存储 物的损坏、变质、报废等库存风险费用。
2. 存储费
四、价格折扣的的订货量
例：某冰箱厂每年需要某种配件为2000个。该配件的售价为： 1～499个为10元，500～999个为9元，1000个以上为8元。现知 每次订货费用为320元，每个配件每年的库存费用是为售价的 20%，试计算其最优订货批量以及总费用？
解：根据经济订货批量公式和已知条件， 第一步，取最低价格8元，H 8 0.2 1.6 元。
* Q9
2 DS 2 2000 320 843 件 H 1.8
由于843位于500～999的区间，售价为9元，因此
* Q9 843
是可行解。
由库存费用计算式可知：
1 2000 C (843) 843 1.8 320 2000 9 19517.89 元， 2 843 1 2000 C (1000) 1000 1.6 320 2000 8 17440 元。 2 1000
显然，总费用最低的订货批量为1000件，此时的总费用为17440元
20 OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销损失和机 会损失之和为最小。根据供求关系，存在如下两种情况：
当产品供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因产品积压而 导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
单周期与多周期需求库存
• 单周期库存是指易腐品以及短寿命产品的存储。 • 多周期需求库存则指在足够长的时间里对某种物品 的重复而连续的需求，其库存需要不断地补充。
3
OR:SM
第一节
三、库存策略
库存的相关概念
订货间隔期、订货点和订货批量等参数的不同组合称为库存策略。
库存量 订 货 批 量
最 高 库 存
由一阶条件
dC 1 D DK (1 ) H 2 0 dQ 2 P Q
*
2D K P 解得经济生产批量 Q H PD
12 OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
例:某汽车零部件厂为汽车售后市场提供发动机配件，每年 的这种配件的需求量为90000个，按每年360个工作日计算，平 均日需求量为250个。若该厂的日生产量为500个，现知每次生 产的准备费用为1000元，每个配件的单价为50元，每年每个配 件的库存费用是10元，试计算其经济生产批量。 解：根据经济生产批量公式和已知条件，经济生 产批量 2D K P Q* H PD
2 90000 1000 500 6000 件 10 500 250
13 OR:SM
第二节 确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
库存 S
-D
0
td
t
2t
时间
允许缺货的库存量变化状态
14 OR:SM
第二节
确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
单位时间总库存费用（库存费+缺货费+订货费） 为订货量 Q 和初始库存量 S 函数: 1 2 2 C (Q, S ) S H ( Q S ) L 2K D 2Q
学习要点 Sub title
正确理解库存系统、库存策略和库存费用 经济订货批量和经济生产批量的适用前提 允许缺货或价格折扣的经济订货批量问题 报童模型与多周期库存模型的应用前提 需求不确定下设置安全库存的目的和方法
1
OR:SM
第一节
一、库存系统
库存的相关概念
2 DS 2 2000 320 Q 894 件 H 1.6 由于894位于500～999的区间，此时的售价是9元而不是8元。
* 8
* 不是可行解。 Q8 894
19
OR:SM
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
第二步，取次低价格9元， H 9 0.2 1.8 元
库存
I m ax
P
D
PD
11
0
时间 T t 2t
OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
库存水平的最大值为
I max
Q D ( P D) Q(1 ) P P
1 Q D C ( Q ) ( P D ) H K cD 年总库存费用为 2 P Q
2D K 2 1000 60 Q 200 把， H 3 最优订货次数 N * D 1000 5 次 Q* 200
*
10
OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
假设： ① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数；
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
Q
供给是已知而连续均匀的，供给率均匀且为常数； 每次生产批量相同； 每次生产准备费用不变，与批量大小无关； 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变； 无价格折扣，单位产品生产成本为； 不允许缺货，缺货费用为无穷大。
Cu (Q) u (Q r ) P(r )
r Q
当产品供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货而导致 少பைடு நூலகம்售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
Cv (Q) v (r Q) P(r )
总损失的期望值为 C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r ) P(r ) v (r Q) P(r )
