高中数学必修五教案-正余弦定理知识点归纳考点分析及例题讲解

正余弦定理考点分析及

例题讲解

考点回顾：

1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2

＋b 2

＝c 2

。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝

c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a

。 2. 2．斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） 3. 正弦定理：a

sin A ＝b

sin B ＝c

sin C

＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；

(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；

(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

.

4. 三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2

ca sin B .

5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理的公式： 2

2

2

222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=

⎨⎪⎪+-=⎪

⎩. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

8. 解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的

运算，

如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===. 9. 解三角形的问题一般可分为下面两种情形：

若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。 （1）角与角关系：A +B +C = π；

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a >

b ；

（3）边与角关系： 典例解析 题型1：正弦定理

例1、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 例2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是

( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

题型2：余弦定理

例1、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π

3

，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1

B ．2 C.3－1

D. 3

解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝1＋c 2

－3

2×1×c

，

∴c 2

－2＝c ，∴c ＝2或c ＝－1(舍)． 巩固练习： 1、在△ABC 中，

(1)若a 2

＋b 2

－c 2

＝0，则C ＝________； (2)若c 2

＝a 2

＋b 2

－ab ，则C ＝________； (3)若c 2

＝a 2

＋b 2

＋2ab ，则C ＝_______.

(4)在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3

B ．3 C. 5

D ．5

2、在△ABC 中，若b 2

＝a 2

＋c 2

＋ac ，则B 等于 ( ) A ．60°

B ．45°或135°

C ．120°

D ．30°

题型3：正弦、余弦定理求角度

例1、(2013·湖南·文5)在锐角△ABC 中,角A 、B 所对的边长分别为a,b.若2asinB=3b,则角A 等于( ).

1. 3、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于

( )

A ．30°

B ．120°

C ．60° D．150°

2. 4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14

.

(1)求sin C 的值；

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．

2．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2

C ＝－14，0<∠C <π，∴sin C ＝104

.

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c

sin C

，得c ＝4.

由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<∠C <π，得cos C ＝±64

.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2

－

2ab cos C ，

得b 2

±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26， ∴⎩⎨

⎧

b ＝6，

c ＝4

或⎩⎨

⎧

b ＝26，

c ＝4.

题型2：三角形面积

例1、在△ABC 中，a ＝10，b ＝8，C ＝30°，则△ABC 的面积S ＝ .

例2、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________． 例3、在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积． 题型3：正、余弦定理判断三角形形状

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例1、在△ABC 中，已知a 2

tan B ＝b 2

tan A ，试判断△ABC 的形状．

例2、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ． 直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形