哈里斯（F.W.Harris）1915年提出 假设： ① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数； ② 订货提前期为固定常量； ③ 补货时间为零，即当库存降为零时，立即补充至定额水平； ④ 每次订货批量相同； ⑤ 每次订购费(或装配费)不变，与批量大小无关； ⑥ 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变； ⑦ 无价格折扣，货物单价为不随批量而变化； ⑧ 不允许缺货，缺货费用为无穷大。
r Q r Q r Q
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OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需求量， 每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每件亏损u元。产品 销售需求量的概率P(r) 可以根据历史销售记录统计而得。如果 订货过多而供过于求，因过剩致使资金积压，会造成滞销损失； 如果订货过少而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成 机会损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？ 最优订货量应按下列不等式确定：
取次低价格代入基本ECQ模型并求出相应的Q* 。如果 Q*可行，计算订货量为Q*时的总费用和所有大于Q*的数量 折扣点所对应的总费用，取其中最小费用对应的数量，该数 量即为最优订货批量，停止步骤。
若Q*不可行，则重复步骤（2），直至找到一个可行的最 优订货批量为止。
18 OR:SM
第二节
确定性库存模型
库存状态
即存储物的库存数量水平，反映存储物随时间推移而发生的 数量变化，库存量随需求过程而减少，又随供应过程而增加
需求过程
需求是不可控制的外生变量，表现形式：有的需求是连续 的，有的是间断的；有的需求是确定的，有的是随机的
补充过程
补充(供应)是库存的输入，补充的形式可以是对外订货，也 可以是自行生产。从提出订货到货物进入库存状态所需的时 间称为进货延迟。
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
费 用 库存总费用
订货费用
存储费用
0
Q1
Q
*
Q2
采购量
两个折扣点的价格与费用变化关系
17 OR:SM
第二节
确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
计算步骤
取最低点价格代入基本ECQ模型，求出Q*。如果Q* 位 于其价格区间，则即为最优订货批量。否则转步骤（ 2）
周 转 库 存
订货点 安全库存 时间 订货间隔期 订货提 前期
库存控制参数
4 OR:SM
第一节
三、库存策略
1. (s,Q) 策略
库存的相关概念
(s,Q)策略是指事先设定订货点，连续性检查库存量，在每次出库时， 均盘点剩余量，检查库存量是否低于预先设定的订货点。 这是定量订货控制策略(Perpetual Inventory Control)
ri v P( r ) P( r ) v u r 0 r 0 ri1
22
OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
例：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利 60元。如果 当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价处理后全部售完， 此时每一筐损失40元。根据历史销售经验，市场每天需求的概率 如下表所示。试求最优进货量。
由一阶偏导数求得：
最大库存量：
2D K L S H H L
* *
2D K H L 经济订货批量： Q H L
15 OR:SM
第二节
确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把， 每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元， 每把滚刀的年库存费用是3元，若每把刀的年缺货损失费为1 元，试求最大库存量和最大缺货量？ 解：最大库存量：
2 OR:SM
第一节
二、库存类型
库存的相关概念
独立需求与相关需求库存
• 相关需求库存是指物品的需求之间具有内在的相关性。 • 独立需求库存是指物品的需求不依赖于其它物品，而是直 接来源于企业外部的需求。
确定性库存与随机性库存
• 确定性库存是指供应过程和需求过程都是确定性的 • 随机性库存是指供应过程的交货提前期或者需求过程 的需求数量是不确定性的，服从于一定的概率分布。
为订购货物所付出的手续费、旅差费、电信费等商务交易业 务的费用支出。
3. 缺货费
这是指库存未能完全满足需求，出现供不应求时所引起的损 失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合同 而支付的违约金以及商誉下降所造成的无形损失等。
6 OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型（Economic Order Quantity，EOQ）
2D K L 2 1000 60 1 =100 S H H L 3 3 1
*
经济订货批量：
2D K H L 2 1000 60 3 1 =400 Q H L 3 1
*
最大缺货量 Q* S * =400-100=300
16 OR:SM
需求量 r （筐） P(r ) 概率 累积概率 F ( r ) ≤5 6 7 8 9 ≥10
0.05
0.05
0.15
0.2
0.25
0.45
0.35
0.8
0.15
0.95
0.05
1
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 v 60 =0.6 v u 60 40 由表中的数据可知 F (7) 0.45, F (8) 0.8 ，最优进货量为8筐。
库存 Q -D 时间
7
0
t
2t
OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
令 N 为年订货次数， D 为全年总需求量， 易知 N D / Q ，则年总费用为
1 D C (Q) Q H K c D 2 Q
为求 C (Q ) 的极小值， 由一阶条件： dC 1 H D K 0 dQ 2 Q2 解得经济订货批量
2D K Q H
*
8
OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
C (Q )
总费用费
存储费
订购费
Q
经济订货批量
库存费用与库存量之间的关系
9 OR:SM
第二节
确定性库存模型
一、经济订货批量模型
例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把， 每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元， 每把刀的单价为50元，每把滚刀的年库存费用是3元，试计 算其经济订货批量。若每年按250个工作日计算，最优订货 次数？ 解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量
2. (t,S) 策略
(t,s)策略是指补充过程是每隔时间补充一次，每次补充到目标库 存水平。这是定期库存控制策略(Periodic Inventory Control)。
3. (s,S) 策略
事先设定最低（订货点s）和最高（目标库存水平S）库存标准， 随时检查库存量。这是最大最小系统。
4. (t,s,S) 策略
此策略是策略2和策略3的结合，即每隔时间检查库存量一次， 当库存量小于等于订货点时就发出订货。
5 OR:SM
第一节
四、库存费用
1. 存储费
库存的相关概念
指货物在库存期间因储存和保管而发生的有关费用。 具体包括仓库管理费、保险费、存货占用资金的利息，存储 物的损坏、变质、报废等库存风险费用。
2. 存储费
四、价格折扣的的订货量
例：某冰箱厂每年需要某种配件为2000个。该配件的售价为： 1～499个为10元，500～999个为9元，1000个以上为8元。现知 每次订货费用为320元，每个配件每年的库存费用是为售价的 20%，试计算其最优订货批量以及总费用？
解：根据经济订货批量公式和已知条件， 第一步，取最低价格8元，H 8 0.2 1.6 元。
* Q9
2 DS 2 2000 320 843 件 H 1.8
由于843位于500～999的区间，售价为9元，因此
* Q9 843
是可行解。
由库存费用计算式可知：
1 2000 C (843) 843 1.8 320 2000 9 19517.89 元， 2 843 1 2000 C (1000) 1000 1.6 320 2000 8 17440 元。 2 1000
显然，总费用最低的订货批量为1000件，此时的总费用为17440元
20 OR:SM
第三节
一、单周期库存模型
随机性库存模型
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销损失和机 会损失之和为最小。根据供求关系，存在如下两种情况：
当产品供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因产品积压而 导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
单周期与多周期需求库存
• 单周期库存是指易腐品以及短寿命产品的存储。 • 多周期需求库存则指在足够长的时间里对某种物品 的重复而连续的需求，其库存需要不断地补充。
3
OR:SM
第一节
三、库存策略
库存的相关概念
订货间隔期、订货点和订货批量等参数的不同组合称为库存策略。
库存量 订 货 批 量
最 高 库 存
由一阶条件
dC 1 D DK (1 ) H 2 0 dQ 2 P Q
*
2D K P 解得经济生产批量 Q H PD
12 OR:SM
第二节
确定性库存模型
二、经济生产批量模型
例:某汽车零部件厂为汽车售后市场提供发动机配件，每年 的这种配件的需求量为90000个，按每年360个工作日计算，平 均日需求量为250个。若该厂的日生产量为500个，现知每次生 产的准备费用为1000元，每个配件的单价为50元，每年每个配 件的库存费用是10元，试计算其经济生产批量。 解：根据经济生产批量公式和已知条件，经济生 产批量 2D K P Q* H PD
2 90000 1000 500 6000 件 10 500 250
13 OR:SM
第二节 确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
库存 S
-D
0
td
t
2t
时间
允许缺货的库存量变化状态
14 OR:SM
第二节
确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
单位时间总库存费用（库存费+缺货费+订货费） 为订货量 Q 和初始库存量 S 函数: 1 2 2 C (Q, S ) S H ( Q S ) L 2K D 2Q